跨入高中智能数学乐园第1讲集合

1、(一)集合1.集合的概念与表示法基础秘诀(问中学)问1集合, 集合的元素? 集合的元素有哪些特性?问2集合的分类? 常用集合的符号?问3试总结集合的表示法.问4(提前讲授“区间”, 学会后立即使用它!)用描述法写出下列区间的定义，并区间的读法和图示法:a, b = x| a x b;(, a =;(a, b)=;(a, ) =;a, b) =;(, ) =.问5用符号语言写出奇数集、偶数集的定义.研究 是整数多还是奇数多? 是实数多还是正数多?(G. Cantor, 18451918) 德国数学家, 集合论创始人.22 岁获得柏林大学博士学位.人生坎坷, 2839 岁,由于他发现了关于无穷集合

2、度量问题的新方法,遭到他的老症,但他在逆获得解放,被热烈赞美(柏林传统数学学派)的境中不屈不挠,继续探索,捍卫真理. 7 年后,当时众多数学家推崇为新数学王国的创始人和,致使克患了精神,.大数学家的业绩,大声疾呼:“没有任何力量,能把创造的伊甸乐园中赶走!”从- 第 1 页 -范例评注(例中学)例1 下列语句能确定一个集合的序号是,其中是无限集的是.方程 x2+1=0 的实数解的全体.不等式 2x30 的解的全体.2 的近似值的全体平行四边形的全体.平面上与一个定点 O 距离等于 1 的点轨迹.你所在的班, 高个子男生的全体.你所在的班, 体重超过 200 斤的同学的全体.素数的全体.(1)(

3、2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)例2用符号 (1) 0N或 填空:(2)0(4) R(3) 3.14Q12(6) 5(7)2(5) 1N*ZQ(8)Z例3 已知 M=x | x21=0，xR，N=(x, y) | y= x21 且 y =0，x, yR, 用列举法表示 M、N，正确的是()A. M= 1, 1 ，N= 1, 1 B. M= (1, 1) ，N= (1, 1) D. M= 1, 1 ，N= (1, 0)，(1, 0) C. M= 1, 1 ，N= (1, 1) 例4 把下列集合用另(1) 2，4，6，8;法表示出来:(2) 1,2,3, 2,5, ;(3) x | x |

4、 a | | b | , a R,b R ;ab(4) (x，y)| x+ y=4，xN* , yN* - 第 2 页 -例5设集合 A= x | x =2k，kZ，B= x | x =2k1，kZ，若 aA，bB，试判断 a+b，a+2b 与集合 A，B 的关系.例6已知合 A= xR | ax24x+4=0，aR，则若 A 中只有一个元素，求 a 的值并求出这个元素；若 A 中有两个元素，求 a 的取值范围；若 A=，求 a 的取值范围.y ,例7已知集合A x2 , x y, 0 x,1(x, y R), 求集合 A.x例8设集合 A= 2, 3, a2+2a3 ，B= |a+3|, 2

5、 ，已知 5A，且 5B，求 a 的值.- 第 3 页 -检测 1(做中学, 用中学)1.下列说法正确的是A.B.C.D.高一(2)班数学成绩非常突出的学生能组成一个集合半径为 1 的圆内的点不能组成一个集合由实数 a， a，|a|， a2 ， 3 a3 所组成的集合中含有 5 个元素集合a，b，c，d与集合d，a，b，c表示同一个集合已知 M = xR| x 3A. a, bM 且 cMC. b, cM 且 aM2 ， a 17，b 18，c 19 ，则B. a, cM 且 bMD. a, b, cM2.3 Q，0N， 5 Z，0.7R，3N，其中错误的有3.A.4 个B. 3 个C.2 个

6、D. 1 个设 P, Q 为两个非空实数集合, 定义集合 P+Q = a+b | a P，bQ .若 P= 0, 2, 5 ，Q= 1, 2, 6 ，则 P+Q 中元素的个数是4.A. 9B. 8C. 7D. 65.下列各题中，M 与 N 表示同一集合的是A. M= 1, 1 ，N= x | x21=0 B. M= 0 ，N=C. M= (1, 1) ，N= (1, 1) D. M=y | y=x2，xR N=(x，y)| y=x2，xR6.把下列集合用另法表示出来：(1) x | |x| 2 , xZ =;(2) 1 , , 7 =3 2 5 3;2 5 3 7 4 9(3) 直角坐标平面内

7、, 不在二、四象限内的点=.7.被 3 整除余 2 的整数集合可表示为.8.集合 A 是由实数的集合, 且满足条件:1若 aA, 则( a1, a0). A1 a已知 2A, 求 A ;已知 3A, 求 A ;试由(1), (2) 猜想出一般结论, 并加以证明.- 第 4 页 -(一)集合2.集合之间的关系基础秘诀(问中学)问1问2问3问4用符号语言写出子集、真子集的定义? 怎样图示集合的包含关系?什么叫“A=B”?试区别集合与集合、集合与元素的关系?试猜想“有限集合的子集数目公式”:设card ( A) n,则 A 的子集数目为.范例评注(例中学)例1写出集合 A= 1 , 2 , 3 的所

8、有子集和真子集.例2求下列四个集合之间的关系, 并用表示:A= x | x 是平行四边形，C= x | x 是矩形，B= x | x 是菱形，D= x | x 是正方形X= x | x =(2n+1), nZ，Y= y | y=(4k 1), kZ 的关系是例3()A. XY设集合 M=x | xA. a MB.XY21 ，a=B. a MC.X=YD. XY例4，则 ()D. a MC. a M已知集合 A= x | 2 x 5 ，B= x | m+1 x 2m1，且 B A，求实数m 的取值集合.例5- 第 5 页 -检测 2(做中学, 用中学)设集合M x | x k 1 , k Z,

9、N x | x k 1 ,k Z ，则1.24B. MN42D. M=NA. MNC. MN 0;1 x | x1, 2.给出: 2 0, 2, 4; 0;其中，正确的有0, 1, 21, 2, 0;2.A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个M= y| y= x22x1，xR，P=x |2x4，则 M 与 P 之间的关系为3.B. MPC. PMD. PMA. M=P满足1, 2A1, 2, 3, 4, 5的集合 A 有4.A. 8 个B. 7 个C. 4 个D. 3 个设集合 M = x | x21=0 ，N= x | ax1=0 ，若 NM，则 a 的取值集合为5.设 A= x

10、| 0 x a ，若 A B，则实数 a 的取值范围为6.已知 A B，A C，B=1, 2, 3, 5，C=0, 2, 4, 8，求 A7.已知 A= x | 3x+22x+1 , B=x | xa0 若 BA，求 a 的取值范围；若 A B，求 a 的取值范围8.- 第 6 页 -(一)集合3. 集合的运算基础秘诀(问中学)问1 用符号语言写出交集的定义, 并总结基本性质.解 定义:AB = .性质:AB =;AA =;A =;AB =A .练习: 1. 1, 3, 5, 7 1, 2, 5, 9 =.2.设 A= x | x 是奇数, B= x | x 是偶数, Z= x | x 是整数

11、,则AZ =;BZ =;AB =. x | x2+2x3=0 x | x2+4x+ 3=0 =.3.4. (x, y) | 4x+ y =6 (x, y) | 3x+2y =7 =.5.已知 A= x | x 是等腰三角形, B= x | x 是直角三角形,则 AB =.问2 用符号语言写出并集的定义, 并总结基本性质.解 定义:AB = .性质:AB =;AA =;A =;AB = B .练习: 1. 已知 Q= x | x 是有理数,Z= x | x 是整数, 则 QZ=.2. 已知 A = x | x2 16=0 , B = x | x2 x12=0 ,则 AB = ,AB =.- 第

12、7 页 -问3 用符号语言写出补集的定义, 并总结基本性质.解 定义:UA = .性质:AUA =;AUA =;U (UA)=.练习: 已知 U= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,A= 3, 4, 5 ,B= 4, 7, 8 , 则(1)UA = ,UB = ;(2) (UA)(UB) =,U(AB) =;(3) (UA)(UB) =,U(AB) =.评注在(2)和(3)中, 你发现了什么?问4 画出下列集合图(全集为 S )，并总结“集合傻瓜图”(8 图).(4) UA(1) AB(2) AB(3) AB(5) A(UB)；(6) B(UA)； (7) (UA)(UB)； (

13、8) (UA)(UB).问5 你知道下列定律, 原理吗?(1) 反演律:(UA)(UB)= U(AB);(UA)(UB)= U(AB).(2) 容斥原理:card ( A B) card ( A) card (B) card ( A B)研究:(德教授执教伦敦大学数理逻辑写给学生们的趣味题)某班有学生 15 人, 其中会英语者有 10 人, 会法语者有 7 人, 会德语者有 4 人, 又, 同时会英、法两种语言者有 4 人, 同时会英、德两种语言者有 2 人, 同时会法、德两种语言者有 2 人, 请问: 同时会三种语言者有几人?德(De Man,18061871) 英国人. 毕业于大学,任伦敦

14、大学数学教授. 现代符号逻辑和数理逻辑的奠基人.第一个发现“四色猜想”.- 第 8 页 -范例评注(例中学)设集合 A= x | x23x+2=0 ，B= x | x2mx+2=0 .若 AB = A，求 m 的值.例1已知集合 A= x | x2ax+ a219=0 ，B= x | x25x+6=0 ，C= x | x2+2x8=0 ，a 取何实数时，AB与 AC= 同时成立？例2例3设 A、B 为两个集合, 下列四个命题： AB对任意 xA,有 xB； ABAB； AB AB =； AB存在 xA,使 xB.其中, 正确的序号是. (把符合要求题序号都填上)设 U= x | x 是小于 9

15、 的正整数，已知 AB =3，(U A)(U B) =7，8，(UA)B =4，5，6，则 A=,B=.例4例5某班有 50 名学生, 先有 32 名同学参加学校电脑绘画比赛, 后有 24 名同学参加电脑排版比赛. 如果有 3 名同学这两项比赛都没参加, 问这个班有多少同学同时参加了两项比赛?- 第 9 页 -检测 3(做中学, 用中学)已知 A= 1, 2, a23a1 ，B= 1, 3 ，AB=3，则 a =1.A. 4 或 1B. 1 或 4C. 1D. 4已知S (x, y) | 4x y 7 , T (x, y) | 3x 4 y 10 , 则 ST 等于2.A. 1, 2 B. (

16、2, 1)C. (2,1) D. (1, 2) 设 A= x | x = a2+1, aN+ , B= y | y=b24b+5, bN+ ,3.则有D. AB=B. ABC. ABA. A=B已知 S= 1, 2, 3, 4, 5 ，M= 1, 3, 4 ，N= 2, 4, 5, 则(S M)(S N) =4.A. B. 1, 3 C. 4 D. 2, 5设全集 U=R, 集合 A= x | x 2 , B= x | x 3 , 则 (UA)B=5.A. x| 2 x 3B. x | x 2 C. x | x 3 D. x | x 2 设全集 U=Z, 集合 A= x | x 3 或 x 5

17、, x Z ，则UA=.6.已知 a A a，b，c，d，则集合 A 的个数为.7.设 U= x | 3 x 3 , A= x | 3 x 1，B= x | 1 x 0 的解的全体.2 的近似值的全体.平行四边形的全体.平面上与一个定点O距离等于1的点轨迹.你所在的班, 高个子男生的全体.你所在的班, 体重超过200斤的同学的全体.?(8) 素数的全体.15幻灯片幻灯片16- 第 18 页 -例4 把下列集合用另法表示出来:(1) 2，4，6，8 2n | 1 n 4, n N(2) 1,2,3, 2,5, n | n N+ (3) x | x | a | | b | , a R, b R 2

18、, 0, 2ab(4) (x, y) | x+ y =4，xN+ , yN+ (1, 3), (2, 2), (3,1) 例3已知: M= x | x21=0，xR ，N= (x, y) | y= x21且y =0，x, yR ,用列举法表示M、N，正确的是 ( D ) A. M= 1, 1 ，N= 1, 1 B. M= (1, 1) ，N= (1, 1) C. M= 1, 1 ，N= (1, 1) D. M= 1, 1 ，N= (1, 0)，(1, 0) 17幻灯片幻灯片18- 第 19 页 -例6 已知合A= xR | ax24x+4=0, aR, 则若A中只有一个元素, 求a 的值并求出

19、这个元素;若A中有两个元素, 求a 的取值范围;若A=, 求a 的取值范围.解 (1) 当 a =0 时, A中只有一个元素 x =1;当 a =1 时, A中只有一个元素 x =2.(2) A中有两个元素 a 0 a | a 1,且a 0 . 0(3) A= 1 .例5设集合 A= x | x =2k，kZ，B= x | x =2k1，kZ，若 aA, bB，试判断a+b，a+2b与集合A, B的关系.解a+bB,a+bA a+2bA,a+2bB19幻灯片幻灯片20- 第 20 页 -例8 设集合 A= 2, 3, a2+2a3 , B= |a+3|, 2 ,已知 5A, 且5B, 求 a

20、的值.解 由5 A a2 2a 3 5 a2 2a 8 0 a 2 或 a 4 .当 a 2 时, 5 | a 3 | B, 这与5B 相, 所以a 2 ;当 a 4 时, 5 B , 所以 a 4 .综上得 a 4. 例7 已知集合A x2, x y, 0 x, y , 1(x, y R),x求集合A.解 x2, x y, 0 x, y , 1(x, y R) x由 y x 0,结合 y 0 y 0 ;xx 1.A 1, 0, 1 .21幻灯片幻灯片22- 第 21 页 -集合A是由实数的集合, 且满足条件:若aA, 则 1 A ( a1, a0).1 a已知2A, 求A ;已知3A, 求A

21、 ;试由(1), (2)猜想出一般结论, 并加以证明.答: (1)A 2, 1, 1 2(2)A 3, 1 , 2 23(3) 猜想 A中只有3个元素.经过计算,得 A a,1, a 1 .1 aa检测11.D2.C3.C4.B5.A6. (1) 2, 1, 0 , 1 , 2 (2)n| 2 n 7, n N n 2(3) ( x, y)| xy 0, x R, y R 7. x | x 3n 2, n Z 23幻灯片幻灯片24- 第 22 页 -基础秘诀(问中学)问1写出子集、真子集的定义?怎样用维恩(Venn)图表示集合的包含关系?解 A B “ 任意 xA xB ”B规定 A (任意集

22、合)AA B “A B, 且B中至少有一元素不属于A”.2. 集合之间的关系25幻灯片幻灯片26- 第 23 页 -问4 试猜想“有限集合的子集数目公式”:设card(A)=n, 则A的子集数目为f (n)=2n解 当n=1时, A= a1 的子集有:, a1 f (1)= 21当n=2时, A= a1 , a2 的子集有:, a1 , a2 , a1 , a2 f (2)= 22当n=3时, A= a1 , a2 , a3 的子集有:, a1 , a2 , a3, a1 , a2 , a1 , a3 , a2 , a3 , a1 , a2 , a3 f (3)= 23 猜想A的子集数目 f

23、(n)=2n问2什么叫 “A=B” ? 解 A = B “ A B, 且 BA ”问3试区别集合与集合、元素与集合的关系?解 集合与集合的关系:包含关系相等关系元素与集合的关系: 属于, 不属于27幻灯片幻灯片28- 第 24 页 -例2 求下列四个集合之间的关系, 并用表示:A= x | x是平行四边形，B= x | x是菱形，C= x | x是矩形，D= x | x是正方形解ABDC范例评注(例中学)例1 写出集合A= 1 , 2 , 3 的所有子集和真子集.解 子集: 1 2 3 1 , 2 1 , 3 2 , 3 1 , 2 , 3 真子集: 1 2 3 1 , 2 1 , 3 2 ,

24、 3 29幻灯片幻灯片30- 第 25 页 -例5 已知集合A= x | 2 x 5 ，B= x | m+1 x 2m1，且B A，求实数m的取值集合.解 分两种情况：(1) B= m+1 2m1 m2B(2) B ,2m 1 m 125B A m 1 2 2 m 32m 1 5综上,实数m的取值集合是 m| m3 评注 特别注意：不要丢掉B= 的情况.例3 集合X= x | x =(2n+C1)，nZ，Y= y | y=(4k 1)，kZ 之间的关系是()A. X YB. X YC. X=YD. X Y例4 设集合M=x | x 21 ，a= 2 5 ，则( C )A. a MB. a MC

25、. a MD. a M31幻灯片幻灯片32- 第 26 页 -3. 集合的基本运算(交、并、补)检测21. B2. C3. C4. B5. 0 , 1 , 1 6.a07.A = 2 或A =8. (1) a1 (2) a133幻灯片幻灯片34- 第 27 页 -练习：1. 1, 3, 5, 7 1, 2, 5, 9 = 1, 5 .2. 设A= x | x是奇数, B= x | x是偶数, Z= x | x是整数,则 AZ =A; BZ =B; AB =.3. x | x2+2x3=0 x | x2+4x+ 3=0 = 3 .4. (x, y) | 4x+ y =6 (x, y) | 3x+

26、2y =7 = (1, 2) .基础秘诀(问中学)问1 写出交集的定义, 并总结基本性质公式.解 AB= x | xA, 且xB .基本性质公式:AB = BA ;AA = A ;A = ;AB = A AB35幻灯片幻灯片36- 第 28 页 -问2 写出并集的定义, 并总结基本性质公式.解AB= x | xA, 或xB 基本性质公式:AB = BA ;AA = A ;A = A ;AB = B AB.5. 已知A= x | x是等腰三角形, B= x | x是直角三角形,则AB = x | x是等腰直角三角形.37幻灯片幻灯片38- 第 29 页 -问3 写出补集的定义, 并总结基本性质公

27、式.解 U A= x| x U , 且x A基本性质公式:AU A = U ;AU A = ;U (U A)= A .练习:1. 已知Q= x | x是有理数, Z= x | x是整数,则QZ=Q.2. 已知A = x | x2 16=0 , B = x | x2 x12=0 ,则 AB = 4, 3, 4 ,AB = 4 .39幻灯片幻灯片40- 第 30 页 -问4集合傻瓜图(8图)(1) AB(2) AB(3) AB(4) UABABA A(5) A(UB)(6) B(UA)(7) (UA)(UB)；(8) (UA)(UB).UABUABUABUABBUA练习:已知U= 1, 2, 3,

28、 4, 5, 6, 7, 8 , A= 3, 4, 5 ,B= 4, 7, 8 ,则(1) UA = 1, 2, 6, 7, _8 ,UB = 1, 2, 3, 5, 6 ;(2) (UA)(UB) = _1, 2, 3, 5, 6 , 7, 8 _,U(AB) = 1, _2, 3, 5,_6 , 7, _8_;(3) (UA)(UB) = _1, 2, 6 ,U(AB) = 1, _2, 6 .评注 在(2)和(3)中, 你发现了什么?41幻灯片幻灯片42- 第 31 页 -研究 (德教授写给学生们的趣味题)某班有学生15人, 其中会英语者有10人,会法语者有7人, 会德语者有4人,又,

29、同时会英、法两种语言者有4人,同时会英、德两种语言者有2人,同时会法、德两种语言者有2人,请问: 同时会三种语言者有几人?英法104715=10+7+44 2 2+ xx22答:x = 24德问5你知道下列定律, 原理吗?容斥原理:card ( A B ) card ( A) card ( B ) card ( A B )反演律:(UA)(UB) = U(AB)(UA)(UB) = U(AB)43幻灯片幻灯片44- 第 32 页 -范例评注(例中学)例1 设集合A= x | x23x+2=0 , B= x | x2mx+2=0 ,若AB = A, 求 m 的值.解 A= 1, 2 .A B A B A