空间中的平行关系例题设计

1、空间中的平行关系例题设计例1、2013北京卷 如图15，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.图15证明：(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE，所以ABED为平行四边形，所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(

2、1)知PA底面ABCD，所以PACD.又因为ADPAA，所以CD平面PAD，所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF，所以CDEF，所以CD平面BEF，所以平面BEF平面PCD.例2、2013福建卷 如图13，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60.(1)当正视方向与向量eq o(AD,sup6()的方向相同时，画出四棱锥PABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M为PA的中点，求证：DM平面PBC；(3)求三棱锥DPBC的体积图13解：(1)在梯形ABCD中，过点C作CEAB，垂足为E.由已知得，四

3、边形ADCE为矩形，AECD3，在RtBEC中，由BC5，CE4，依勾股定理得BE3，从而AB6.又由PD平面ABCD得，PDAD.从而在RtPDA中，由AD4，PAD60，得PD4 eq r(3).正视图如图所示(2)方法一：取PB中点N，联结MN，CN.在PAB中，M是PA中点，MNAB，MNeq f(1,2)AB3.又CDAB，CD3，MNCD，MNCD，四边形MNCD为平行四边形，DMCN.又DM平面PBC，CN平面PBC，DM平面PBC.方法二：取AB的中点E，联结ME，DE.在梯形ABCD中，BECD，且BECD，四边形BCDE为平行四边形，DEBC.又DE平面PBC，BC平面PB

4、C，DE平面PBC.又在PAB中，MEPB，ME平面PBC，PB平面PBC，ME平面PBC.又DEMEE，平面DME平面PBC.又DM平面DME，DM平面PBC.(3)VDPBCVPDBCeq f(1,3)SDBCPD，又SDBC6，PD4 eq r(3)，所以VDPBC8 eq r(3).例3、2013广东卷 如图14(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将ABF沿AF折起，得到如图14(2)所示的三棱锥ABCF，其中BCeq f(r(2),2).图14(1)证明：DE平面BCF；(2)证明：CF平面ABF；(3)当ADeq

5、 f(2,3)时，求三棱锥FDEG的体积例4、2013广东卷 设l为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若l，l，则B若l，l，则C若l，l，则D若，l，则l解析 B 根据空间平行、垂直关系的判定和性质，易知选B.例5、2013江苏卷 如图12，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点求证：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.图12证明：(1)因为ASAB，AFSB，垂足为F，所以F是SB的中点又因为E是SA的中点，所以EFAB.因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEGE，所以平面EFG平面ABC.(2)因为平面SAB平面SBC，且交线为SB，又AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC.因为BC平面SBC，所以AFBC.又因为ABBC，AFABA，AF，AB平面SAB，所以BC平面SAB.因为SA平面SAB，所以BCSA.例6、2013江西卷 如图15所示，正方