如何求函数的偏导数

1、如何求函数的偏导数?偏导数的求解实质是一元函数的求导,关于某个变量求偏导数,将这个变量视为真正的变量,其它变Qu量视为”常数”，如设uf（X,y,z）,求=时，将X视为变量，y,z视为”常数”，关于x求导.QX求多元复合函数的偏导数，关键是什么?对于多元复合函数的求偏导数问题，关键在于分清楚函数之间的复合关系，弄清那些变量是中间变量，哪些是最终自变量.为此可画出函数关系图（路径图），使变量之间的关系一目了然，这样利用链法求偏导数时不至于遗漏.重积分和定积分有何关系?重积分概念是定积分概念的推广和发展.定积分概念中讨论的是一元函数，而二，三重积分中讨论的分别是二，三元函数.将定积分的被积函数f（

2、X）推广为二元函数f（X，y）或三元函数f（X，y，z），将积分区间la,b上长度元素dx推广为平面区域D的面积元素d或空间立体的体积元素dV，就得到了二重积分或三重积分的概念.重积分与定积分在定义的结构形式上完全一致，他们都是”和式的极限”.计算重积分，关键是什么?计算重积分，关键在于如何选择适当的坐标系及如何选择积分次序.对于二重积分，当积分区域为圆域，圆环域或扇形时，常用极坐标系;其它情形常用直角坐标系.对于三重积分，当积分区域为球形区域或环形区域与圆锥所围时，常用球面坐标系;当积分区域在某坐标面上投影为圆时，常用柱面坐标系.选择积分次序时，对于极坐标系，球坐标系，柱坐标系一般相对固定，

3、而直角坐标系一般是变化的.选择积分次序的原则有两个，其一是能够计算出重积分值，其二是计算量尽可能少（如尽可能不分割积分区域进行积分）.另外，计算重积分时，要充分利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，简化定积分的计算.第一类曲线积分计算的本质是什么?应注意什么问题?第一类曲线积分计算的本质是将曲线积分化为定积分.将曲线积分化为定积分时，应注意两点:根据所给的曲线，选择适当的参变量作为积分变量，以便简化计算.确定定积分的上，下限时，要注意上限一定大于下限.格林公式有什么作用?应用时应注意什么问题?对于第二类积分曲线，当积分曲线为封闭曲线，或者积分曲线虽不是封闭曲线，但添补一直线段能成为封闭曲线的

4、，常用格林公式计算.这样计算往往可以达到简化计算的目的.应用格林公式Pdx+QdyJJ（锂肆）dxdy时，应注意以下两点：LdxdyD1.L为封闭的正向闭曲线.2.P，Q在D上有一阶连续偏导数.第一类曲面积分计算的本质是什么?应注意什么问题?第一类曲面积分计算的本质是将曲面积分化为二重积分.将曲面积分化为二重积分时，应注意两点：曲面Y的方程必须时单值函数，否则应将Y按单值分支的图形分片计算.将曲面丫向某坐标投影时，投影后的积分区域计算要简便.为什么要将函数展成幂级数?多项式是最简单的非周期函数类，若一个函数f（x）可以展开为幂级数，则在展开式的收敛区间内可以用它的部分和多项式来近似原来较复杂的

5、函数f（x），这在理论和应用上都具有重要意义.为什么要将函数展开成傅立叶级数?周期函数反映了客观世界中的周期运动.为了深入研究周期函数,有时需要将它展开成由最简单的周期函数三角函数组成的级数，即展开成傅立叶级数.从工程技术的角度讲，就是把一个复杂的周期运动分解成许多不同频率的简谐振动的叠加来研究.十.如何用微分方程解决实际问题?在建立微分方程时，首先要从具体问题出发，分析什么是未知量，什么是已知量，然后去寻求未知变量的导数(或微分)与未知变量及已知量的关系，建立微分方程.再由题意确定定解条件，求出方程的特解，从而得到实际问题的答案.例题解析.假设f与g均为二阶可导函数,z二/w+g(xy)，试

6、求z所满足的不含f和g的二阶y微分方程.解：害-f，-+g，yOXydz一xoy二f.币g,xO2zOx2丄g，y2y2TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark28O2zx22x二ffg，X2 HYPERLINK l bookmark26Oy2y4y3由此得：OzOz2xx一y/OxOyy HYPERLINK l bookmark16O2zO2zy2x2-Oy2Ox2故有：x一yy2OxOyO2zx2Oy2O2zOx2二.设是可微函数，且满足：u(x,y)f(2x+5y)+g(2x5y)u(x,0)sin2xu(x,0)0y求f(x),g(x)及u(x,y)的表达式

7、.解：u(x,0)f(2x)+g(2x)sin2xu(x,y)5f(2x+5y)一5g(2x一5y)yu(x,0)5f(2x)5g(2x)0y用x替换2x,得TOC o 1-5 h zf(x)g(x)0(1)f(x)+g(x)sinx(2)由(2)两边对x求导,得f(x)+g(x)cosx(3)由(1),(3)得f(x)+cosx2即f(x)+sinx+C2g(x)sinx-f(x)斗sinxC2u(x,y)士sin(2x+5y)+sin(2x5y)22sin2xcos5y三.设四边形各边长一定,分别为a,b,c,d,问何时四边形面积最大?解:如下图所示，设四角为a,9,aba9dc于是四边形

8、面积S+absin+cdsin22其中,满足：a2+b2-2abcos卩=c2+d2-2cdcos令Fabsin+cdsin+九(a2+b2-2abcos，c2-d2一2cdcos)fF0P由,F0丫F0TOC o 1-5 h zabcosP+2absinP0(1)得cdcosY-2cdsiny0(2)a2+b2-2abcosP-c2-d2+2cdcosy0(3)由(1),(2)可得:tanP-tany即p兀-y或p-y(舍去)故P+y=由此可知a+卩=兀由实际问题可知s确有最大值，故当四边形的两角之和为兀时，s最大.四.设D:x2+y21,试证明不等式：-6KJJsin(x2+y2)3dxd

9、yK1655D证明:IJJsin(x2+y2)3dxdy1(sinp3)pdp002kJ1psinp3dpTOC o 1-5 h z2kJ1pp3一+dp03!5!因被积函数是莱布尼兹级数,故有2kJ1(p4-+p10)dpI2kJ1p4dp03!0由于2kJ1(p4-十p10)dp-61Kp03!1652兀J1p4dp壬冗05612因此KI兀1655五.设曲线T是球面x2+y2+z21与平面x+y+z1的交线，试求J(x+y2)ds.T解:由对称性得I=(x+y2)ds=xds+y2ds=1(x+y+z)ds+1(x2+y2+z2)ds.3T3T=1J1ds+J1ds3TT=2Jds3T易知

10、T是一个圆（如下图所示）,其内接正三角形的边长为2,可求得T对应圆的半径TOC o 1-5 h z2/22r=sin6034639六.在13时到14时的什么时间内,一个时钟的分针恰好与时针重合?解:将圆周角60等份,设每份为1个单位,又设t（分钟）时刻分针和时针分别位于x（t）和y（t）处.由于初始时间为13时，而分针与时针的速度分别为1（单位/分钟）与子（单位/分钟），故有60dxdt、x(0)=0dy=1dt12y(0)=5解得：x二t,y二121+5t二60（分钟）=5分27秒故分针恰好与时针重合的时间约为5分27秒.七.判别级数另（0（n2）2兀n.2兀门易知tan单调减少且lim=0

11、,故级数收敛（莱布尼兹判别法）.n2,2,nn*n2,2,nn=02,1n2+2+n2n2,又tann2+2+n且艺丄发散，因此另1(-1)ntann2+2,I发散.2nTOC o 1-5 h zn=1n=1因此原级数条件收敛.Iu=x一2yQ2zd2zd2zd2z设变换可把方程：6+-=0简化为0,求常数a(设z具有连续v=x+ayQx2oxoyQy2ouov二阶偏导数).答案：3求f(t)在1,+)上有连续二阶导数，f(1)=0,f1且二元函数z=(x2+y2)f(x2+y2)满足竿+竽=0,求f(t)在1,+)上的最大值.Qx2Qy2答案：1/e设f(x)在k11:A,求J*1dxj1f(x,y)dy.00 x答案：A2/24.设f(x)是正的连续函数,证明Jbf(x)dxJbaadx(b一a)2.n=0n=05.求f(x)在(-,+)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y0)内的有向光滑曲线，其起点为(a,b),终点为(c,d),设I=J1+y2f(xy)dx+xy2f(xy)-1dyLyy2(1)证明曲线积分I与路径L无关.6.设流体的流速v=xi(2xy)j+zk,当ab=cd时，求I值.答案：a/b+c/d为半球面z=1x2y2,求流体流向外侧的流量.答案：2,/37.求级数艺(1)(；2n+D的和.答案：22/272n8.设正项数列单调减少，且,(