2021上资格证数学科目三-理论精讲-高等代数3-1.19晚-高峰

1、2021教师资格证数学科目三高等代数3主讲：高峰第二节 向量一 向量的概念二 向量组的线性相关性初中高中2017年上：102018年下：52017年上：102018年下：52019年下：5Lorem ipsum dolor sit amet2020年下：3一、向量的概念（一）n维向量P153二、向量组的线性相关性 = ， = ， = 01230（一）向量组的概念P154二、向量组的线性相关性（一）向量组的概念P154选+简（二）向量组的线性相关性和最大线性无关向量组P154选+简（二）向量组的线性相关性和最大线性无关向量组P154选+简（二）向量组的线性相关性和最大线性无关向量组 1 1 0

2、例1： = 0 ， = 0 ， = 0 ； 123 -101 0 1 0 例 2： = 1 ， = 0 ， = 0 ； 123 00-3 P155选+简（二）向量组的线性相关性和最大线性无关向量组 1 1 0 例1： = 0 ， = 0 ， = 0 ； 123 -101 0 1 0 例 2： = 1 ， = 0 ， = 0 ； 123 00-3 P155P155P155选+简考点求向量组的相关性的步骤a b m 111 abm 设有个维向量，=, =,2 22 12 abm nnn选+简（二）向量组的线性相关性和最大线性无关向量组 5 4 9 5 8 7 5例：P155选+简考点：求最大线性无

3、关组()m(1)构造A = , ,12()m(2)对A作初等行变换，化为行阶梯型B= , ,12(3)在B的每个台阶上取第一个非零元所在列的对应向量，构成向量组 , ,12r( 4) , ,r即为向量组 1 2m的一个极大线性无关组。12 5 4 9 5 8 7 5 0 6 0 0 8 60 0 4 0 6 0 0 8 60 0 0 0 0找一个向量组极大无关组技巧：非零行第一个非零元所在的列对应的向量P155P155P155P155P156找一个向量组极大无关组技巧：非零行第一个非零元所在的列对应的向量选（二）向量组的线性相关性和最大线性无关组4. 向量组的秩向量组的最大线性无关组所含向量的

4、个数称为向量组的秩，记向量组A: 1， ， ， 的秩为R ，则R =R（ ， ， ， ）。2AA12矩阵A的秩=非零子式的最高阶数矩阵A行向量组的秩矩阵A列向量组的秩有效方程的个数。P156选（三）线性组合 1 0 0 1 例 ： A: = 0 ， = 1 ， = 0 ， b= 1 123 00 2 2 P156选（三）线性组合P156P157P157选（三）线性组合P156总结第三节 线性方程组一 线性方程组的分块表示二 线性方程组的解特征值与特征向量相似矩阵三四初中高中2016年下：5，102017年上：62018年上：42019年上：62019年下：52020年下：11年下：5，10年上

5、：6201620172018年上：4Lorem ipsum dolor sit amet2019年上：62020年下：11一、线性方程组的分块表示P158二、线性方程组的解P158考点：（一）齐次线性方程组的解1.解的情况2.求解3.解的性质P158选（一）齐次线性方程组的解P159(1 )x + x = 012补充例题 取何值时，齐次方程组 有非零解（）x 2x = 0122332ABC1D-1（一）齐次线性方程组的解2. 基础解系P159（一）齐次线性方程组的解2. 基础解系P159简（一）齐次线性方程组的解3. 齐次线性方程组的解法 将系数矩阵 A 化成行阶梯形矩阵 化成行最简形矩阵，判

6、断其是否有非零解。 若有非零解，确定齐次线性方程组的基础解系含有的向量个数 n-R（A）; 写出同解方程组，给定自由未知数的值，求出其他解； 写出其解:齐次线性方程组的通解可以表示成基础解系的“线性组合”：通解形式 P159P160P160 6 5 0 5； 0 0 4 00 0 4 0+ 3 + 解：A= + 1 ； 0 0 00 0 0 0+ 1 0 0 0 00 0 0 0 = 12R(A)=2，基础解系中含有4-2=2个解向量，同解方程组为3 = 000令 = ， = 0，则 = 所以 =，令 = 0， = ，则 =2112100123000所以2 =，所以方程的基础解系：= 1 20

7、P160 0 40 0 0 0 0考一考： 若未知数个数为4，若系数矩阵为，基础解系的解向量为多少个？同解方程组是什么？通解是什么？ 0 40 0 0 0 0解：A= = 413R(A)=24，基础解系中含有4-2=2个解向量，同解方程组为 = 230令 = ， = 0，则 = ， = ,所以 =，312140令 = 0， = ，则 = 4, = ,所以 =，3122123040所以方程的通解为：= 1 2， ， .1 2P1600选+简（一）齐次线性方程组的解4. 齐次线性方程组解的性质P160选+简（一）齐次线性方程组的解5. 解空间P160选+简（一）齐次线性方程组的解5. 解空间P16

8、1P161P161考点：1.解的情况2.求解3.解的性质（二）非齐次线性方程组的解1. 定义P161选（二）非齐次线性方程组的解 , = 0 0 0 0 , = 0 0 0 0 , = 0 0 0 0 0P161（二）非齐次线性方程组的解2. 通解P162简（二）非齐次线性方程组的解3. 非齐次线性方程组的解法第一步：将增广矩阵B=(A, b)化成行阶梯形矩阵，判断其是否有解。第二步：若有解，化成行最简形矩阵，写出同解方程组；第三步：赋值得到基础解系与特解；，2为任意常数)1第四步：写出通解 = (1 12 2，2为任意常数)，不带参1非齐次线性方程组解的通解具有形式x= (1 12 2数部分 是非齐次方程组的一个解；带参数部分 的两个向量构成对应齐次1 12 2方程的通解。P162 4 4 5 9 8 0B= , =P163P163解：对增广矩阵B进行初等变换 ； 0 4 6 7 0 4 6 7 + 3 + 1 B= 4 4 5 9 8 0 5 7 0 4 40 0 0 0 0 0 + ； + 1 4 4 7 0 4 40 0 0 0 0R(A)=R(A, b)=2，方程组有解，同解方程组为3333 = 1323123，它的一个特解为 =基础解系为1 =，2 = = 23223 = 03 = 0331232311，所以通解= 1 2+ 2000000P