整式的乘法与因式分解中考真题汇编解析版

1、一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题(难)我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等 式.例如由图1可以得到a2+ab+2b2=(a + 2b)a+b 请回答下列问题：写出图2中所表示的数学等式是:如图3,用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么?(用含有X, y的式子表示)；通过上述的等量关系，我们可知：当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小， 则积越 (填大或小)；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和 越 (填大或小).【答案】(1) (2a + b)(a + 2b) = 2a2 + 2b2

2、 + 5ab ； (2) (x+刃2 =(x-y)2 +4xy J(3)大小【解析】【分析】图2面积有两种求法，可以由长为2a+b,宽为a+2b的矩形面积求出，也可以由两个 边长为a与边长为b的两正方形，及4个长为a,宽为b的矩形面积之和求出，表示即可；阴影部分的面积可以由边长为x+y的大正方形的面积减去边长为x-y的小正方形面积 求出，也可以由4个长为X,宽为y的矩形面积之和求出，表示出即可；两正数和一定，则和的平方一定，根据等式4 Xy = (X+y)2-(x-刃？，得到被减数 一定，差的绝对值越小，即为减数越小，得到差越大，即积越大；当两正数积一定时，即 差一定，差的绝对值越小，得到减数

3、越小，可得出被减数越小；【详解】看图可知，(2 + b)( + 2b) = 2+ 2夕+5b(x+ y)2 = (x-y)2 + 4xy当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；当两个正数的积一定时, 它们的差的绝对值越小则和越小.【点睛】本题考点：整式的混合运算，此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键.先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式 法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中应用 较多.十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数 项，分别写在十字交叉线的右

4、上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项 系数(如图)，如：将式子 + 3+2和2亍+ x3分解因式，如图：XI? +1?町 -I? *1? Bl请你仿照以上方法，探索解决下列问题：分解因式：r-7y+12;分解因式：3x2-2x-1 【答案】(1) (x-3) (-4) ；(2) (X-I)(3x+l).【解析】【分析】将1分成1乘以1, 12分成-3乘以4,交叉相乘的结果为7,即可得到答案；将3分成1乘以3,分成-1乘以1,由此得到分解因式的结果.【详解】 y2 - 7y+12= (-3) (-4)； 3x2 - 2x - I= (X- 1) (3x+l).【点睛】此题考查十字

5、相乘法分解因式，将二次项系数及常数项分解成两个因数相乘，交叉相乘的 结果相加得到一次项的系数，能准确分解因数是解题的关键.材料：数学兴趣一小组的同学对完全平方公式进行研究：因(-)20,将左边展开 得到a2-2ab+b2 0 移项可得：a2 + b2 2ab数学兴趣二小组受兴趣一小组的启示，继续研究发现：对于任意两个非负数用、，都存 在n + 72.并进一步发现，两个非负数加、的和一定存在着一个最小值 根据材料，解答下列问题： +3x+2 = (xl)(x+2);Zx2 + X3 = (X- l)(2x+3).1v,IVa(1) (2x)2 +(5y)2 (o, yo)； X2丄)1入22入3

6、(x 0 )；求6x + -(x0)的最小值；92x-6已知x3,当X为何值时，代数式2x+ +2007有最小值，并求出这个最小 值._Q9【答案】(1) 20Xy , 2：(2) 215;(3)当X =-时，代数式2x+ 2007的22x-6最小值为2019.【解析】【分析】根据阅读材料即可得出结论；根据阅读材料介绍的方法即可得出结论；92x-6把已知代数式变为2x-6 + -一 +2013,再利用阅读材料介绍的方法，即可得到 结论.【详解】.o, yo, (2x)2 + (5y)2 22x-5y = 20 xy ,. X 0,、(1 丫 1 H x+ 2x-= 2 ；x) (2)当xO时，

7、2%, 2均为正数，.*. 6x+- 22x所以，6x + 的最小值为25 2x2%6当 x3时，2xf , 2x-6 均为正数,92x + 20072x-69= 2x-6 + 20132x-62x 62J(2x-6)+2013 = 29 + 2013 = 2019由(a-b)20可知，当且仅当a = b时，a2+b2取最小值, TOC o 1-5 h z QQ当2x-6 =,即x =时，有最小值.2x 62Tx399故当X=-时，代数式2x+- +2007的最小值为2019.22x-6【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，解答本题的关键是理解阅读材料所介绍的方法.阅读材料：若 m2 -

8、2mn+2n2 - 8n+16=0,求 ms n 的值.解：Vm2 - 2mn+2n2 - 8n+16=0 f .*. ( m2 - 2mn+n2) + ( n2 - 8n+16 ) =0.*. (m-n)2+(n-4) 2=0 , *. ( m - n ) 2=0 , ( n - 4 ) 2=0 , .,. n=4 , m=4 .根据你的观察，探究下面的问题：已知 x? - 2xy+2y2+6y+9=0,求 Xy 的值；已知ZkABC的三边长a、b、C都是正整数，且满足a2+b2 - IOa - 12b+61=0,求ABC 的最大边C的值；已知 a - b=8 , ab+c2 - 16c+8

9、0=0,求 a+b+c 的值.【答案】9：(2) ZXABC的最大边C的值可能是6、7、8、9、10 ； (3)8.【解析】试题分析：(1)直接利用配方法得出关于X, y的值即可求出答案；直接利用配方法得出关于a , b的值即可求出答案；利用已知将原式变形，进而配方得出答案.试题解析:(1) Vx2 - 2xy+2y2+6y+9=0 f.*. ( X2 - 2xy+y2 ) + ( y2+6y+9 ) =0 ,* ( X - y ) 2+ ( y+3 ) 2=0 ,x - y=0 , y+3=0 I*= - 3 , y= - 3 ,xy= ( -3)x( - 3 ) =9 ,即Xy的值是9 .

10、(2 ) Va2+b2 - IOa - 12b+61=0 ,(a2 - 10a+25 ) + ( b2 - 12b+36 ) =0 ,.*. (a-5)2+(b-6) 2=0 fa - 5=0 , b - 6=0 , a=5 , b=6 IV 6 - 5 c 6 ,6cll fABC的最大边C的值可能是6、7、8、9、10 .(3 ) Va - b=8 , ab+c2 - 16c+80=0 ,a ( a - 8 ) +16+ ( c - 8 ) 2=0 ,.*. (a-4)2+(c-8) 2=0 ,.*. a - 4=0 , C - 8=0 , a=4 , c=8 , b=a - 8=4 -

11、8= - 4 ,： a+b+c=4 - 4+8=8 f 即a+b+c的值是8 .观察以下等式：(x+l)(x2-x+l)=x3l(x+3 ) (x2-3x+9 ) =x3+27(x+6) (x2-6x+36) =x3+216按以上等式的规律，填空：(a+b) () =a3+b3利用多项式的乘法法则，证明(1)中的等式成立.利用(1)中的公式化简：(x+y) (x2-xy+y2) - (x-y) (x2+xy+y2)【答案】(1) a2-ab+b2;(2)详见解析；(3) 2y3.【解析】【分析】(1)根据所给等式可直接得到答案(a+b) (a2-ab+2) =a5+b3;(2)利用多项式与多项

12、式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一 项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；(3)结合题目本身的特征，利用(1)中 的公式直接运用即可.【详解】(a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3;(a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3;(x+y)(x2-xy+y2)(x-y)(x2+xy+y2)=x3+y3- (x3-y3)=2y3.【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，关键是掌握多项式乘法法则，注意观察所给例题，找出其 中的规律是解决本题的基本思路.一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为X ,十位上和个位

13、上的数字之和为V,如 果X=y,那么称这个四位数为和平数例如：1423, x = l + 4, y = 2 + 3,因为兀=儿所以1423是“和平数直接写出：最小的和平数是_,最大的和平数是:将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字 交换位置，称交换前后的这两个“和平数为一组相关和平数例如：1423与4132为一组“相关和平数”求证：任意的一组相关和平数”之和是Illl的倍数.（3）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的 倍数的所有和平数：【答案】（1） 1001, 9999；（2）见详解：（3） 2754 和 4848【

14、解析】【分析】（1）根据和平数的定义，即可得到结论；（2）设任意的两个“相关和平数为丽，甌（a, b, c, d分别取0, 1, 2,9且a0, b0）,于是得到abed+ badc =HOO（a+b） +11 （c+d） =IllI （a+b）,即可得到结 论.（3）设这个和平数为abed，于是得到 d=2a, a+b=c+d, b+c=12k,求得 2c+a=12k,即 a=2、4, 6, 8, d=4. 8、12 （舍去）、16 （舍去）；、当 a=2, d=4 时，2 （c+l）=12k,得到c=5则b=7；、当a=4, d=8时，得到c=4则b=&于是得到结论；【详解】解：（1）由题

15、意得，最小的“和平数” 1001,最大的“和平数” 9999,故答案为：1001, 9999：（2）设任意的两个“相关和平数”为abed badc （a，b, c, Cl分别取0, 1, 2,，9 且 aH0, b0）,贝IJabed + badc =11（a+b） +11 （c+d） =IllI （a+b）；即两个相关和平数”之和是IlH的倍数.（3）设这个和平数为abed 则 d=2a, a+b=c+d, b+c=12k,.*. 2c+a=12k,即 a=2、4, 6, 8, d=4. 8、12 （舍去）、16 （舍去），当 a=2, d=4 时，2 （c+l） =12k,可知 c+l=6

16、k 且 a+b=c+d,c=5 则 b=7,当a=4, d=8时，2 （c+2） =12k,可知 c+2=6k 且 a+b=c+d, c=4 则 b=8,综上所述，这个数为：2754和4848.【点睛】本题考查了因式分解的应用，正确的理解新概念和平数”是解题的关键.阅读下列材料：1637年笛卡尔在其几何学中，首次应用“待定系数法将四次方程分解为两个二次方程 求解，并最早给出因式分解定理.他认为：对于一个高于二次的关于X的多项式，X=Q是该多项式值为O时的一个解与 这个多项式一定可以分解为(X-Q)与另一个整式的乘积可互相推导成立.例如：分解因式+2-3V X = I是疋+ 2F3 = O的一个

17、解， x3 + 2x2-3可以分解为(X-I)与另一个整式的乘 积.设 X3 + 2x2 - 3 = (x-l)(v2 +Zzx+c) 而(x-l)(x2 +bx+c = ax3 +(b-a)x2 +(c-Z?)x-c ,则有b-a = 2 C-/? = Oa = I得 b = 3 ,从而兀+ 2x 3 = (xl)(x + 3x+3)c = 3 运用材料提供的方法，解答以下问题：运用上述方法分解因式x3+2x+3时，猜想出x3 + 2x+3 = O的一个解为(只填写一个即可)，则+2x+3可以分解为与另一个整式的乘积；分解因式 + 2x+3;若1与x+2都是多项式+nx2+nx+p的因式，求

18、加-”的值.【答案】(1)：x=-l；(x+l) ； x3 +2x+3=(x + l)(x2 -x+3) :(2) 3【解析】【分析】计算当X=-I时，方程成立，则 + 2x+3必有一个因式为(x+l),即可作答；根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据多项式乘多项式的计算即可求得结 论；)设Xi + mx2 +mx+ P=(X-l)(x+2) (其中M为二次整式)，由材料可知， x=l, x=2是方程x5 + mx2 + nx+p = O的解，然后列方程组求解即可.【详解】解：(1)x3+2x+3,观察知，显然X=I时，原式=0,则3 + 2x+3 = 0的一个解为 =-l;原式可分解为

19、(+l)与另一个整式的积.故答案为：x=-l:(x+l)设另一个因式为(2+ax+b),(x+l)(x2+ax+b) =x3+ax2+bx+x2+ax+b=x3+ (a+l) X2+ (a+b) x+b a+l=0 I a=-l I b=3多项式的另一因式为x2-+3.*. x3 + 2x+ 3=(X+l)(x2 -X+3).设 X3 + mx2 +nx+ P=(XI)(X+2)M (其中 M 为二次整式)，由材料可知，=l, =-2是方程xi + nc2+nx+p = O的解，1 + /M+ /?+/? = O 可得Z-8 + 4/w -2n + p = O 得 m-n=3 mn的值为3.【

20、点睛】本题考查了分解因式，正确理解题意，利用待定系数法和多项式乘多项式的计算法则求解 是解题的关键.由多项式的乘法：(x+a) (x+b) =x+(a+b)x+ab,将该式从右到左使用，即可得到 用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x+ (a+b)x+ab= (x+a) (x+b).实例 分解因式：x+5x+6 = x+(2 + 3)x+2X 3= (x+2) (x + 3) 尝试分解因式：X=6x&应用 请用上述方法解方程：x2-3x-4 = 0.【答案】(1) (x+2)(x+4); (2) x=4 或 x=-l.【解析】【分析】类比题干因式分解方法求解可得；利用十字相乘法将左边因式分解后

21、求解可得.【详解】原式=(x+2) (x+4)；x-3x4= (x4) (x+l) =0,所以 -4 = 0 或 x+l=0,即 x=4 或 x=-1.【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开 平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的 关键.阅读材料：小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 2 = d+2 ) 2,善于思考的小明进行了以下探索：设ab2= (m+n2 ) 2 (其中a、b、ITI、n 均为正整数)则有：a+b52 =m2+2n2+2mn52 所以 a=m2+2n2, b=2m

22、n.这样小明 就找到了一种把a+b2的式子化为平方式的方法.请仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3= (m+n3 ) 2,用含m、n的式子分别表示 a、b,得 a=, b=(2)若a+4J = (m+n ) 2 (其中a、b、m、n均为正整数),求a的值.【答案】(1) m2+3n2, 2mn； (2) 13.【解析】试题分析：(1)根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；(2)根据题意， 4=2mn,首先确定mx n的值，通过分析m=2 , n=l或者m=l , n=2,然后即可确定好a的 值.试题解析：Ta+b JJ=(m+n JJ)2

23、 , a+b yj3 =m2+3n2+2mn T ,*.a=m2+3r? , b=2mn.故 a=m2+3n2 f b=2mn ；,亠 Z fa = m2+ 3/?2(2)由题意，得4 = 2mnV4=2mn,且m、n为正整数， m=2 , n=l 或 m=l , n=2 ,a=22+312=7 或 a=l2+322=13在现今互联网+”的时代，密码与我们的生活己经紧密相连，密不可分.而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位 数密码就很有必要了.有一种用“因式分解法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个 多项式分解因式，如多项式：x3+2x2-x-2因式分解的结果为(X-I) (x+l) (x+2), 当X= 18时，X- 1 = 17, x+l = 19