大学初等数论期末试卷三套

1、一、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1.(2002)=_； d(2002)=_.2.自然数225，226，240中的素数是_.3.n+2,2n+3,3n+1中必定互素的一组数是_.4.模7的绝对值最小简化剩余系是_.5.同余方程16x6(mod 46)的解是_.6.不定方程3x+4y=5的通解是_.7.17|(2002n-1)，则正整数n的最小值是_.8.满足j(n) =20的n有多个，其中两个是_.9.弗罗贝纽斯(Frobenius)问题可表述为_.10. =_.二、计算题(本大题共3小题，第1，2小题各7分，第3小题9分，共

2、23分)1.判断下面同余方程组是否有解，如有解则求出其解： 试求不定方程y2+x=x2+y-22的所有正整数解.3.判断同余方程x262(mod 113)是否有解，如有解，则使用高斯(Gauss)逐步淘汰法求其解.三、论证题(本大题共4小题，第1，2小题各8分，第3小题10分，第4题11分，共37分)1.试证一个正整数的平方，必与该正整数的各位数码字的和的平方，关于模9同余。设(a,m)=1,x通过模m的一个简化剩余系，试证ax也通过模m的简化剩余系.设Fn=+1，试证(Fn,Fn+1)=1.4.试证在两继自然数的平方之间，不存在四个自然数abcd，使得ad=bc.一、单项选择题(本大题共5小

3、题，每小题3分，共15分)1.对于不同的整数n,最大公因数(4n-2,3n+1)将有不同的值,其可能得到的值共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个2.以下各组数中,恰有一个素数和一个合数的数组是（ ）A.101,103B.117,119C.131,133D.141,1433.设a是整数,下面同余式必不成立的是（ ）A.a2-1(mod 4)B.a22(mod 7)C.a23(mod 11)D.a2-1(mod 13)4.以下同余方程或同余方程组中,无解的是（ ）A.6x10(mod 22)B.6x10(mod 18)C.D. 5.在数201,202,203,204中不能表为两整数平方和的数

4、共有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1.d(2000)=_;(200)-(180)=_.2.为了编制1至2000之间的素数表,只需从中删去素数2,3,p的倍数,留下的数(包括2,3,p自身)就全是素数.为此,最小的p是_.3.设n是合数,且(n)=6,则其中一个n是_.4.同余方程12x8(mod 44)的解是_.5.不定方程7x+5y=22的通解是_.6.22004被31除所得余数是_.7.华林(Waring)问题是指_.8.依据勒让德 (Legendre)符号的值,同余方程x269(m

5、od 199)的解的个数是_.(注:661是素数)三、计算题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)1.解同余方程组2.试用高斯(Gauss)逐步淘汰法解同余方程x233 (mod 97).3.试求方程-=0的实数解.四、证明题(本大题共3小题，第1小题8分,第2小题10分,第3小题11分,共29分)1.试证x6+5=y2无整数解.试证形如4m-1的素数有无限多个.3.设(a,m)=1,正整数n使an1 (mod m)成立.这样的n有多个,其中最小的记为.试论|n.一、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.(5600)=_.2.同余方程20 x14(mod 72)关于模72的解是

6、_.3.不定方程7x+19y=213的整数解是_.4.模19的平方非剩余是_.5.同余方程x274(mod 101)有_个解.6.199!末尾连续地有_个零.7.547是_.（填“素数”或“合数”）.8.写出模10的一个最小的非负完全剩余系，并要求每项都是3的倍数，则此完全剩余系为_.9.最大公因数(n+1,3n+2)=_.10.欧拉定理表述为_.二、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分)1.求被7除所得的余数.解同余方程组3.甲物每千克5元，乙物每千克3元，丙物每3千克1元，现在用100元买这三样东西共100千克，问各买几千克？4.用高斯逐步淘汰法解同余方程x273(mod 137

7、).三、证明题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1.若n=9k+t,t=3,4,5或6，kZ，证明方程x3+y3=n无整数解.设3|(a2+b2)，证明3|a且3|b.若(a,m)=1，x通过模m的简化剩余系，则ax也通过模m的简化剩余系. 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.-30被-9除的余数是()A.-3B.-6C.3D.62.下列给出的数中是合数的是()A.1063B.1073C.1093D.11033.中5的幂指数是()A.1B.2C.3D.44.不

8、能表示为5x+7y（x, y是非负整数）的最大整数是()A.23B.24C.25D.265.下列给出的素数模数中，3是平方非剩余的是()A.37B.47C.53D.59二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1.60480的标准分解式为_.2.(50400)=_.3.(55.5)_.4.对任意的正整数n，最大公因数(12n+1,30n+3)=_.5.若(n)=4，则n=_.6.同余方程6x7(mod 23)的解是_.7.不定方程6x+9y=30的通解是_.8.写出模10的一个最小的非负简化剩余系，并要求每项都是7的倍数，则此简化剩余系为_.9.326被50除的余数是_.10.梅森数M23是_（填素数或合数）.三、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分)1.已知两正整数中，每一个除以它们的最大公约数所得的商之和等于18，它们的最小公倍数等于975，求这两个数。有一队士兵，若三人一组，则余1人；若五人一组，则缺2人；若十一人一组，则余3人。已知这队士兵不超过170人，问这队士兵有几人？求正整数x，使x2