北师大八年级数学下册教案6.4多边形的内角和与外角和

1、4多边形的内角和与外角和1.掌握多边形内角和定理,进一步了解转化的数学思想.2.掌握多边形的外角和都等于360.3.能够综合应用多边形的内角和、外角和定理解决有关问题.经历质疑、猜想、归纳等活动,发展学生的合情推理能力,积累数学活动的经验,在探索中学会与人合作,学会交流自己的思想和方法.让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感,在解题中感受生活中数学的存在,体验数学充满着探索和创造.【重点】多边形内角和、外角和定理的探索和应用.【难点】多边形内角和公式的推导;转化的数学思想方法的渗透.第课时1.理解并能够说出多边形的内角和定理,且能够证明它.2.能够应用多边形的内角和定理解决有关的问题.经历多

2、边形的内角和定理的探究过程,进一步体会转化的数学思想.体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感.【重点】多边形内角和定理的探索和应用它解决有关的问题.【难点】在定理的推导和定理的应用中,对数学转化思想的体验和吸收.【教师准备】演示课件.【学生准备】量角器.过渡语数学学习中离不开对图形的研究,前面我们研究了三角形及平行四边形,那么还有边数更多的图形吗?导入一:1.前面我们研究了平行四边形的性质和判定,上一节又研究了三角形的中位线定理,现在请同学们回忆一下,三角形的内角和是多少度?2.四边形的内角和呢?四边形的内角和是怎么得到的?3.下图中广场中心的边缘是一个五边形,你能设法求出它的五个内角的和吗?与同

3、伴交流.设计意图通过问题暗示学生探求多边形内角和的基本方法和基本思路.导入二:1.三角形是如何定义的?2.仿照三角形的定义,你能学着给四边形、五边形,n边形下定义吗?设计意图对概念的分析和归纳,培养学生的口头表达能力和语言组织能力,同时渗透类比思想.过渡语我们已经知道了三角形的内角和是180,那么四边形的内角和是多少度呢,你知道吗?五边形呢?一、多边形的内角和思路一1.三角形的内角和是多少度?你是怎么得出的?用量角器度量:分别测量出三角形三个内角的度数,再求和.拼角:将三角形两个内角裁剪下来与第三个角拼在一起,可组成一个平角.设计意图学生分组,利用度量和拼角的方法验证三角形的内角和,为四边形内

4、角和的探索奠定基础.2.四边形的内角和是多少?你又是怎样得出的?度量;拼角;将四边形转化成三角形求内角和.设计意图学生先通过度量、拼角两种方法,猜想得出四边形的内角和是360,然后引导学生利用分割的方法,将四边形分割成两个三角形来得到四边形的内角和,进一步渗透类比、转化的数学思想.3.在四边形内角和的探索过程中,用到了几种方法,你认为哪种方法好?请讲述你的理由.度量法:不精确;拼角法:操作不方便;当多边形边数n较大时,度量法、拼角法都不可取.第三种方法:精确、省事且有理论根据.设计意图通过几种方法的展示,比较几种方法的优劣,为五边形内角和的探索提供最简捷的方法.4.根据四边形的内角和的求法,你

5、能否求出五边形的内角和呢?学生动手实践,小组讨论、交流,寻找解答方法,并共同进行归纳总结.估计学生可能有以下几种方法:方法1:如图(1)所示,连接AD,AC,五边形的内角和为:3180=540.方法2:如图(2)所示,连接AC,则五边形的内角和为:360+180=540.方法3:如图(3)所示,在AB上任取一点F,连接FC,FD,FE,则五边形的内角和为:4180-180=540.方法4:如图(4)所示,在五边形内任取一点O,连接OA,OB,OC,OD,OE,则五边形的内角和为:5180-360=540.方法5:如图(5)所示,在AB上任取一点F,连接FD,则五边形的内角和为:2360-180

6、=540.方法6:如图(6)所示,在五边形外任取一点O,连接OA,OB,OC,OD,OE,则五边形的内角和为:4180-180=540.小结:纵观以上各种解题思路,其共同点是通过图形分割,把五边形问题转化为熟悉的三角形、四边形问题来解决.设计意图在课堂上应该留给学生充足的时间讨论、交流,寻求多种不同的分割方法来得出五边形的内角和.这既符合新课程教学理念,又符合学生的认知规律和年龄特征,同时渗透转化思想.5.小组合作,完成下面的表格.n边形图形从一个顶点引出分割成的三多边形的的对角线条数角形个数内角和三角形(n=3)01180四边形(n=4)五边形(n=5)六边形(n=6)12323436054

7、0720n边形n-3n-2(n-2)180(课件出示讨论结果)6.从表格中你发现了什么规律?从n边形的一个顶点可以引出(n-3)条对角线,把n边形分成(n-2)个三角形.从而得出:n边形的内角和等于(n-2)180.设计意图在数学学习中,培养学生善于总结规律是培养数学能力的一项重要内容,这样不仅使学生把本节课所学的知识形成一个完整的知识体系,而且进一步理解了多边形的内角和公式中的(n-2)的来历,更有利于培养学生善于归纳、总结的数学习惯和能力.思路二【活动1】如何把四边形的内角和转化为三角形的内角和?你是怎样实现的?你能找到几种方法?学生思考,并分组交流讨论,教师深入小组参与活动,指导、倾听学

8、生交流.方法1:如图(1)所示,2180=360;方法2:如图(2)所示,3180-180=360;方法3:如图(3)所示,4180-360=360;方法4:如图(4)所示,3180-180=360.设计意图从简单的四边形入手,让学生亲自操作寻求结论,引起学习兴趣,鼓励学生找到多种方法,让学生体会多种分割形式,有利于深入领会转化的本质四边形转化为三角形,也让学生体验数学活动充满探索和解决问题方法的多样性.通过小组讨论,让学生各抒己见,培养学生有条理地思考与表达的能力,鼓励学生学会倾听、分析与思考他人的见解,形成合作探究的精神.【活动2】请你选择其中一种方法探索五边形、六边形、七边形的内角和,并

9、完成下表:多边形内角和计算规律三角形1801180四边形3602180五边形5403180六边形7204180七边形9005180n边形(n-2)180(n-2)180归纳、得出多边形的内角和定理:n边形的内角和等于(n-2)180.设计意图通过对四边形内角和的思考研究,逐步拓展到五边形、六边形、七边形的内角和的探索,从而通过归纳总结得到多边形的内角和公式,并且对多边形的相关知识加以拓展.通过逐步增加图形复杂性的设计,再一次经历转化的过程,加深对转化的思想方法的理解,并体会由简单到复杂、由特殊到一般的思想方法.知识拓展(1)多边形每增加一条边,内角和增加180;(2)多边形的内角和一定是180

10、的倍数;(3)多边形的边数越多,内角和越大.二、正多边形(1)想一想:观察图中的多边形,它们的边、角有什么特点?正多边形的定义:在平面内,每个内角都相等、每条边也都相等的多边形叫做正多边形.设计意图学生分组动手实践,通过度量和叠合,感知正多边形的特征(每个角都相等,每条边都相等),从而使得正多边形的定义的得出水到渠成.(2)议一议:一个多边形的边都相等,它的内角一定都相等吗?一个多边形的内角都相等,它的边一定都相等吗?设计意图通过辨析,进一步理解正多边形的定义.(3)练一练:正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度?正n边形的内角是多少度?一个正多边形的一个

11、内角是150,求它的边数.生正三角形的内角为正四边形(正方形)的内角为=60.=90.正五边形的内角为正六边形的内角为=108.=120.正八边形的内角为正n边形的内角是=135.=150,解得n=12,所以这个多边形的边数为12.设计意图本组练习的设计,不仅巩固了多边形内角和公式的应用,还进一步理解了正多边形的定义.(4)议一议:剪掉一张长方形纸片的一个角后,纸片还剩几个角?这个多边形的内角和是多少度?与同伴交流.剪的位置不同,剩下的多边形的形状也不同,多边形的内角和也不同,需分类讨论.纸片剩下5个角时,得到的五边形的内角和为(5-2)180=540.纸片剩下4个角时,得到的四边形的内角和为

12、(4-2)180=360.纸片剩下3个角时,得到的三角形的内角和为180.设计意图引导学生在探究实践的过程中,真正理解和掌握数学的知识、技能和思想方法,增强空间观念及数学思考能力的培养,并获得数学活动经验.过渡语这就是我们本课要学习的重要内容,请同学们理解并熟记.下面我们一起练一练吧!三、例题讲解(教材例1)如图所示,在四边形ABCD中,A+C=180.B与D有怎样的关系?解析本例是运用多边形内角和公式解决简单的问题.解:A+B+C+D=(4-2)180=360,B+D=360-(A+C)=360-180=180.这就是说,如果四边形的一组对角互补,那么另一组对角也互补.设计意图处理例题时要让

13、学生充分参与分析,鼓励学生主动地表达和交流,在交流中发展合乎逻辑的思考和有条理的表达能力.知识拓展多边形内角和定理的补充证法:多边形内角和定理:n边形的内角和等于(n-2)180.研究多边形内角和定理的多种证法,便于培养学生的创造性思维以及独立探索精神.该定理在初中教材上有两种证明方法,笔者还有几种证法,现介绍给大家,以飨读者.(n180)eqoac(,减去)PAA,eqoac(,PA)A两个三角形内角之和(360),结果是(n-2)180.证法二:如果没有两条边相互平行,则过A,A,A,A分别作AA的平行线,如图(2)所示.则可得到(n-3)对同旁内角,如图中A与1,A与2,3与4等;还有两

14、对内错角,如图所示的6与5,7与8.因此,n边形的内角和等于(n-3)对同旁内角加上一个平角,即(n-2)180.证法一:在多边形外取一点P,与多边形各顶点相连接,这样点P与各顶点构成n个三角形.选择适当的P点,使得其中仅有两个三角形在多边形外部,如图(1)所示.则n边形的内角和等于用n个三角形内角和4543345n1212如果有两条边相互平行,不妨设AmAm+1AA,以AAAA为例画图,则过除A,A,A,A外的各顶点分别作AA的平行线,如图(3)所示.则图中共有(n-2)对同旁内角,如A与1,2与A,5与6等.也可得到n边形的内角和为(n-2)180.23672323672323n边形的内角

15、和等于(n-2)180.正n边形的内角是.四边形的一组对角互补,那么另一组对角也互补.1.一个多边形的内角和是720,这个多边形的边数是()A.4B.5C.6D.7解析:(n-2)180=720,解得n=6.故选C.2.若一个多边形增加一条边,那么它的内角和()A.增加180B.增加360C.减少360D.不变解析:(n-2+1)180-(n-2)180=180.故选A.3.一个多边形的内角和为1440,则它是边形.解析:(n-2)180=1440,解得n=10.故填十.4.已知一个五边形的五个内角的度数的比是1311975,求这五个内角中的最大角和最小角.解析:设这五个内角的度数分别为13x

16、,11x,9x,7x,5x,再根据五边形的内角和为(5-2)180=540列方程求解.解:设这五个内角的度数分别为13x,11x,9x,7x,5x.五边形的内角和为(5-2)180=540,13x+11x+9x+7x+5x=540.解得x=12.最大角为13x=156,最小角为5x=60.第1课时一、多边形的内角和二、正多边形三、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第154页随堂练习.【选做题】教材第155页习题6.7的2,3题.二、课后作业【基础巩固】1.若一个多边形的边数为8,则这个多边形的内角和是()A.900B.540C.1080D.3602.多边形每一个内角都等于150,则该多边形的边

17、数是()A.10B.11C.12D.13【能力提升】3.求下列图形中x的值.4.求如图所示中x的值.【拓展探究】5.m边形与n边形内角和的差为720,则m与n的差为()A.2B.3C.4D.56.已知甲多边形的内角和是乙多边形内角和的2倍,而从甲多边形一个顶点出发所引对角线的条数与从乙多边形一个顶点出发所引对角线的条数的比是73,那么甲是边形,乙是边形.【答案与解析】1.C(解析:(8-2)180=1080.)2.C(解析:=150,解得n=12.)3.解:左图x=65,右图x=120.4.解:x=(360-140-90)2=65.5.C(解析:720180=4.)6.十六(解析:设甲多边形的

18、边数为x,乙多边形的边数为y.依题意有:(x-3)(y-3)=73,即3x-7y+12=0.又甲多边形的内角和是乙多边形内角和的2倍,(x-2)180=2(y-2)180,即x-2y+2=0.由前面两个方程组成方程组,解得x=10,y=6.甲是十边形,乙是六边形.)这节课师生教与学活动是建立在学生的认知发展水平和已有的经验基础上,教师充分激发学生的学习兴趣和积极性,向学生提供了从事数学活动的机会,构建了学生自主探究、合作实践与交流的平台;教师较好地引导学生在探究实践的过程中,真正理解和掌握数学的知识、技能和思想方法,增强空间观念及数学思考能力的培养,并获得数学活动经验.这节课留给学生探究思考与

19、交流的时间不足,展示交流的机会不够充分,有的同学没有表现的机会.关注各个层面的学生的需要,提供更多的机会让每个学生都能得到发挥.本课时的知识类比性和迁移性较强,注重设置一些开放性和规律探索性的习题.随堂练习(教材第154页)解:小彬的计算不正确.由=145不能得到n的整数值,所以不正确.习题6.7(教材第155页)1.解:七边形.内角和为(7-2)180=900.2.解:设边数为x,(x-2)180=1080,解得x=8,所以它是八边形.3.解:六边形.由图形可知正多边形每个内角都是120,设边数为n,则有=120,解得n=6.4.解:答案不唯一.如:取四边形的纸片,分别撕下每个内角,将它们的

20、顶点拼在一起,四个内角不重叠,即可得到一个周角.用4个全等的正八边形进行拼接,使相邻的两个正八边形有一条公共边,围成一圈后中间形成一个正方形,如图(1)所示;用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接,如图(2)所示,若围成一圈后中间形成一个正n边形,则n的值为.解析正六边形每个内角的度数为=120,图(2)中两个正六边形在同一顶点处的两个角的和为240,这表明中间正多边形的内角度数为360-240=120,所以这个正多边形也是正六边形.故填6.一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为720,那么原多边形的边数为()A.5B.5或6C.5或7D.5或6或7错解:A错因分析:忽略了分类讨论

21、.正解:D思路分析:截去一个角后,形成的多边形的边数为n=+2=6,画图可知原多边形的边数可能是5或6或7.第课时1.理解并能够说出多边形的外角和定理,且能够证明它.2.能够综合应用多边形的内角和、外角和定理解决有关的问题.经历多边形的外角和定理的探究过程,进一步体会转化的数学思想.在解题中感受生活中数学的妙处,体验数学的探索性和创造性.【重点】多边形外角和定理的探索和应用它解决有关的问题.【难点】在定理的推导和定理的应用中,对数学转化思想的体验和吸收.【教师准备】演示课件.【学生准备】量角器.导入一:过渡语上一节我们研究了多边形的内角和,我们重点研究了多边形的内角和定理及它的应用,多边形内角

22、和定理是怎么说的?1.上一节我们又是怎样研究得到的这个定理?对于正多边形,我们还可以求出它的每一个内角,怎么来求?学生甲:n边形的内角和等于(n-2)180.学生乙:是通过转化为三角形,再求这些三角形的内角和的和而得到的.学生丙:正n边形的每一个内角的度数是.设计意图多边形的外角和是在多边形内角和基础上推导出来的,所以复习整理多边形内角和知识是很必要的.导入二:过渡语上节课我们探究了多边形的内角和公式,请完成以下题目.(多媒体演示)如图所示,清晨,小刚沿一个五边形广场周围的小路,按逆时针方向跑步.(1)小刚每从一条小路转到下一条小路时,跑步方向改变的角是哪个角?在图上标出这些角.(2)他每跑完

23、一圈,跑步方向改变的角一共有几个?它们的和是多少?(3)如图所示,你能求出1+2+3+4+5的结果吗?你是怎样得到的?实际上以上问题中的1,2,3,4,5是这个五边形的外角,它们的和就是这个五边形的外角和,这也是我们今天所要研究的多边形的外角和.设计意图利用生活情境,设计问题,激发学生的兴趣和积极性,同时给学生一定的思考空间.过渡语利用所学的知识你能完成下面的问题吗?一、多边形的外角和思路一对于上述的问题,如果学生能给出一些合理的解释和解答(例如利用内角和),可以按照学生的思路走下,去.然后再给出“小刚的做法”或以“小刚的做法”为提示鼓励学生思考.如果学生对于这个问题无法突破,教师可以给出“小

24、刚的做法”,或引导学生按“小刚的做法”这样的思路去思考,以便解决这个问题.小明是这样思考的:如图所示,过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA,OB,OC,OD,OE,得到,其中,=1,=2,=3,=4,=5.这样,1+2+3+4+5=360.小刚是这样思考的:如图所示,跑步方向改变的角分别是1,2,3,4,5.1+EAB=180,2+ABC=180,3+BCD=180,4+CDE=180,5+DEA=180,1+EAB+2+ABC+3+BCD+4+CDE+5+DEA=900.五边形的内角和为(5-2)180=540,即EAB+ABC+BCD+CDE+DEA=540,1+2+3

25、+4+5=900-540=360.问题引申:1.如果广场的形状是六边形,那么还有类似的结论吗?2.如果广场的形状是八边形呢?总结得出:多边形的外角和都等于360.设计意图通过问题的解决和延伸,引发学生自主思考,由特殊到一般,培养学生解决问题的逻辑思维能力,也为多边形外角和的得出做好铺垫.思路二1.给出定义.多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.在每个顶点处取这个多边形的一个外角,它们的和叫做这个多边形的外角和.2.探究多边形的外角和.探究多边形的外角和,提出一般性的问题:一个任意的n边形,它的外角和是多少?鼓励学生用多种方法解决这个问题,可以参考解决特殊问题的方法

26、去解决这个一般性的问题.方法1:类似探究多边形的内角和的方法,由三角形、四边形、五边形的外角和开始探究.多边形三角形四边形五边形六边形图形外角和方法2:由n边形的内角和等于(n-2)180出发,探究问题.结论:多边形的外角和都等于360.追问:(1)还有什么方法可以推导出多边形外角和定理?(2)利用多边形外角和的结论,能否推导出多边形内角和的结论?过渡语如何利用多边形的外角和知识解决实际问题呢?二、例题讲解(教材例2)一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍,它是几边形?解析这是多边形外角和定理的简单应用.解:设这个多边形是n边形,则它的内角和为(n-2)180,外角和为360.根据题意,得(n

27、-2)180=3360.解得n=8.所以这个多边形是八边形.知识拓展由三角形内角和推广到多边形内角和并且用于解决问题十分重要,n边形内角和等于(n-2)个平角,即(n-2)180,边数增加,内角和也增加,边数减少,内角和也减少,边数每增加(减少)1,内角和就增加(减少)180.n边形外角和等于360,与边数无关,它有鲜明的直观意义,设想一辆汽车在多边形的边界上绕圈子(如图所示),每经过一个顶点,前进的方向就要改变一次,改变的角度恰好是这个顶点处的外角,绕了一圈,回到原处,方向与当初出发时一致了,角度的改变量之和当然是360.多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.在

28、每个顶点处取这个多边形的一个外角,它们的和叫做这个多边形的外角和.多边形的外角和都等于360.1.一个多边形的内角和与外角和之和为2520,则这个多边形的边数为()A.12B.13C.14D.15解析:(n-2)180+360=2520,解得n=14.故选C.2.在一个多边形的每一个顶点处取一个外角,这些外角中最多有钝角()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:由外角和为360可得最多有3个钝角.故选C.3.如果一个多边形的内角和是其外角和的一半,那么这个多边形是()A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形解析:(n-2)180=360,解得n=3.故选D.4.一个多边形中,每个内角都相等,并

29、且每个外角都等于它的相邻内角的,求这个多边形的边数及内角和.解:设这个多边形的边数为n.则=4,解得n=10.内角和:(n-2)180=1440.即这个多边形的边数为10,内角和为1440.第2课时一、多边形的外角和二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第156页随堂练习.【选做题】教材第157页习题6.8的2,3题.二、课后作业【基础巩固】1.若一个正多边形的一个外角是40,则这个正多边形的边数是()A.十B.九C.八D.六2.各内角都相等的多边形,它的一个内角与一个外角的比是32,则它是A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形3.正n边形的一个外角的度数为60,则n的值为.()4.如图所示

30、,1,2,3,4是五边形ABCDE的4个外角,若A=120,则1+2+3+4=.【能力提升】5.一个多边形的内角和是外角和的2倍,则这个多边形是()A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形6.一个多边形的每个外角都是45,求这个多边形的边数.7.一个正多边形的一个内角是135,求这个多边形的边数.8.一个正多边形的一个内角比与它相邻的外角大36,求这个正多边形的边数.【拓展探究】9.在五边形的五个内角中,最多能有几个钝角?最多能有几个锐角?10.如图所示,求A+B+C+D+E+F的度数.【答案与解析】1.B(解析:多边形的外角和为360,则36040=9,可知此多边形的边数为九.)2.B(解析

31、:设它的一个内角与一个外角分别为3x和2x,则3x+2x=180,所以x=36,所以36072=5.)3.6(解析:36060=6.)4.300(解析:A=120,则与A相邻的外角为60,由外角和定理,得1+2+3+4=360-60=300.)5.C(解析:(n-2)180=3602,解得n=6.)6.解:36045=8,即这个多边形的边数为8.7.解:=135,解得n=8.即这个多边形的边数为8.8.解:设外角为x,则内角为x+36,x+36+x=180,所以x=72,36072=5.即这个正多边形的边数为5.9.解:五边形的五个内角都可以是钝角,但最多能有3个锐角,否则和内角和定理矛盾.1

32、0.解:A+B+C+D+E+F=2180=360.本节课的设计突出对多边形的外角和定理的探究与推导过程,探究过程既有类比前一节课的方法,又有承接多边形内角和的新方法;既是新知识的学习过程,又是旧知识的拓展过程.相信这样的设计一定能够达到教学目标的三个维度的要求.由于本节课的内容比较单一,学生掌握不错,但是课堂的题目偏少,缺少必要的综合题.可以考虑增加一些课堂中的习题量,以帮助学生巩固新知识.随堂练习(教材第156页)解:由题意得(n-2)180=3602,解得n=6.若每个内角都相等,则它们都等于7206=120.习题6.8(教材第157页)1.提示:四边形,它的每个外角都为90.2.解:存在

33、,为正十二边形.理由如下:如果存在这样的多边形,设它的一个内角的度数为x,则相邻外角的度数为x,x+x=180,解得x=150,符合题意,x=30,36030=12,这个多边形是正十二边形.3.解:内角和相差180,外角和相等.4.解:(1)略.(2)在缩小的过程中,四边形对应的各个外角的大小没有发生变化.(3)最终图形可以看成是由同一点出发的四条射线.显然此时四个外角的和为360,而在变化的过程中,四边形的各个外角大小不变,因此可以说明四边形的外角和等于360.(4)类似地,同样可以说明一般多边形的外角和.5.解:设四边形的四个内角的度数分别为,则+=360,的值最多可以有三个大于90,否则

34、,若,都大于90,则+360,与四边形内角和矛盾;同理,最多也只能有三个小于90.答:最多能有三个钝角;最多能有三个锐角.复习题(教材第158页)1.解:设BC=x,由题意得2(x+6)=x,解得x=8,所以BC=8.2.解:A=30,B=150,ADCB.同理,ABCD,四边形ABCD是平行四边形,DC=AB=2.3.解:共9个,分别为:ABCD,AEOG,DFOG,BEOH,FCHO,AEFD,BEFC,AGHB,DGHC.4.证明:四边形ABCD是平行四边形,ABE=CDF,AB=CD.AEBD,CFBD,AEB=CFD=90eqoac(,.)ABECDF(AAS),BAE=DCF.5.

35、证明:四边形ABCD是平行四边形,ADBC.CE=BC,ADCE,四边形ACED是平行四边形.6.解:AB=CD.理由如下:ABCD,ADBC,四边形ABCD是平行四边形.AB=CD.7.解:如图所示,作AEBC,垂足为点E.在RtAEB中,B=30,AE=AB=2(cm).ABCD的面积)=29=18(cm2.9.证明:四边形ABCD是平行四边形,ABP=CDQ,AB=CD.又BP=DQeqoac(,)ABPCDQ(SAS),AP=CQ,APB=CQD,APQ=CQP,APCQ.10.证明:四边形ABCD是平行四边形,ADCB,AEB=CBE,BE是ABC的平分线,ABE=CBE,AEB=A

36、BE,AB=AE.同理,CD=DF.AB=CD,AE=DF,AF=DE.11.提示:周长为a+b+c.12.解:边数3456多边形的内角和正多边形内角的度数180360540609010872012013.解:这个多边形是九边形.14.解:图中的白色缝隙所形成的图形的轮廓是正方形.15.证明:如图所示,连接AC,四边形ABCD是平行四边形,ADCB,AEFC,四边形AECF是平行四边形,点O为AC,EF中点,四边形ABCD是平行四边形,点O为AC,BD中点,EF经过点O.16.证明:ADB=CBD,ADBC,DAC=ACB,又DEAC,BFAC,DEA=BFC=90,DE=BFeqoac(,)

37、AEDCFB(AAS),AD=BC,ADBC,四边形ABCD是平行四边形.17.解:相等.证明如下:DEeqoac(,为)ABC的中位线,DEBC且DE=BC,又FGAB,四边形BDEF为平行四边形,DE=BF,DE=BF=FC.18.解:平行四边形共6个,分别为:ABOF,AOEF,ABCO,BCDO,EDCO,FEDO.(如,ABOF)证明如下eqoac(,:)ABOeqoac(,和)OFA是等边三角形,BOA=FAO=60,BAO=FOA=60,AFBO,ABFO.四边形ABOF是平行四边形.19.证明:四边形ABCD是平行四边形,AEFC.ACEF,四边形AEFC是平行四边形,AC=E

38、F.同理,AC=GH,EF=GH.20.解:可以组成平行四边形,理由如下:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.21.提示:(1)AD=6cm.(2)重叠部分的面积为cm2.22.提示:连接AC,BD,分别过点A,B,C,D作对角线BD,AC的平行线,所作四条线围成的四边形即为满足条件的平行四边形.总复习(教材第166页)1.解:eqoac(,在)ABA1中,B=20,AB=A1B,BA1A=80,A1A2=A1C,BA1Aeqoac(,是)A1A2C的外角,CA2A1=40;同理可得,DA3A2=20,A4=10.2.解:由ABC=123,可得A=30,B=60,C=90,由BC=4,得AB

39、=8,在eqoac(,Rt)ABC中,由勾股定ABC44=8.理得AC=4,所以S=3.证明:由已知条件可得BEO=CDO=90,OE=OD,EOB=DOCeqoac(,)OEBODC(ASA),OB=OC.4.解:DEeqoac(,是)ABC的AB边的垂直平分线,BE=AE,B=30,B=BAE=30,AE平分BAC,BAC=2BAE=60,C=180-B-BAC=90.5.提示:(1)x5.(2)x0.(4)x3.(5)x1.(6)x-.(7)x-2.(8)x-100.数轴表示略.6.提示:(1)无解.(2)x4.(3)-1x-.(4)x-1.(5)0 x1.(6)x1.7.解:(1)Rt

40、ABC绕直角顶点C按逆时针方向连续旋转三次(每次旋转90)的结果如图所示.(2)把所得的所有三角形看成一个图形,将得到一个“风车”图案.8.提示:(1)描点作图略.它像四角星,它既是轴对称图形又是中心对称图形.(2)得到的图形与(1)中图形关于纵轴对称.(3)得到的图形与(1)中图形关于坐标原点对称.(4)得到的图形是(1)中图形向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度后的图形.9.提示:(1)对应点:(-1,1)和(6,5),(-2,2)和(5,6),(-6,-2)和(1,2),横坐标相差7,纵坐标相差4.(2)(-5,4)和(-5,-4),(-1,4)和(-1,-4),(3,1)和(3

41、,-1),横坐标相同,纵坐标互为相反数.10.解:(1)x(x-y)(2y-x).(2)(1.4b+a)(1.4b-a).(3)(x-6y)2.(4).(5)(a-4b)2.11.提示:(1)(a+b)2(a-b)2.(2).12.提示:(1)2(a-4)2.(2)(x-y-1)2.13.解:x+y=0.2,x+3y=1,+得2x+4y=1.2,所以x+2y=0.6,原式=3(x2+4xy+4y2)=3(x+2y)2=1.08.14.解:(1)原式=,当x=3时,原式=0.(2)原式=,当x=5时,原式=5.15.提示:(1)x=0.(2)无解.(3)x=2.16.已知:四边形ABCD,A=C

42、,B=D.求证:四边形ABCD是平行四边形.证明:A=C,B=D,A+B+C+D=360,2A+2B=360,A+B=180,ADBC,同理ABCD,四边形ABCD是平行四边形.17.解:BE=CF.理由如下:l1l2,AEDF,四边形AEFD是平行四边形,AD=EF,易证得四边形ABCD是平行四边形,AD=BC,EF=BC,BE=CF.18.证明:在ABCD中,ADBC,A+B=180,AB=2AD,M为AB的中点,AM=MB=AD=BC,eqoac(,在)DAM中,DMA=,同理在CMB中,CMB=,DMA+CMB=+=180-(A+B)=180-180=90,DMC=90,即DMMC.1

43、9.提示:对应点的坐标分别为B(5,5),C(7,4),D(9,5),M(7,5).20.解:存在eqoac(,)CBECDFeqoac(,)CBE绕着点C顺时针旋转90可得到CDF.21.提示:(1)四个部分都是圆,形状相同,大小相等.(2)形状相同,大小相等,这四部分组成了一个旋转对称图形,它们可以看成一个图形绕点O依次旋转90而相互得到的.22.解:(1)(答案不唯一)如图所示.(2)“分割线”都经过方格纸的中心(中间那个小正方形的中心),这些“分割线”将原图形分成的两部分关于方格纸的中心对称.23.证明:原式=(n+7+n-5)(n+7-n+5)=12(2n+2)=24(n+1),(n

44、+7)2-(n-5)2能被24整除.24.解:有2个,如图所示,点C1,C2就是所求的点.25.解eqoac(,:)DCEeqoac(,由)ABC平移而成eqoac(,)ABC平移的距离为BC=2,且BE=2BC=4,DE=AC=2,E=ACB=60,DE=BE,BDDEeqoac(,)BED是直角三角形,BE=4,DE=2,BD=26.解:设该种植物种在距山脚xm的部分比较适宜,根据题意,得1622-=2.0.5520,解得x.所以植物种在山的m和m之间为宜.27.解:共有4组:0,1,2;1,2,3;2,3,4;3,4,5.28.解:设团体人数为x人时,甲、乙两家旅行社的收费一样.列方程得

45、1004+50(x-4)=100 x,解得x=8.取x=10,甲旅行社收费700元乙旅行社收费300元,即乙更优惠.所以,当团体人数大于8人时,甲旅行社收费更优惠;当团体人数等于8人时,两家旅行社的收费一样;当团体人数小于8人时,乙旅行社收费更优惠.29.解:100(a+t-8)=270-3a,整理得100t=1070-103a.当a=10时,100t=1070-10310=40,解得t=0.4.所以政府补贴至少应为0.4元/kg.30.解:(1)设租用x辆45座的客车,依题意,得45x=60(x-1)-30,解得x=6.所以该校参加春游的人数为270人.(2)设租用y辆45座的客车,依题意,得解不等式组,得2y.y为正整数,y=2.所以该校租用2辆45座