质系动量矩(理论力学课件)

1、 动 量 矩 定 理 由前一章知，当质心为固定轴上一点时，vC=0，其动量恒为零，质心无运动，但质点系确受外力的作用。 动量定理揭示了质点和质点系动量变化与外力主矢的关系；质心运动定理揭示了质心运动与外力主矢的关系。但不是质点系机械运动的全貌。 如图示一绕定轴转动的刚体，其质心位于转轴上时，如果外界通过力的作用传递了机械运动量给它，使它绕Z 轴作定轴转动，但其质心都是始终不动的（因质心在转轴上，转轴是不动的），因而刚体的动量： 引入另一个在转动问题中能描述机械运动特征或能度量所传递的那一部分机械运动的物理量动量矩。 本章要介绍的动量矩定理，动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的

2、动量矩的改变与外力对同一点(轴）之矩两者之间的关系，从另一个侧面揭示出质点系对于某一点的运动规律 开普勒在研究行星绕日运动中发现行星沿其轨道运行时，虽然速度（或动量）不断的变化，但行星动量的大小与动量所沿直线到日心的距离的乘积都保持不变，即有：=常量 对于不同的行星，此常量的值也不同。 行星动量的大小与动量到太阳中心的距离的乘积可用以描述行星运动的特征，该乘积称为动量矩。 动量矩也是度量物体机械运动的传递量。13.1 质点和质点系动量矩1. 定义 设质点M某瞬时的动量为mv，质点相对于点O的位置用矢径r表示，如图所示。质点M对于点O的矩，定义为质点对于点O的动量矩，即一、质点的动量矩(13.1

3、)(13.1)质点对于点O的动量矩是矢量，它垂直于矢径r与mv所形成的平面，指向按右手法则确定，3.大小为2. 指向 质点动量在Oxy平面内的投影(mv)xy对于点O的矩，定义为质点动量对于z 轴的矩，简称对于z 轴的动量矩。对轴的动量矩是代数量， Mo(mv)zMz(mv) （13.2a） 5.单位 kgm2/s4.投影 动量矩在三个坐标轴上投影：直角坐标系如图，并以x、y、z和mvx、mvy、mvz分别表示质点的矢径和动量在三个坐标轴上的投影，则：于是，动量对O点之矩在三个坐标轴上的投影分别为： 与力对轴之矩相仿，也可把动量在垂直于某轴的平面上的分量对此平面与该轴交点之矩称为动量对该轴之矩

4、。 动量对轴之矩也是代数量，其正负号也按右手螺旋法则确定。动量对x、y、z轴之矩的解析表达式为： 动量对某点之矩在通过该点的任一轴上的 投影等于动量对该轴之矩。 动量对某点之矩与动量对通过该点的任一轴之矩的关系： 与力对点之矩和力对通过该点的轴之矩之间的关系完全相同。 解：例1 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1 滑轮B：m2，R2，J2 ；物体C：m3 求系统对O轴的动量矩。二 、动量矩对时间的变化率 当质点运动时，动量对空间某固定点O之矩也随时间而变，动量矩对时间的变化率为：即质点动量对空间某固定点之矩对时间的变化率等于作用于质点上的力对同一点之矩，这称为质点对固定点的动量矩定理。三

5、动量矩定理：四 动量矩定理的投影形式：某矢量变化率的投影等于其投影的变化率。 质点动量对某固定轴之矩对时间的变化率等于作用于质点上的力对同一轴之矩，这称为质点对固定轴的动量矩定理。五 特殊形式的讨论（1） 若在整个运动过程中， F=0 或F 的作用线过矩心，即：质点受到一个恒指向某一固定点的力，该力称为有心力。此时：即作用于质点上的力对某点之矩为零，质点的动量对该点的动量矩守恒。（2）如在运动过程中，有即若作用于质点上的力对某轴之矩为零， 则质点的动量对该轴的动量矩守恒。动量矩定理的应用 动量矩定理建立了力矩与动量矩的关系。 在非自由质点动力学中，当质点所受的约束反力始终通过某一固定点或甚至与

6、一固定轴共面（相交和平行）时，则可应用对该点和对该轴的动量矩定理建立不含约束反力的质点运动的微分方程。 求解微分方程以求出需要的结果。例 试用质点动量矩定理推导数学摆作微幅摆动时的 运动微分方程，并讨论数学摆的运动。 数学摆是用一根质量不计的绳悬挂一质量为 m的小球，悬于固定点O上，并使小球能保持在通过点O的某一铅垂平面内运动，其运动的轨迹为以 O为圆心，绳长为半径的一段圆弧，这样一个系统称为数学摆。运动分析：解：将小球视为质点。受力分析；受力图如图示。（4）建立运动微分方程： 根据质点对轴的动量矩定理，有：故得单摆的运动微分方程为：力矩：FT始终通过O并与z轴相交，对 z轴之矩为0。（5）解

7、微分方程得单摆的运动微幅摆动：上式改写为：二阶线性齐次常微分方程的特征方程为：特征方程的解为共扼复根，可解微分方程得：摆的运动规律式中：及为积分常数，其值由初始条件确定。（6） 运动的讨论：质点M的运动方程为； 即质点M运动时，其位置坐标是时间t的函数，这种按照正、余弦规律变化的函数，称为简谐函数，因此M点的运动就称为简谐运动。简谐运动的特征：其位置坐标 随时间呈周期性的变化，是质点（摆）偏离平衡位置（或振动中心）的最大距离，称为振幅。O称为振动中心。t+称为位相角；是确定质点位置的参变量；称为初位相；质点初瞬时（t=0)的相位角。 质点M 往复运动一次（振动一次）又回到原来的位置，并具有原来

8、运动相同的运动方向所需要的时间称为周期，以T 表示本题中：注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针转向为正）质点动量矩定理的应用：在质点受有心力的作用时。质点绕某心（轴）转动的问题。周期的倒数1T称为频率，记为f，表示每秒内质点振动的次数；频率的单位为：1/s，即：Hz；圆频率表示在2秒内质点振动的次数，单位为Hz。本题中：质点系的动量矩定理1. 质点系对某点O的动量矩L0 2. 质点系对某轴z的动量矩Lz ， Lz等于各质点对同一轴z动量矩的代数和，即L0等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和，或称为质点系动量对点O的主矩，即3 .刚体上任一点对转轴 的动量矩为：4. 刚体对转轴

9、的动量矩为：刚体对转轴的动量矩Jz刚体对转轴的转动惯量， 当刚体一定、转轴一定时， Jz是定值。如果不计轴承中的摩擦，轴承反力对于轴的力矩等于零，2质点系的动量矩定理i =1,2,n ; n个方程相加，有n个质点，由质点动量矩定理有由于于是 上式表明质点系对于某定点O 的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和，（外力对点O 的主矩）称为质点系动量矩定理，其投影式为： 3动量矩守恒定理 如果作用于质点的力对某定点O的矩恒为零，则质点对该点的动量矩保持不变，即作用于质点的力对某定轴的矩恒为零，则质点对该轴的动量矩保持不变，即以上结论称为质点动量矩守恒定律同理，当外力对某定

10、点（或某定轴）的主矩等于零时，质点系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这就是质点系动量矩守恒定律。另外，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。（3）内力： 质点系的动量矩的改变仅与外力有关，与内力无关，只有外力才能引起质点系动量矩的改变。（4）讨论：如果FR=0，或者Mz(FR)0 ，则： Lzct(常量)，即：若作用于质点系上的全部外力对某固定轴之矩的代数和为零，则该质点系对同一轴的动量矩保持不变，这称为质点系对固定轴的动量矩守恒定理。 动量矩定理用于研究转动刚体的动力学问题中，具有极为重要的意义和作用。 刚体的定轴转动微分方程研究对象： 绕定轴z转动的刚体。如图：2 . 刚体上任一点的动量

11、： 某瞬时，刚体的角速度为，刚体上任一点Mi，其质量为mi，到转轴的距离为ri，在此瞬时质点的速度大小为vi=ri，垂直于z轴的平面，并与ri正交，故其动量为：mivi=mi ri3 .刚体上任一点对转轴的动量矩为：4. 刚体对转轴的总动量矩为：令：称为刚体对转轴z的转动惯量，因m、ri均为定值, 所以，在转轴确定的情况下，转动惯量是常数。即：定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对 转轴的转动惯量与角速度的乘积。 故有：称为刚体对转轴z的转动惯量，因m、ri均为定值所以，在转轴确定的情况下，转动惯量是常数。 该方程表明，刚体对转轴的转动惯量与刚体角加速度的乘积等于作用于刚体上的外力对转轴的主矩。

12、5.转动刚体的运动微分方程已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律；已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。特殊情况： 若外力矩恒为零，则刚体作匀速转动或保持静止； 若外力矩为常量，则刚体作匀变速转动。 将 比较，刚体的转动惯量的大小体现了刚体转动状态改变的难易程度，是刚体转动惯性的度量。刚体绕定轴转动主要解决两类问题：x点的位置坐标。f亦起坐标作用，确定刚体位置。Fx力：使质点直线运动产生加速度的原因。Mz力矩：使刚体绕定轴转动产生角加速度的原因。 反映运动快慢的变化。 反映转动快慢的变化。6、比较m表示平动刚体（质点）的惯性。Jz表示

13、转动刚体的惯性。7.内力：内力成对出现，不影响刚体运动的动量矩。刚体作匀角加速转动；刚体作匀角速转动（2）如果：8. 讨论：（1）如果 芭蕾舞演员以单脚尖着地，而绕通过该脚尖的铅垂轴转动时，外力（重力和地面的支承力）对转轴之矩为零，故人体对该转轴的动量矩守恒，这时，演员可借伸张或收缩双臂与另一腿以改变对转轴的转动惯量，从而可以收到减小或增大其转速的效果。实例运动分析： ，由动量矩定理即解：将小球视为质点。受力分析；受力图如图示。例2 图示单摆已知m，l，t =0时= 0，从静止开始释放。 求单摆的运动规律。注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针转向为正）质点动量矩定理的应用：在

14、质点受有心力的作用时。质点绕某心（轴）转动的问题。微幅摆动时，并令解微分方程,并代入初始条件摆动周期则则运动方程解：例1 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1 滑轮B：m2，R2，J2 ；物体C：m3 求系统对O轴的动量矩。解: 取整个系统为研究对象， 受力分析如图示。 运动分析： v =r由动量矩定理：例3 已知: 例: 通风机的转动部分以初角速度0开始转动，它所受 空气的阻力矩的大小 与角速度成正比，|M|=，其中，为比例系数，如转动部分对转轴的转动惯量为J，问经过多少时间后，其转动角速度减小为初角速度的一半？又在此时间内共转了多少转？解：通风机转动部分的转动微分方程为：分离变量：积分得

15、：初0，阻力矩|M|=，转动部分对轴的转动惯量为J，经过多少时间角速度 0/2 ？共转了多少转？初始条件：代入上式得：故有：转动角速度减小为初角速度的一半所经过的时间T为： 欲求在此时间内所转动的转数，可将转动微分方程改写为：从而有：转动部分所转过的转角为：相应的转数为：例 题已知，A与B两飞轮轴杆由摩擦啮合器连接。A轮的转动惯量为 J1=10kg.m2， 轴承处摩擦不计，开始时B轮静止，A轮以n1=600r/min转动，然后使A与B结合，因而B轮得到加速度而A轮减速，直到两轮的转速都等于n2=200r/min为止，求（1）B轮的转动惯量、（2）在啮合过程中A轮损失的动量矩。9、Lz的作用 举

16、例说明：根据系统的动量矩守恒，有 则B轮的转动惯量为 角速度为J1=10kg.m2，J2= ？ kg.m2， n1=600r/min， n2=200r/min 解：（1）取两飞轮为系统，因为整个系统不受外力矩，所以对转动轴的动量矩守恒。（2）系统在啮合过程中 A轮损失的动量矩恰好等于B 轮获得的动量矩。J1=10kg.m2，n1=600r/min， n2=200r/min显然 例6 图示传动系统中，主动轮半径为R1，对于其转动轴的转动惯量为J01，以从动轮半径为R2，鼓轮半径为r并与从动轮相固结成为一刚体，从动轮连同鼓轮对于其转动轴的转动惯量为J02，鼓轮外绕一绳，绳端系一质量为m的物体。 若

17、在主动轮上作用一不变力矩M，设轴承处摩擦和绳质量不计，求重物的加速度。解：1、先取主动轮讨论 受力分析：m1g、Fx1、Fy1、M、F、FN 建立刚体转动微分方程 J1a1MFR1（1）2、再取从动轮连同重物一 起讨论受力分析： m2g、 Fx2、Fy2、 mg、 F、 FNdL2 dt= (J2+mr2)a2M2(F)FR2mgr由dL2 dt=M2(F)有(J2+mr2)a2FR2mgr（2）2、从动轮连同重物一起讨论建立质点系对固定轴的动量矩定理 L2 =J2w2+mvr=( J2+mr2)w2（1）、（2）两式中有 FF， R1a1R2a2，令 k=a1a2R2R1J1a1MFR1 （1）(J2+mr2)a2FR2mgr（2）整理得J1a1MFR1 （1）(J2+mr2)a2FR2mgr（2）R1a1R2a2，k=a1a2R2R1(k2J1 J2mr2)a2kMkFR1FR2mgra2(kMmgr)(k2J1 J2mr2)=ct由于ra2a，可求得重物上升的加速度 a(MrR2R1mgr2)(R22J1+ J2 R12+mr2R12)例题（参见习题13.14）用落体观察法测量飞轮的转动惯量，是将半径为R 的飞轮支承在O点上，然后在绕过飞轮的绳子一端挂上一质量为m的重物，