北师大版初中数学七年级上册知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料)第二章 有理数及其运算(提高)

1、第二章有理数及其运算（提高）像+3、+1.5、1有理数的意义【学习目标】1掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；2理解正数、负数、有理数的概念；3.掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想【要点梳理】要点一、正数与负数1、+584等大于0的数，叫做正数；像3、1.5、58422等在正数前面加“”号的数，叫做负数要点诠释：（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略.（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线要点二、有

2、理数的分类（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：要点诠释：（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数【典型例题】类型一、正数与负数11（2019广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作九章算术的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数如果收入100元记作+100元那么80元表示（）A支出20元B收入20元C支出80元D收入80元【思路点拨】在一对具有相

3、反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示【答案】C【解析】解：根据题意，收入100元记作+100元，则80表示支出80元故选：C【总结升华】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量举一反三：【变式1】（2019太仓市模拟）一种大米的质量标识为“（500.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（）A50.0千克B50.3千克C49.7千克D49.1千克【答案】D解：“500.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用_表示，0元表示_.(2)若购进50本书，用-5

4、0本表示，则盈利30元如何表示？【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出.(2)不是一对具有相反意义的量，不能表示.【变式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）A20mB40mC20mD40m【答案】B2体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0（1）这8名男生有百分之几达到标准？（2）他们共做了多少引体向上？（【答案与解析】1）由题意可知：正数或0表示达标，5而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：100%62.5%；8答：这8名

5、男生有62.5%达到标准.（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）答：他们共做了引体向上56个.【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.2类型二、有理数的分类3下面说法中正确的是()A非负数一定是正数B有最小的正整数，有最小的正有理数Ca一定是负数1,0.0708,-700,-3.88,0,3.14159265,723.D正整数和正分数统称正有理数【答案】D【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B)最小的正整数为1，但没有最小的正有理数；(C)不对，当a为负数或0时，则a为正数或0，而不是负数；(D)对【总结升华】一个有理数既有性质符

6、号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数.举一反三：【变式1】判断题：（1）0是自然数，也是偶数（）（2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（）（3）整数又叫自然数.（）（4）非负数就是正数，非正数就是负数.（）【答案】，【变式2】下列四种说法，正确的是().(A)所有的正数都是整数(B)不是正数的数一定是负数(C)正有理数包括整数和分数(D)0不是最小的有理数【答案】D4请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.，正整数集合:，负整数集合:，整数集合:，正分数集合:，负分数集合:，分数集合:，非负数集合：，非正数集合：.【答案】正整数：1；负整数：-700；整数：1，

7、0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，；负分数：-3.88，723；3分数：0.0708，3.14159265，-3.88，723；非负数：1,0.0708，3.14159265，0，；非正数：-700,-3.88,0,【解析】723【总结进行填升华】填数的方法有两种：一种是逐个考察，一一写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中找出属于这个集合的数.此外注意几个概念：非负数包括0和正数；非正数包括0和负数.举一反三：（【变式】2018秋惠安县期末）在有理数、5、3.14中，属于分数的个数共有个【答案】2.类型三、探索规律5某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分

8、组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，.按此规律，那么请你推测第n组应该有种子是粒.【答案】(2n1)【解析】第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，由此我们观察到的粒数与组数之间有一定关系：3211，5221，7231，9241，按此规律，第n组应该有种子数（2n1）粒.【总结升华】研究一列数的排列规律时，其中的数与符号往往都与序数有关.举一反三：【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，【答案】-3，根据这个规律，那么第2010个数是：【变式2】观察下列有规律的数：【答案】19011111,根据其规律可知第9个数是：2612203

9、04【巩固练习】一、选择题1.（2018甘肃模拟）下列语句正确的（）个（1）带“”号的数是负数；（2）如果a为正数，则a一定是负数；（3）不存在既不是正数又不是负数的数；（4）0表示没有温度A.0B.1C.2D.32.关于数“0”，以下各种说法中，错误的是()A0是整数B0是偶数C0是正整数D0既不是正数也不是负数3.如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是()A前进-18米的意义是后退18米B收入-4万元的意义是减少4万元C盈利的相反意义是亏损D公元-300年的意义是公元后300年4.一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是()A甲站

10、的东边70千米处B甲站的西边20千米处C甲站的东边30千米处D甲站的西边30千米处5在有理数中，下面说法正确的是（）A身高增长1.2cm和体重减轻1.2kg是一对具有相反意义的量B有最大的数C没有最小的数，也没有最大的数D以上答案都不对6.下列各数是正整数的是（）A1B2C05D2二、填空题（12018秋朝阳区期末）如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可记作2在数中，非负数是_；非正数是_.3把公元2008年记作+2008，那么-2008年表示.4既不是正数，也不是负数的有理数是.5（2019春温州校级期中）如果向东行驶10米，记作+10米，那么向西行驶20米，记作_米6是整数而

11、不是正数的有理数是.7既不是整数，也不是正数的有理数是.0.02）毫米，表示这种零件的标准尺寸是毫8一种零件的长度在图纸上是（100.03米，加工要求最大不超过毫米，最小不小于毫米.5三、解答题1说出下列语句的实际意义.（1）输出-12t（2）运进-5t（3）浪费-14元（4）上升-2m(5)向南走-7m2（2018秋晋江市期末）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置28%，2018，3.14，（+5），0.(2)-1,13（2018秋赣州校级期末）随着人们的生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入普通家庭小明家买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程，

12、以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“”，刚好50km的记为“0”，记录数据如下表：时间第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程（km）81114016+41+8（1）请你估计小明家的小轿车一月（按30天计）要行驶多少千米？（2）若每行驶100km需用汽油8L，汽油每升7.14元，试求小明家一年（按12个月计）的汽油费用是多少元？4观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗?(1)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8，.，.11111,-,.,.234567【答案与解析】一、选择题1.【答案】B【解析】

13、（1）带“”号的数不一定是负数，如（2），错误；（2）如果a为正数，则a一定是负数，正确；0（3）既不是正数也不是负数，故不存在既不是正数又不是负数的数此表述错误；（4）0表示没有温度，错误综上，正确的有（2），共一个2.【答案】C【解析】0既不是正数也不是负数，但0是整数，是偶数，是自然数.3.【答案】D【解析】D错误，公元-300年的意义应该是公元前300年.64.【答案】C【解析】画个图形有利于问题分析，向东50千米然后再向西20千米后显然此时汽车在甲站的东边30千米处.5.【答案】C【解析】A错误，因为身高与体重不是具有相反意义的量；B错误，没有最大的数也没有最小数；C对.6.【答案】

14、B二、填空题1.【答案】5米2；22.【答案】0.5，100，0，1112，0，-45【解析】正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，零既不是正数也不是负数.3.【答案】公元前2008年【解析】正负数表示具有相反意义的量.4.【答案】0【解析】既不是正数也不是负数的数只有零.5.【答案】-20.【解析】解：向东行驶10米，记作+10米，向西行驶20米，记作20米，故答案为：206.【答案】负整数和0【解析】整数包括正整数和负整数，又因为不是正数，所以只能是负整数和0.7.【答案】负分数【解析】不是整数，则只能是分数，又不是正数，所以只能是负分数.8.【答案】10，10.03，9.98【解析

15、】100.030.02表示的数的范围为：大于（10-0.02），而小于（10+0.03），即大于9.98而小于10.03.三、解答题1.【解析】（1）输出-12t表示输入12t；（2）运进-5t表示运出5t；（3）浪费-14元表示节约14元；（4）上升-2m表示下降2m；(5)向南走-7m表示向北走7m.提示：“-”表示相反意义的量.2【解析】73.【解析】解：（1）=50，5030=1500（km）答：小明家的小轿车一月要行驶1500千米；（2）87.1412=10281.6（元），答：小明家一年的汽油费用是10281.6元4【解析】（1）9，-10，2011，（2）181,.,912011

16、,.数轴知识讲解【学习目标】1理解数轴的概念及三要素，能正确画出数轴；2能用数轴上的点表示有理数，初步感受数形结合的思想方法；3能利用数轴比较有理数的大小【要点梳理】要点一、数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴要点诠释：（1）定义中的“规定”二字是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要“规定”的通常，习惯取向右为正方向1（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位有km、m、dm、cm等要点二、数轴的画法（1）画一条直线（通常画成水平位置）；（2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0；

17、（3）规定直线上向右为正方向，画上箭头；（4）再选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，要点诠释：（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取8（2）确定单位长度时根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的）单位长度取一点要点三、数轴与有理数的关系任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如要点诠释：（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示（2）一般

18、地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大【典型例题】类型一、数轴的概念及画法1（2019秋沧州期末）下列各图中，能正确表示数轴的是（）ACBD【思路点拨】根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，即可解答【答案】D【解析】解：由数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，可知D正确；故选：D【总结升华】数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可2（2019徐州校级模拟）一只蚂蚁沿数轴从点A向右直爬15个单位到达点B，点B表示的数为2，则点A所表示的数为（）A.15B.13C.-13D.-17【答案】D【解析】设点A所表示的数为x，x+15=2，解得：x=

19、17，故选：D【总结升华】本题考查的是数轴的知识，掌握数轴的概念和性质是解题的关键，点在数轴上的运动规律是向左减，向右加举一反三：【变式】如图为北京地铁的部分线路假设各站之间的距离相等且都表示为一个单位长现以万寿路站为原点，向右的方向为正，那么木樨地站表示的数为_，古城站表示的数为_；如果改以古城站为原点，那么木樨地站表示的数变为_【答案】3，-5，8类型二、利用数轴比较大小313在数轴上表示2.5，0，-1，-2.5，1，3有理数，并用“”把它连接起449如图所示，点A、B、C、D、E、F、G分别表示有理数2.5，0，3由上图可得：2.513大于36来【思路点拨】根据数轴的三要素先画好数轴，

20、表示数的字母要依次对应有理数，然后根据在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，比较大小【答案与解析】1，-1，-2.5，1，3441012.5344【总结升华】注意数轴上整单位的点一般用细短线表示，而表示题目中的数的点，应画成实心的小圆点举一反三：【变式1】（2018秋埇桥区校级期中）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是（）Aba0Bb0CabDab0【答案】D【变式2】填空：63且小于7的整数有_个；比3小的非负整数是_775【答案】11；0，1，2，34若p，q两数在数轴上的位置如下图所示，请用“”或“”填空p_q；p_0；p_q；p_q；【答案】；【解析】根据相反

21、数的几何意义，将p，q，-p，-q均表示在数轴上，如下图：然后再根据数轴上右边的数比左边的数大，及原点右边的点表示大于0的正数，而原点左边的点表示小于0的负数，可得上述答案【总结升华】在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数10【巩固练习】一、选择题1如图所示的数轴中，画得正确的是()2下列说法正确的是()A数轴上一个点可以表示两个不同的有理数B数轴上的两个不同的点表示同一个有理数C有的有理数不能在数轴上表示出来D任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点3.（2018衡阳一模）如图所示，在数轴上点A表示的数可能是（）A1.5B.-1.5C

22、.-2.6D.2.64.（2019东城区二模）如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中到原点距离相等的两个点是（）A.点B与点DB.点A与点CC.点A与点DD.点B与点C5数轴上表示整数的点称为整点某数轴的单位长度是1厘米，若在这条数轴上任意画出一条长为2004厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是()A2002或2003B2003或2004C2004或2005D2005或20066北京、纽约等5个城市的国际标准时间(单位：小时)可在数轴上表示如图若将两地国际标准时间的差简称为时差，则（）A首尔与纽约的时差为13小时B首尔与多伦多的时差为13小时C北京与纽约的时差为14小时D北京与多伦多

23、的时差为14小时二、填空题7（2019春新泰市校级月考）不大于4的正整数的个数为8数轴上到-3的距离等于2的数是_B9数轴上点A、的位置如图所示，若点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为10.（2018秋埇桥区校级期中）长为2个单元长度的木条放在数轴上，最多能覆盖11个整数点11如图，点A，B在数轴上对应的实数分别为m，n，则A，B间的距离是（用含m，n的式子表示）12已知1a01b，请按从小到大的顺序排列1，a，0，1，b为_三、解答题13把下列各数在数轴上表示出来，并用“”号把它们连接起来11+2，0，-3，-2，-1.5，12214（2019秋碑林区期中）某中学位于东西方向的人民路上

24、，这天学校的王老师出校门去家访，她先向东走100米到聪聪家，再向西走150米到青青家，再向西走200米到刚刚家（1）如果把这条人民路看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点请你在这条数轴上标出他们三家与学校的大概位置（一格表示50米）（2）聪聪家与刚刚家相距多远？（3）聪聪家向西210米是体育场，体育场所在的点表示的数是多少？15在数轴上有三个点A、B、C（如图）请回答：（1）写出数轴上距点B三个单位的点所表示的数；BC（2）将点C向左移动6个单位到达点D，用“”号把A、B、D三点所表示的数连接起来；（3）怎样移动A、中的两个点才能使三个点所表示的数相同（写出一种移动方法即可）【答案与解析

25、】一、选择题1【答案】B【解析】A错，没有正方向；B正确，满足数轴的三要素；C错，负数排列错误；D错，单位长度不统一2【答案】D【解析】A、B、C都错误，因为所有的有理数都能在数轴上表示出来，但数轴上的点不都表示有理一个有理数在数轴上只有一个表示它的点数轴上表示有理数的点一个点对应一个有理数3.【答案】C【解析】：点A位于3和2之间，点A表示的实数大于3，小于24.【答案】C.5【答案】C【解析】若线段AB的端点与整数重合，则线段AB盖住2005个整点；若线段AB的端点不与整点重合，则线段AB盖住2004个整点可以先从最基础的问题入手如AB2为基础进12行分析，找规律，所以答案：C6【答案】B

26、【解析】本题以“北京等5个城市的国际标准时间”为材料，编拟了一道与数轴有关的实际问题从选项上分析可得：两个城市之间相距几个单位长度，两个点之间的距离即为时差所以首尔与纽约的时差为14小时，首尔与多伦多的时差为13小时，北京与纽约的时差为13小时，北京与多伦多的时差为12小时，因此答案：B二、填空题7【答案】4个.【解析】解：如图所示：由数轴上4的位置可知：不大于4的正整数有1、2、3、4共4个故答案为：4个8【答案】-5或-1【解析】若该数在-3的左边，这个数为-3-2=-5；若该数在-3右边，则该数为-3+2=-1；所以答案为：-5或-19【答案】5【解析】首先确定C点应在原点的左边即为负数

27、，又点A与点B之间的距离为4，再由对成性得：点C表示的数为-510【答案】3【解析】如图所示：长为2个单元长度的木条放在数轴上，最多能覆盖3个整数点11【答案】n-m【解析】n0，m0它们之间的距离为：n-m12【答案】b-10-a1三、解答题13【解析】解：在数轴上表示出来如图所示根据这些点在数轴上的排列顺序，从右至左分别用“”连接为：1+210-15-2-3214.【解析】解：（1）如图所示：12；（2）150+200=350（米）；（3）体育场所在点所表示的数是100210=11015【解析】（解：1）因为点B所表示的数是-2，则距点B三个单位的点所表示的数有-2-3=-5，-2+3=1

28、；13（2）点C向左移动6个单位到达点D，则点D表示的数为-3，所以-4-3-2（3）把A点向右移动2个单位，C点向左移动5个单位（答案不唯一）绝对值与相反数（提高）【学习目标】1借助数轴理解绝对值和相反数的概念；2知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系；3会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用【要点梳理】要点一、相反数1定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数特别地，0的相反数是0要点诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同（2）“0的相反数是0”是

29、相反数定义的一部分，不能漏掉（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可2性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）（2）互为相反数的两数和为0要点二、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-(-4)=4；若有奇数个时，化简结果为负，如-+-(-4)=-4要点诠释：3（1）在一个数的前面添上一个“”，仍然与原数相同，如55，（5）5（2）在一个数的前面添上一个“”，就成为原数的相反数如（）就是3的相反数，因此，（3）3要点三、绝对

30、值1定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3要点诠释：0（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是0即对于任何有理数a都有：|a|0aa(a0)(a0)(a0)14（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的2性质：（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.

31、（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0要点四、有理数的大小比较1数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小如：a与b在数轴上的位置如图所示，则ab2法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号两数异号数为0同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小正数大于负数正数与0：正数大于0负数与0：负数小于04求商法：设a、b为任意正数，若a1，则ab；若1，则ab；若1，要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：（3）判定两数的大小3作差法：设a、b为任意数，若a-b0，则ab；若a

32、-b0，则ab；若a-b0，ab；反之成立aabbb则ab；反之也成立若a、b为任意负数，则与上述结论相反5倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小【典型例题】类型一、相反数的概念1（2018常德一模）若m与n互为相反数，则|m+n2|=【答案】2【解析】根据互为相反数的两个数的性质，可知mn0，代入上式可得：|m+n2|=|02|=2【总结升华】若m,n互为相反数，则mn0或mn举一反三：【变式】（2018秋监利县期末）若|x2|与（y+3）2互为相反数，则x+y=15【答案】-1.|x2|与（y+3）2互为相反数，|x2|+（y+3）2=0，x2=0，y+3=0，解得x=2，y=

33、3，x+y=2+（3）=1故答案为：1类型二、多重符号的化简2化简下列各数(6)；(6)；(6)；(6)；(6)【答案】6；6；6；-6；6【解析】(6)表示-6的相反数，所以(6)6；(6)表示+6的相反数，所以(6)6；(6)前面共有2个“-”号，为偶数个，而“+”可以省略，所以(6)6；(6)中共有3个“-”号，即奇数个，而“+”可以省略，所以(6)=-6；(6)中共有4个“-”号，即偶数个，而“+”可以省略，所以(6)6【总结升华】多重符号化简的规律解决这类问题较为简单即数一下数字前面有多少个负号若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负类型三、绝对值的概念3如果|x|6，|y|4

34、，且xy试求x、y的值【思路点拨】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论【答案与解析】因为|x|6，所以x6或x-6；因为|y|4，所以y4或y-4；由于xy，故x只能是-6，因此x-6，y4【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数此外，此题x-6，y4，就是x-6，y4或x-6，y-4举一反三：【变式】如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为如果x21，那么x；如果x3，那么x的范围是【答案】6或-6；1或3；x3或x-3类型四、比较

35、大小164比较下列每组数的大小：(1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)453与；(4)与|3.14|4(3)化简得：334【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较【答案与解析】(1)化简得：-(-5)5，-|-5|-5因为正数大于一切负数，所以-(-5)-|-5|(2)化简得：-(+3)-3因为负数小于零，所以-(+3)04163315这是两个负数比较大小，因为，4455204420且1615202043所以54(4)化简得：-|-3.14|-3.14，这是两个负数比较大小，因为|-|，|-3.14|3.

36、14，而3.14，所以-|-3.14|【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断类型五、含有字母的绝对值的化简5（2019春都匀市校级月考）若1x4，则|x+1|x4|=【思路点拨】根据绝对值的性质：当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数a,可得|x+1|=x+1，|x4|=x+4，然后再合并同类项即可【答案】2x3【解析】解：原式=x+1（x+4），=x+1+x4，=2x3.【总结升华】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质，正确判断出

37、x+1，x4的正负性举一反三：【变式】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示：化简：【答案】由图所示，可得173ac0，原式类型六、绝对值非负性的应用b6已知a、为有理数，且满足：12b，则a=_，=_，【答案与解析】由，可得【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0几个非负数的和为0，则每一个数均为0举一反三：【变式】已知b为正整数，且a、b满足，求的值【答案】由题意得所以，ab2类型七、绝对值的实际应用7一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)

38、依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【思路点拨】总路程应该为小虫爬行的距离和，和方向无关.【答案与解析】小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|5+3+10+8+6+12+1054(cm)小虫得到的芝麻数为542108(粒)答：小虫一共可以得到108粒芝麻【总结升华】此题是绝对值的应用问题，当求爬行路程是即为各数的绝对值之和，如果求最后所在的位置时即为各数之和，最后看正负来决定方向.【巩固练习】一、选择题1.（2018漳州）的相反数是（）

39、18A.13B.-13C.-3D.32在+（+1）与-（-1）；-（+1）与+（-1）；+（+1）与-（+1）；+（-1）与-(-1)中，互为相反数的是（）ABCD3满足|x|-x的数有()A1个B2个C3个D无数个4已知1|3|，则a的值是(a)A3B-3C13D11或335a、b为有理数，且a0、b0，|b|a，则a、b、-a、-b的大小顺序是()Ab-aa-bB-aba-bC-ba-abD-aa-bb6下列推理：若ab，则|a|b|；若|a|b|，则ab；若ab，则|a|b|；若|a|b|，则ab其中正确的个数为()A4个B3个C2个D1个二、填空题7数轴上离原点的距离小于3.5的整数点

40、的个数为m,距离原点等于3.5的点的个数为n,则m3n_8已知x与y互为相反数，y与z互为相反数，又z2，则zxy=9（2018春广饶县校级月考）1的相反数是；的相反数是它本身10绝对值不大于11的整数有个11（2019江西校级模拟）如果m，n互为相反数，那么|m+n2019|=12若a1，则aa0；若aa，则a三、解答题13（2018秋娄底期末）若有理数x、y满足|x|=5，|y|=2，且|x+y|=x+y，求xy的值（142019春桐柏县期末）若|a+1.2|+|b1|=0，那么a+（1）+（1.8）+b等于多少？15阅读下面的材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离

41、表示为AB，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1-1-1,ABOB=b=a-b；当A、B两点都不在原点时:19【解析】1如图1-1-2，点A、B都在原点的右边:AB=OB-OA=b-a=b-a=a-b；如图1-1-3，点A、B都在原点的左边:AB=OB-OA=b-a=-b-（-a）=a-b；如图1-1-4，点A、B在原点的两边:AB=OA+OB=a+b=a+（-b）=a-b，综上，数轴上A、B两点之间的距离AB=a-b回答下列问题:数轴上表示2和5的两点之间的距离是_，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是_，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是_；数轴上表示x和-1的两点A

42、和B之间的距离是_，如果AB=2，那么x为_当代数式x+1+x-2取最小值时，相应的x的取值范围是_【答案与解析】一、选择题1【答案】A2【答案】C【解析】先化简在判断，+（+1）=1，-（-1）=1，不是相反数的关系；-（+1）=-1，+（-1）=-1，不是相反数的关系；+（+1）=1，-（+1）=-1，是相反数的关系；+（-1）=-1，-(-1)=1，是相反数的关系，所以中的两个数是相反数的关系，所以答案为：C3【答案】D【解析】x为负数或零时都能满足|x|-x，故有无数个4【答案】D113，3，aaa35【答案】A【解析】画数轴，数形结合6【答案】C【解析】正确；错误，如|-2|2|，但

43、是-22；错误，如-22，但是|-2|2|；正确故选C二、填空题7【答案】1【解析】由题意可知：m7,n2，所以m2n73218【答案】-2【解析】因为x,z均为y的相反数，而一个数的相反数是唯一的，所以zx，z2，20而y为z的相反数，所以y为-2，综上可得：原式等于-29.【答案】123，0.10.【答案】23【解析】要注意考虑负数绝对值不大于11的数有：-11、-100、111共23个11.【答案】2019.【解析】解：m，n互为相反数，m+n=0，|m+n2019|=|2019|=2019；故答案为201912【答案】；任意数.三、解答题13.【解析】|x|=5，x=5，又|y|=2，

44、y=2，又|x+y|=x+y，x+y0，x=5，y=2，当x=5，y=2时，xy=52=3，当x=5，y=2时，xy=5（2）=714.【解析】解：|a+1.2|+|b1|=0，a+1.2=0，b1=0，a=1.2，b=1，a+（1）+（1.8）+b=315【解析】2-5=3，-2-（-5）=3，1-（-3）=4AB=x-（-1）=x+1AB=2，x+1=2，x+1=2或-2，x=1或-3令x+1=0，x-2=0，则x=-1，x=2将-1、2在数轴上表示出来，如图1-1-5，则-1、2将数轴分为三部分x-1、-1x2、x2当x-1时，x+1+x-2=-（x+1）+-（x-2）=-2x+13；当

45、-1x2时，x+1+x-2=x+1+2-x=3;当x2时，x+1+x-2=x+1+x-2=2x-13x+1+x-2的最小值是3，相应的x的取值范围是-1x221有理数的加减法（提高）【学习目标】1掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；2掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系，体会其中蕴含的转化的思想；3熟练地将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并且会解决简单的实际问题.【要点梳理】要点一、有理数的加法（1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法2.法则：1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值

46、相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则(2)确定和的符号(是“+”还是“”)(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)3.运算律：加法文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变有理数加法运算律交换律加法结合符号语言文字语言a+bb+a三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变律符号语言(a+b)+ca+(b+c)要点诠

47、释：交换加数的位置时，不要忘记符号要点二、有理数的减法1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?7，求？，减法是加法的逆运算（要点诠释：1）任意两个数都可以进行减法运算（2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：性质符号；数字即数的绝对值2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：aba(b)要点诠释：将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”如：要点三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.22【典型例题】类型一、有理数的加法运算1（2018秋江都市月考）阅

48、读下题的计算方法计算解：原式=0+（）=上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：【思路点拨】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案【答案与解析】解：原式=（2011）+（）+（2010）+（）+4022+（1）+（）=（2011）+（2010）+4022+（1）+（）+（）+（）=0+（）=【总结升华】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键举一反三：【变式1】计算：(1)-7+(-3.8)+(-7.2)11111+10；(2)(-)+(-7.3)；(3)1+(-2)；(4)7262431511112（【答案】1）原式=(107)(97)(1)26262

49、3；【变式2】计算：11123611（2）原式=(0.57.3)7.8；（3）原式=(21)134（4）原式=7.27.23.803.83.81523112；【答案】1111(11)1115236115115236236(6)(3.3)(3)(6)(0.3)(8)(6)(16)6(6)(3.3)(3)(6)(0.3)(8)(6)(16)6(6)(3)(0.3)(8)(6)(3.3)(6)(16)6同号解法二：(6)(3.3)(3)(6)(0.3)(8)(6)(16)6(6)6(3.3)(3)(0.3)(6)(6)(16)(8)【变式3】计算：1144【答案】解法一：11444114的数一起先加

50、(23.55)(31.55)811441144同分母，互为相反数的数，或几个数可以凑整的数分别结合相加000(8)8类型二、有理数的减法运算2(1)2-(-3)；(2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4)；(3)47133（3）原式=4【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算(1)2-(-3)2+35(2)原式0+3.72+(-2.72)+4(0+4)+(3.72-2.72)4+1511416(3)(3)2733721【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计

51、算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.类型三、有理数的加减混合运算3计算：（1）-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72；24（2）11-12+13-15+16-18+17；（3）3.763951684.762311162（5）31组；455113（4）3.4643.8721.543.37634435513546；（6）2.25321.8752461884【答案与解析】（1）观察各个加数，可以发现-3.72与3.72互为相反数，把它们分为一组；4.18、-2.93与-1.25的和为0，把它们分为一组可使计算简便解：-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25

52、+3.72(-3.72+3.72)+(4.18-2.93-1.25)-1.230+0-1.23-1.23（2）把正数和负数分别分为一组解：11-12+13-15+16-18+17(11+13+16+17)+(-12-15-18)57+(-45)12（3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是-1，两个整数的和是29，三个分数通分后也不难算故把整数、分数、小数分别分为一组111解：3.76395684.7621362111(3.764.76)(521)(3968)1(6)2922362（4）3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组；-3.87与3.37的和为-0.5，把它们分为一113与易

53、于通分，把它们分为一组；2与同分母，把它们分为一组63445113解：3.4643.8721.543.3763445113(3.461.54)(3.873.37)(4)(2)6344115(0.5)4(1)4.537.522（5）先把整数分离后再分组解：313555462461825都是负数，例如3113553546246181355(3546)()24618018273010362936注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数1322（6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好可先将小数和分数统一后再考虑分组13解：2.25321.87584(2.252.7

54、5)(3.1251.875)0.554.5【总结升华】计算多个有理数相加时，必须先审题，分析特点，寻找规律，然后再去计算注意在交换加数的位置时，要连同符号一起交换.举一反三：【变式】（2018甘肃模拟）5.6+0.9+4.4（8.1）【答案】解：原式=5.6+0.9+4.4+8.1=19类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用4（2018秋郑州期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话（1）现有1，2，3，4，5，6，7，8，9共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中，使得第行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等

55、于15；（2）通过研究问题（1），利用你发现的规律，将3，5，7，1，7，3，9，5，1这九个数字分别填入图2的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等26【答案与解析】解：（1）153=5，最中间的数是5，其它空格填写如图1；（2）如图2所示【总结升华】本题考查了有理数加法，熟知“九宫图”的填法是解题的关键举一反三：【变式】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：197，202，197，203，200，196，201，198计算出售的粮食总共多少千克?【答案】法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+

56、(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)-62008+(-6)1594(千克)答：出售的粮食共1594千克法二：197+202+197+203+200+196+201+1981594(千克)答：出售的粮食共1594千克【巩固练习】一、选择题1.（2018怀化）某地一天的最高气温是12，最低气温是2，则该地这天的温差是（）A10B10C14D142.（2019仪征市一模）比1小2018的数是（）A2018B2019C2019D20183.如果三个数的和为零，那么这三个数一定是()A两个正数，一个负数B两个负数，一个正数C三个都是零D其中两个数之和等于第三个数的相反数4.若a

57、0,b0,ab,则a与b的和是()A.B.C.D.5.下列判断正确的是（）A两数之差一定小于被减数B若两数的差为正数，则两数都为正数C零减去一个数仍得这个数27（1）01(1)(5)|4|；（2）0213D一个数减去一个负数，差一定大于被减数6某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为(250.1)kg，(250.2)kg，(250.3)kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差()A0.8kgB0.6kgC0.5kgD0.4kg二、填空题7.有理数a,b,c在数轴上对应点位置如图所示，用“”或“”填空：（1）a_b；（2）abc_0：（3）abc_0；（4）ac_b；（5）cb_a

58、8.（2018春广饶县校级月考）小明存折中原有450元，取出260元，又存入150元，现在存折中还有_元9.若a，b为整数，且|a-2|+|a-b|1，则a+b_10某地的冬天，半夜的温度是-5C，早晨的温度是-1C，中午的温度是4C.则(1)早晨的温度比半夜的温度高_度；(2)早晨的温度比中午的温度低_度.11北京与纽约的时差为-13（负号表示同一时刻纽约时间比北京时间晚）.如果现在是北京时间15：00，那么纽约时间是_12.数学活动课上，王老师给同学们出了一道题：规定一种新运算“”对于任意两个有理数a和b，有aba-b+1，请你根据新运算，计算(23)2的值是.三、解答题13.计算题347

59、72121343444444（3）99999999999999955555（4）1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8+97+(-98)+(-99)+100的值811（5）111244880120；（6）23123(2)5(5)14.（2018秋万州区校级月考）数轴上到原点的距离小于3的整数的个数为x，不大于3的正整数的个数为y，绝对值等于3的整数的个数为z，求：x+y+z的值15.（2019南海区校级模拟）股民李星星在上周星期五以每股11.2元买了一批股票，下表为本周星期一到星期五该股票的涨跌情况求：（1）本周星期三收盘时，每股的钱数2813.【解析】（1）原式113（2）原

60、式0213213（2）李星星本周内哪一天把股票抛出比较合算，为什么？星期一二三四五每股涨跌/元+0.4+0.450.2+0.250.4【答案与解析】一、选择题1.【答案】B2.【答案】C【解析】解：根据题意得：12018=2019，故选C.3.【答案】D【解析】若abc0，则abc或bca或acc，所以D正确.4【答案】D【解析】(ab)的符号与绝对值较大的b一致为负的，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，即有(ba).5.【答案】D【解析】A错误，反例：2-（-3）=5，而52；B不对，反例：2-（-3）=5，而-3为负数；C错误，0-2=-2，0-（-2）=2，所以零减去一个数得这个数的相反