高中数学必修二 19-20 第10章 10.3.1频率的稳定性

1、 10.3频率与概率10.3.1频率的稳定性学 习 目 标核 心 素 养结合实例，会用频率估计概率(重点、难点)1.通过对频率和概率联系和区别的学习，培养学生数学抽象素养2通过利用随机事件的频率估计其概率，培养学生数学运算素养.1频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性2频率稳定性的作用可以用频率fn(A)估计概率P(A)思考：频率和概率有什么区别和联系？提示区别：(1)在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的

2、频数，称事件A出现的比例fn(A)eq f(nA,n)为事件A出现的频率(2)概率是度量随机事件发生的可能性大小的量(3)频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性联系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)1某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的()A概率为eq f(4,5)B频率为eq f(4,5)C频率为8 D概率接近于8B做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为eq f(m,n).如果多次进行试

3、验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率故eq f(8,10)eq f(4,5)为事件A的频率2每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考试共12道选择题，某同学说：“每个选项正确的概率是eq f(1,4)，若每题都选择第一个选项，则一定有3道题的选择结果正确”这句话()A正确 B错误C有一定道理 D无法解释B从四个选项中正确选择选项是一个随机事件，eq f(1,4)是指这个事件发生的概率，实际上，做12道选择题相当于做12次试验，每次试验的结果是随机的，因此每题都选择第一个选项可能没有一个正确，也可能有1个，2个，3个，12个正确因此该同学的说法是错

4、误的3经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有()A64个B640个C16个D160个C由题意得80(180%)8020%16个频率和概率的区别和联系【例1】 下列说法正确的是()A由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女B一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖C10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大D10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1D一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男

5、)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确理解概率与频率应关注的三个方面(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值(2)由频率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的

6、区别与联系对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件1“某彩票的中奖概率为eq f(1,100)”意味着()A买100张彩票就一定能中奖B买100张彩票能中一次奖C买100张彩票一次奖也不中D购买彩票中奖的可能性为eq f(1,100)D某彩票的中奖率为eq f(1,100)，意味着中奖的可能性为eq f(1,100)，可能中奖，也可能不中奖用随机事件的频率估计其概率【例2】某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如下表所示：分组0，900)900，1 100)1 100，1 300)1 3

7、00，1 500)1 500，1 700)1 700，1 900)1 900，)频数4812120822319316542频率(1)将各组的频率填入表中；(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率思路探究根据频率的定义计算，并利用频率估计概率解(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223，0.193，0.165,0.042.(2)样本中使用寿命不足1 500小时的频数是48121208223600.所以样本中使用寿命不足1 500小时的频率是eq f(600,1 000)0.6，即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.1频率是事件A发生的次数m

8、与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率，频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率2解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率2某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔偿金额(元)01 0002 0003 0004 000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获

9、赔金额为4 000元的概率解(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)eq f(150,1 000)0.15，P(B)eq f(120,1 000)0.12，由于投保额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3 000元和4 000元，A与B互斥，所以所求概率为P(A)P(B)0.150.120.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.11 000100(位)，而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.212024(位)，所以样本车辆中新司机车主获赔金

10、额为4 000元的频率为eq f(24,100)0.24，由频率估计概率得P(C)0.24.游戏的公平性探究问题1判断某种游戏规则是否公平的标准是什么？提示如果参加比赛的双方获胜(或失败)的概率是一样的，那么就说明这个游戏规则是公平的；否则就是不公平的2小明和小红通过抓阄决定谁代表班级参加学校举行的演讲比赛，规则如下：在一个不透明的盒子里有三个质地完全相同的小卡片，上面分别写有“参加”“不参加”“谢谢参与”，小明和小红分别从中摸取一个小卡片，摸到“参加”者代表班级参加学校举行的演讲比赛这个游戏规则公平吗？请说明理由提示公平因为每个人摸到“参加”的概率都是eq f(1,3).【例3】某校高二年级

11、(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜该方案对双方是否公平？为什么？思路探究计算和为偶数时的概率是否为eq f(1,2)，概率是eq f(1,2)就公平，否则不公平解该方案是公平的，理由如下：各种情况如表所示：和45671567826789378910由表可知该游戏

12、可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1eq f(6,12)eq f(1,2)，(2)班代表获胜的概率P2eq f(6,12)eq f(1,2)，即P1P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的1在例3中，若把游戏规则改为：两人各自转动转盘一次，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果是偶数，那么(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜游戏规则公平吗？为什么？解不公平因为乘积出现奇数的概率为eq f(4,12)eq f(1,3)，而出现偶数的概率为eq f(8,12)eq f(2,3).2若在例3中，转盘被平均分成10等份(如

13、图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的数字相符，则乙获胜，否则甲获胜猜数方案从以下两种方案中选一种：A猜“是奇数”或“是偶数”；B猜“不是4的整数倍数”请回答下列问题：(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？解(1)为了尽可能获胜，乙应选择方案B.猜“不是4的整数倍”，这是因为“不是4的整数倍”的概率为eq f(8,10)0.8，超过了0.5，故为了尽可能获胜，选择方案B.(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方

14、案A，这是因为方案A是猜“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏的公平性游戏公平性的标准及判断方法(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同若相同，则规则公平，否则就是不公平的(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较1概率与频率的区别：频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性2概率与频率的关系：对于一个事件而言，概率是一个常数，频率则随试验次数的变化而变化，次数越多频率越接近其概率，因此可以用随机事件的频率来估计其概率1判断正误(1)随机事件的频率和概率不可能相等()(2)随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化()(3)概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能()提示(1)错误二者可能相等(2)错误频率会发生变化，是变量，而概率是不变的，是客观存在的(3)错误频率和概率都能反映随机事件发生的可能性的大小答案(1)(2) (3) 2给出下列3种说法：设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是eq f(3,7)；随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率其中正确说法的个数是()A0B1C2 D3A由频率与概率之间的联系与区别知，均不正确