反馈控制与极点配置

1、反馈控制与极点配置第1页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二目录(1/1)目 录概述6.1 状态反馈与输出反馈6.2 反馈控制与极点配置6.3 系统镇定6.4 系统解耦6.5 状态观测器6.6 带状态观测器的闭环控制系统6.7 Matlab问题本章小结第2页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二反馈控制与极点配置(1/5)6.2 反馈控制与极点配置本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续系统的极点配置,即使反馈闭环控制系统具有所指定的闭环极点。对线性定常离散系统的状态反馈设计问题,有完全平行的结论和方法。第3页，共63页，2022年，5月20日，4点7

2、分，星期二反馈控制与极点配置(2/5)对线性定常系统,系统的稳定性和各种性能的品质指标,在很大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。因此在进行系统设计时,设法使闭环系统的极点位于s平面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极点,是可以有效地改善系统的性能品质指标的。这样的控制系统设计方法称为极点配置。在经典控制理论的系统综合中,无论采用频率域法还是根轨迹法,都是通过改变极点的位置来改善性能指标,本质上均属于极点配置方法。本节所讨论得极点配置问题,则是指如何通过状态反馈阵K的选择,使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选择的一组期望极点上。第4页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，

3、星期二反馈控制与极点配置(3/5)由于线性定常系统的特征多项式为实系数多项式,因此考虑到问题的可解性,对期望的极点的选择应注意下列问题:1) 对于n阶系统,可以而且必须给出n个期望的极点;2) 期望的极点必须是实数或成对出现的共轭复数;3) 期望的极点必须体现对闭环系统的性能品质指标等的要求。第5页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二反馈控制与极点配置(4/5)基于指定的期望闭环极点,线性定常连续系统的状态反馈极点配置问题可描述为:给定线性定常连续系统 确定反馈控制律使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭环极点也就是成立第6页，共63页，2022年，5月20日，

4、4点7分，星期二反馈控制与极点配置(5/5)下面分别讨论:状态反馈极点配置定理SISO系统状态反馈极点配置方法MIMO系统状态反馈极点配置方法输出反馈极点配置第7页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二状态反馈极点配置定理(1/11)6.2.1 状态反馈极点配置定理在进行极点配置时,存在如下问题:被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件,则是可以进行极点配置的。 下面的定理就回答了该问题。第8页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二状态反馈极点配置定理(2/11)定理3-22 对线性定常系统(A,B,C)利用线性状态反馈阵K,能使闭环系统K(A-BK,B,C)的极点任

5、意配置的充分必要条件为被控系统(A,B,C)状态完全能控。 证明 (1) 先证充分性(条件结论)。即证明,若被控系统(A,B,C)状态完全能控,则状态反馈闭环系统K(A-BK,B,C)必能任意配置极点。由于线性变换和状态反馈都不改变状态能控性,而开环被控系统(A,B,C)状态能控,因此一定存在线性变换能将其变换成能控规范II形。不失一般性,下面仅对能控规范II形证明充分性。第9页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二状态反馈极点配置定理(3/11)下面仅对SISO系统进行充分性的证明,对MIMO系统可完全类似于SISO的情况完成证明过程。证明过程的思路为:分别求出开环与闭环系统的

6、传递函数阵比较两传递函数阵的特征多项式建立可极点配置的条件第10页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二状态反馈极点配置定理(4/11)证明过程:设SISO被控系统(A,B,C)为能控规范II形,则其各矩阵分别为且其传递函数为第11页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二状态反馈极点配置定理(5/11)若SISO被控系统(A,B,C)的状态反馈阵K为K=k1 k2 kn则闭环系统K(A-BK,B,C)的系统矩阵A-BK为相应的状态反馈闭环控制系统的传递函数和特征多项式分别为第12页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二状态反馈极点配置定理(6/11)如

7、果由期望的闭环极点所确定的特征多项式为f*(s)=sn+a1*sn-1+an*那么,只需令fK(s)=f*(s),即取a1+kn=a1* an+k1=an*则可将状态反馈闭环系统K(A-BK,B,C)的极点配置在特征多项式f*(s)所规定的极点上。即证明了充分性。同时,我们还可得到相应的状态反馈阵为K=k1 k2 kn 其中第13页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二状态反馈极点配置定理(7/11)(2) 再证必要性(结论条件)。即证明,若被控系统(A,B,C)可进行任意极点配置,则该系统是状态完全能控的。采用反证法。即证明,假设系统是状态不完全能控的,但可以进行任意的极点配置

8、。证明过程的思路为:对状态不完全能控开环系统进行能控分解对能控分解后的系统进行状态反馈其完全不能控子系统不能进行极点配置与假设矛盾,必要性得证第14页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二状态反馈极点配置定理(8/11)证明过程:其中状态变量 是完全能控的;状态变量 是完全不能控的。对状态反馈闭环系统K(A-BK,B,C)作同样的线性变换,有其中被控系统(A,B,C)状态不完全能控,则一定存在线性变换x=Pc ,对其可进行能控分解,得到如下状态空间模型:第15页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二状态反馈极点配置定理(9/11)由上式可知,状态完全不能控子系统的系

9、统矩阵 的特征值不能通过状态反馈改变,即该部分的极点不能配置。虽然状态完全能控子系统的 的特征值可以任意配置,但其特征值个数少于整个系统的系统矩阵 的特征值个数。因此,系统 的所有极点并不是都能任意配置。由于线性变换不改变系统特征值,因此系统(A,B,C)的极点并不是都能任意配置的。这与前面假设矛盾,即证明被控系统可任意极点配置,则是状态完全能控的。故必要性得证。 第16页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二状态反馈极点配置定理(10/11)由能控规范II形的状态反馈闭环系统的传递函数表明,状态反馈虽然可以改变系统的极点,但不能改变系统的零点。当被控系统是状态完全能控时,其极点

10、可以进行任意配置。因此,当状态反馈闭环系统极点恰好配置与开环的零点重合时,则闭环系统的传递函数中将存在零极点相消现象。根据零极点相消定理可知,闭环系统或状态不能控或状态不能观。第17页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二状态反馈极点配置定理(11/11)由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全能控特性,故该闭环系统只能是状态不完全能观的。这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性。从以上说明亦可得知,若SISO系统没有零点,则状态反馈不改变系统的状态能观性。第18页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二SISO系统状态反馈极点配置方法(1/10)6.2.2 SI

11、SO系统状态反馈极点配置方法上述定理及其证明不仅说明了被控系统能进行任意极点配置的充分必要条件,而且给出了求反馈矩阵K的一种方法。对此,有如下讨论:1. 由上述定理的充分性证明中可知,对于SISO线性定常连续系统的极点配置问题,若其状态空间模型为能控规范II形,则相应反馈矩阵为K=k1 kn=an*-an a1*-a1其中ai和ai*(i=1,2,n)分别为开环系统特征多项式和所期望的闭环系统特征多项式的系数。第19页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二SISO系统状态反馈极点配置方法(2/10)对能控规范II形进行极点配置,求得相应的状态反馈阵如下因此,原系统的相应状态反馈阵

12、K为2. 若SISO被控系统的状态空间模型不为能控规范II形,则由4.6节讨论的求能控规范II形的方法,利用线性变换x=Tc2 ,将系统(A,B)变换成能控规范II形 ,即有第20页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二SISO系统状态反馈极点配置方法(3/10)例2下面通过两个例子来说明计算状态反馈阵K的方法。例6-2 设线性定常系统的状态方程为求状态反馈阵K使闭环系统的极点为-1j2。第21页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二SISO系统状态反馈极点配置方法(4/10)解 1： 判断系统的能控性。开环系统的能控性矩阵为则开环系统为状态能控,可以进行任意极点配

13、置。2. 求能控规范II形:第22页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二SISO系统状态反馈极点配置方法(5/10)3. 求反馈律:因此开环特征多项式f(s)=s2-2s-5,而由期望的闭环极点-1j2所确定的期望闭环特征多项式f*(s)=s2+2s+5,则得状态反馈阵K为则在反馈律u=-Kx+v下的闭环系统的状态方程为第23页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二SISO系统状态反馈极点配置方法(6/10)通过验算可知,该闭环系统的极点为-1j2,达到设计要求。第24页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二SISO系统状态反馈极点配置方法(7/10

14、)例3例6-3 已知系统的传递函数为试选择一种状态空间实现并求状态反馈阵K,使闭环系统的极点配置在-2和-1j上。解 1：要实现极点任意配置,则系统实现需状态完全能控。因此,可选择能控规范II形来建立被控系统的状态空间模型。故有第25页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二SISO系统状态反馈极点配置方法(8/10)2. 系统的开环特征多项式f(s)和由期望的闭环极点所确定的闭环特征多项式f*(s)分别为f(s)=s3+3s2+2sf*(s)=s3+4s2+6s+4则相应的反馈矩阵K为K=a3*-a3 a2*-a2 a1*-a1第26页，共63页，2022年，5月20日，4点7分

15、，星期二SISO系统状态反馈极点配置方法(9/10)因此,在反馈律u=-Kx+v下,闭环系统状态方程为在例6-3中,由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时需先求系统实现,即需选择状态变量和建立状态空间模型。这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、可以直接作反馈量的问题。第27页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二SISO系统状态反馈极点配置方法(10/10)由于状态变量是描述系统内部动态运动和特性的,因此对实际控制系统,它可能不能直接测量,更甚者是抽象的数学变量,实际中不存在物理量与之直接对应。若状态变量不能直接测量,则在状态反馈中需要引入所谓的状态观测器来估计系统

16、的状态变量的值,再用此估计值来构成状态反馈律。这将在下节中详述。第28页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二MIMO系统状态反馈极点配置方法(1/2)6.2.3 MIMO系统状态反馈极点配置方法MIMO线性定常连续系统极点配置问题的提法为:对给定的状态完全能控的MIMO被控系统(A,B)和一组所期望的闭环极点 ,要确定rn的反馈矩阵K,使成立第29页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二MIMO系统状态反馈极点配置方法(2/2)对SISO系统,由极点配置方法求得的状态反馈阵K是唯一的,而由MIMO系统的极点配置所求得的状态反馈阵K不唯一。这也导致了求取MIMO系统

17、极点配置问题的状态反馈矩阵的方法多样性。MIMO系统极点配置主要方法有:(1) 化为单输入系统的极点配置方法(2) 基于MIMO能控规范形的极点配置方法(3) 鲁棒特征结构配置的极点配置方法。下面分别介绍前2种方法。 第30页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二化为单输入系统的极点配置方法(1/8)1. 化为单输入系统的极点配置方法对能控的多输入系统,若能先通过状态反馈化为单输入系统,则可以利用前面介绍的SISO系统的极点配置方法来求解MIMO系统的极点配置问题的状态反馈矩阵。为此,有如下MIMO系统极点配置矩阵求解算法步骤。第1步: 判断系统矩阵A是否为循环矩阵(即每个特征值

18、仅有一个约旦块或其几何重数等于1)。若否,则先选取一个rn维的反馈矩阵K1,使A-BK1为循环矩阵,并令 ;若是,则直接令 。第31页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二化为单输入系统的极点配置方法(2/8)第3步: 对于等价的单输入系统的极点配置问题,利用单输入极点配置方法,求出状态反馈矩阵K2,使极点配置在期望的闭环极点 。第2步: 对循环矩阵,适当选取r维实列向量p,令b=Bp且为能控的。第4步: 当A为循环矩阵时,MIMO系统的极点配置反馈矩阵解K=pK2;当A不为循环矩阵时,MIMO系统的极点配置反馈矩阵解K=pK2+K1。第32页，共63页，2022年，5月20日，

19、4点7分，星期二化为单输入系统的极点配置方法(3/8)例4在上述算法中,之所以需要判断系统矩阵A是否为循环矩阵是因为对单输入系统,若A不为循环矩阵(其某个特征值对应约旦块多于一个),则根据推论3-1,系统直接转化成的单输入系统不能控,不能进行极点配置。例6-4 设线性定常系统的状态方程为求状态反馈阵K使闭环系统的极点为-2,-1j2。 第33页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二化为单输入系统的极点配置方法(4/8)例4解 (1) 判断系统的能控性。由于被控系统状态空间模型恰为约旦规范形,由定理3-2可知,该开环系统为状态能控,可以进行任意极点配置。(2) 由于系统矩阵A不为循

20、环矩阵,需求取rn维的反馈矩阵K1,使为循环矩阵。试选反馈矩阵K1为:第34页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二化为单输入系统的极点配置方法(5/8)例4可以验证为循环矩阵。(3) 对循环矩阵 ,选取r维实列向量p=1 1为,可以验证为能控的。第35页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二化为单输入系统的极点配置方法(6/8)例4(4) 对于等价的能控的单输入系统 的极点配置问题,利用单输入极点配置方法,求出将闭环极点配置在-2,-1j2的状态反馈矩阵K2为K2=-24 -68 50计算过程为第36页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二化为单输入

21、系统的极点配置方法(7/8)例4因此系统开环特征多项式f(s)=|sI-A|=s3-4s2+5s-2,而由期望的闭环极点-3,-1j2所确定的期望的闭环特征多项式f(s)=s3+4s2+9s+10,则得系统的状态反馈阵K2为第37页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二化为单输入系统的极点配置方法(8/8)例4(5) 对MIMO系统的极点配置反馈矩阵解为则在反馈律u=-Kx+v下的闭环系统的状态方程为通过验算可知,该闭环系统的极点为-2,-1j2,达到设计要求。 第38页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二基于MIMO能控规范II形的极点配置方法(1/1)2. 基

22、于MIMO能控规范形的极点配置方法 类似于前面介绍的SISO系统的极点配置方法,对能控的MIMO系统,也可以通过线性变换将其变换成旺纳姆能控规范II形或龙伯格能控规范II形,然后再进行相应的极点配置。这种基于能控规范形的极点配置方法,计算简便,易于求解。下面分别介绍。基于旺纳姆能控规范II形的设计 基于龙贝格能控规范II形的设计 第39页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二基于旺纳姆能控规范II形的设计(1/4)(1) 基于旺纳姆能控规范II形的设计 下面结合一个3个输入变量,5个状态变量的MIMO系统的极点配置问题求解来介绍基于旺纳姆能控规范II形的极点配置算法。第一步: 先

23、将能控的MIMO系统化为旺纳姆能控规范II形，变换方法如4.6节所介绍的。不失一般性,设变换矩阵为，所变换成的旺纳姆能控规范II形的系统矩阵和输入矩阵分别为:第40页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二第二步: 对给定的期望闭环极点 ,按旺纳姆能控规范II形 的对角线的维数,相应地计算基于旺纳姆能控规范II形的设计(2/4)第41页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二基于旺纳姆能控规范II形的设计(3/4)第三步: 取旺纳姆能控规范II形下的反馈矩阵 为将上述反馈矩阵 代入旺纳姆能空规范II形验算,可得第42页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二

24、基于旺纳姆能控规范II形的设计(4/4)第四步: 原系统的反馈矩阵为第43页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二基于龙伯格能控规范II形的设计(1/14)(2) 基于龙伯格能控规范II形的设计 下面结合一个3个输入变量,6个状态变量的MIMO系统的极点配置问题求解来介绍基于龙伯格能控规范II形的极点配置算法。第一步: 先将能控的MIMO系统化为龙伯格能控规范II形变换，方法如4.6节所介绍的。不失一般性,设变换矩阵为,所变换成的龙伯格能控规范II形的系统矩阵和输入矩阵分别为:第44页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二基于龙伯格能控规范II形的设计(2/14)第

25、45页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二基于龙伯格能控规范II形的设计(3/14)第二步: 对给定的期望闭环极点 ,按龙伯格能控规范II形 的对角线的维数,相应地计算第46页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二基于龙伯格能控规范II形的设计(4/14)第三步: 对龙伯格能控规范II形,一定存在状态反馈阵 使得闭环反馈矩阵为 其中 为期望闭环特征多项式的系数。因此,将开环的 带入代数上述方程,由该方程的第3,5,6行(即每个分块的最后一行)可得如下关于状态反馈阵 的方程第47页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二基于龙伯格能控规范II形的设计(5

26、/14)由代数方程论知识可知,上述代数方程组有唯一解。由于该方程为下三角代数方程组,可以快捷地求解出状态反馈矩阵。第四步: 原系统的反馈矩阵为第48页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二基于龙伯格能控规范II形的设计(6/14)例5例6-5 试将线性连续定常系统 的闭环极点配置在和-1, -2j,-12j上。 第49页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二基于龙伯格能控规范II形的设计(7/14)例5解 (1) 采用旺纳姆能控规范II形求解。第一步: 按照4.5节求解旺纳姆能控规范II形的算法步骤求得如下旺纳姆能控规范II形其中变换矩阵 第50页，共63页，202

27、2年，5月20日，4点7分，星期二基于龙伯格能控规范II形的设计(8/14)例5第二步: 对给定的期望闭环极点 ,按旺纳姆能控规范II形的对角线的维数,相应地计算第三步: 取旺纳姆能控规范II形下的反馈矩阵为则闭环系统的系统矩阵为:第51页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二基于龙伯格能控规范II形的设计(9/14)例5第52页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二基于龙伯格能控规范II形的设计(10/14)例5第四步: 原系统的反馈矩阵和闭环系统矩阵分别为 第53页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二基于龙伯格能控规范II形的设计(11/14)例

28、5(2) 采用龙贝格能控规范II形求解。第一步: 按照4.5节求解龙贝格能控规范II形的算法步骤求得如下龙贝格能控规范II形其中变换矩阵 第54页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二基于龙伯格能控规范II形的设计(12/14)例5第二步: 对给定的期望闭环极点 ,按龙贝格能控规范II形的对角线的维数,相应地计算第三步: 期望的闭环系统矩阵为 第55页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二基于龙伯格能控规范II形的设计(13/14)例5因此状态反馈阵满足的方程为即 因此可以解得第56页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二基于龙伯格能控规范II形的设计(14/14)例5第四步: 原系统的反馈矩阵和闭环系统矩阵分别为 第57页，共63页，2022年，5月20日，4点7分，星期二输出反馈极点配置(1/6)6.2.4 输出反馈极点配置由于输出变量空间可视为状态变量空间的子空间,因此输出反馈也称之为部分状态反馈。由于输出反馈包含的信息较状态反馈所包含的信息少,因此输出反馈的控制与镇定能力必然要比状态反馈弱。线性定常连续系统的输出反馈极点配置问题可描述为:给定线性定常连续系统第58页，共6