高中数学必修二 第六章测评

1、第六章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若ab,则a+b=()A.(-2,-1)B.(2,1)C.(3,-1)D.(-3,1)答案A解析ab,2(-2)-x=0,x=-4.a+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1).2.在ABC中,若A=60,BC=43,AC=42,则角B的大小为()A.30B.45C.135D.45或135答案B解析由正弦定理,得BCsinA=ACsinB,则sin B=ACsinABC=42sin6043=22

2、.因为BCAC,所以AB,而A=60,所以B=45.3.(2018全国高考)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0答案B解析a(2a-b)=2a2-ab=2-(-1)=3.4.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=120,则ABC的面积为()A.33B.233C.3D.23答案C解析将c2=a2+b2-2abcos C与(a+b)2-c2=4联立,解得ab=4,故SABC=12absin C=3.5.在ABC中,若其面积为S,且ABAC=23S,则角A的大小为()A.30B.60C.120D.150答

3、案A解析因为S=12ABACsin A,而ABAC=ABACcos A,所以ABACcos A=2312ABACsin A,所以tan A=33,故A=30.6.(2018全国高考)在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=()A.34AB-14ACB.14AB-34ACC.34AB+14ACD.14AB+34AC答案A解析如图,EB=-BE=-12(BA+BD)=12AB-14BC=12AB-14(AC-AB)=34AB-14AC.7.在ABC中,AB=3,AC=2,若O为ABC内部的一点,且满足OA+OB+OC=0,则AOBC=()A.12B.25C.13D.14答案C解析

4、由OA+OB+OC=0可知O为ABC的重心,于是AOBC=13(AB+AC)(AC-AB)=13(AC2-AB2)=13.8.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sin(B+A)+sin(B-A)=3sin 2A,且c=7,C=3,则ABC的面积是()A.334B.736C.213D.334或736答案D解析sin(B+A)=sin Bcos A+cos Bsin A,sin(B-A)=sin Bcos A-cos Bsin A,sin 2A=2sin Acos A,sin(B+A)+sin(B-A)=3sin 2A,2sin Bcos A=6sin Acos A.当cos

5、A=0时,A=2,B=6.又c=7,所以b=213.由三角形的面积公式,得S=12bc=736;当cos A0时,由2sin Bcos A=6sin Acos A,得sin B=3sin A.根据正弦定理,可知b=3a,再由余弦定理,得cos C=a2+b2-c22ab=a2+9a2-76a2=cos3=12,解得a=1,b=3,所以此时ABC的面积为S=12absin C=334.综上可得ABC的面积为736或334,故选D.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.下列说法错误的是(

6、)A.ABCD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B.长度相等的向量叫相等向量C.零向量的长度等于0D.共线向量是在同一条直线上的向量答案ABD解析ABCD包含AB所在的直线与CD所在的直线平行和重合两种情况,故A项错;相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同,故B项错;按定义,零向量的长度等于0,故C项正确;共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故D项错.10.(2019山东济南高一期末)对于任意的平面向量a,b,c,下列说法错误的是()A.若ab且bc,则acB.(a+b)c=ac+bcC.若ab=ac,且a0,则b=cD.(ab)c=a(bc)答案ACD解析

7、对于A,b=0,命题不成立;对于B,这是平面向量数乘的分配律,显然成立;对于C,若a和b,c都垂直,显然b,c至少在模的方面没有特定关系,所以命题不成立;对于D,如图,若a=AB,b=AC,c=AD,则(ab)c与a(bc)是一个分别和c,a共线的向量,显然命题(ab)c=a(bc)不成立.故选ACD.11.(2019福建厦门外国语学校高一月考)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个命题中正确的是()A.若acosA=bcosB=ccosC,则ABC一定是等边三角形B.若acos A=bcos B,则ABC一定是等腰三角形C.若bcos C+ccos B=b,则ABC一定

8、是等腰三角形D.若a2+b2-c20,则ABC一定是锐角三角形答案AC解析由acosA=bcosB=ccosC,利用正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC,即tan A=tan B=tan C,即A=B=C,所以ABC是等边三角形,A正确;由正弦定理可得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A+2B=,ABC是等腰三角形或直角三角形,B不正确;由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin B,即sin (B+C)=sin B,即sin A=sin B,则A=B,ABC是等腰三角形,C正确;由余弦

9、定理可得cos C=a2+b2-c22ab0,C为锐角,A,B不一定是锐角,D不正确,故选AC.12.(2019山东烟台高一期末)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)(a+c)(b+c)=91011,则下列结论正确的是()A.sin Asin Bsin C=456B.ABC是钝角三角形C.ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c=6,则ABC外接圆半径为877答案ACD解析因为(a+b)(a+c)(b+c)=91011,所以可设a+b=9x,a+c=10 x,b+c=11x(x0),解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sin Asin Bsin C=abc=456,

10、所以A正确;由上可知:c边最大,所以三角形中C角最大,又cos C=a2+b2-c22ab=(4x)2+(5x)2-(6x)224x5x=180,所以C角为锐角,所以B错误;由上可知a边最小,所以三角形中A角最小,又cos A=c2+b2-a22cb=(6x)2+(5x)2-(4x)226x5x=34,所以cos 2A=2cos2A-1=18,所以cos 2A=cos C.由三角形中C角最大且C角为锐角可得:2A(0,),C0,2,所以2A=C,所以C正确;由正弦定理得2R=csinC,又sin C=1-cos2C=378,所以2R=6378,解得R=877,所以D正确.故选ACD.三、填空题

11、(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2019全国高考)已知a,b为单位向量,且ab=0,若c=2a-5b,则cos=.答案23解析a,b为单位向量,|a|=|b|=1.又ab=0,c=2a-5b,|c|2=4|a|2+5|b|2-45ab=9,|c|=3.又ac=2|a|2-5ab=2,cos=ac|a|c|=213=23.14.已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,c=2,B=60,则b=,C=.答案2330解析在ABC中,因为a=4,c=2,B=60,由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=42+22-242cos 60=12,所以b=23,又由正

12、弦定理,得sin C=csinBb=2sin6023=12,又由cb,所以C0).则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入cosAa+cosBb=sinCc中,有cosAksinA+cosBksinB=sinCksinC,变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)解由已知,b2+c2-a2=65bc,根据余弦定理,有cos A=b2+c2-a22bc=35.所以sin A=1-cos2A=45.由(1),s

13、in Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以45sin B=45cos B+35sin B,故tan B=sinBcosB=4.20.(12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA+C2=bsin A.(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.解(1)由题设及正弦定理得sin AsinA+C2=sin Bsin A.因为sin A0,所以sinA+C2=sin B.由A+B+C=180,可得sinA+C2=cosB2,故cosB2=2sinB2cosB2.因为cosB20,故sinB2=12,因此B=60.(2)由

14、题设及(1)知ABC的面积SABC=34a.由正弦定理得a=csinAsinC=sin(120-C)sinC=32tanC+12.由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90.由(1)知A+C=120,所以30C90,故12a2,从而38SABC32.因此,ABC面积的取值范围是38,32.21.(12分)已知正方形ABCD,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:(1)BECF;(2)AP=AB.证明如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)BE=OE-OB=(1,2)-(2,0)

15、=(-1,2),CF=OF-OC=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),BECF=(-1)(-2)+2(-1)=0,BECF,即BECF.(2)设P(x,y),则FP=(x,y-1),CF=(-2,-1).FPCF,-x=-2(y-1),即x=2y-2.同理由BPBE,得y=-2x+4,代入x=2y-2,解得x=65,y=85,即P65,85.AP2=652+852=4=AB2,|AP|=|AB|,即AP=AB.22.(12分)要将一件重要物品从某港口O用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀

16、速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最短,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能在最短时间内与轮船相遇,并说明理由.分析解决解三角形的应用题时首先要根据题意画出示意图,然后把实际问题转化为三角形的边角计算问题.解(1)(方法一)设相遇时小艇航行的距离为s,则s=900t2+400-230t20cos(90-30)=900t2-600t+400=900t-132+300,故当t=13时,smin=103海里,v=10313=303,即小艇以303海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最短.(方法二)若相遇时小艇的航行距离最短,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方向.设小艇与轮船在C处相遇,如图所示.在RtOAC中,OC=20cos 30=103,AC=20sin 30=10,又AC=30t,OC=vt,所以t=1030=13