高中数学选择性必修一 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系新B提高练（含答案）

1、1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（2）-B提高练一、选择题1若平面与的法向量分别是，则平面与的位置关系是A平行B垂直C相交但不垂直D无法确定【答案】B【解析】因为，所以，所以两平面垂直.故答案为B2.（2020全国高二课时练）在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),则PA与底面ABCD的关系是()A相交B垂直C不垂直D成60角【答案】B【解析】因为=0，所以；因为=0，所以，又，所以答案选B3（2020河南周口高二期末（理）已知梯形CEPD如下图所示，其中PD=8，CE=6，A为线段PD的中点，四边形ABCD

2、为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE平面ABCD，得到如图所示的几何体.已知当点F满足AF=AB(01)时，平面DEF平面PCE，则的值为（ ）A12 B23 C35 D45【答案】C【解析】因为四边形ABCD为正方形，且平面PABE平面ABCD，所以PA,AB,AC两两垂直，且PA/BE，所以建立空间直角坐标系（如图所示），又因为PD=8，CE=6，所以P0,0,4,C4,4,0,E4,0,2,D0,4,0,B4,0,0，则F4,0,0,DE=4,-4,2,DF=4,-4,0,CE=0,-4,2,EP=-4,0,2，设平面DEF的法向量为m=(x,y,z)，则由mDE=0mDF=0,

3、得4x-4y+2z=04x-4y=0，取m=(1,2-2)，平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，则由nCE=0nEP=0,得-4y+2z=0-4x+2z=0，取n=(1,1,2)，因为平面DEF平面PCE，所以mn=1+22-2=5-3=0，解得=35.故选C.4.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧棱AA1底面A1B1C1,BAC=90,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在线段B1P上,则下列结论正确的是()A.当点Q为线段B1P的中点时,DQ平面A1BDB.当点Q为线段B1P的三等分点时,DQ平面A1BDC.在线段B1P的

4、延长线上,存在一点Q,使得DQ平面A1BDD.不存在点Q,使得DQ平面A1BD【答案】D【解析】以点A1为坐标原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则由已知得A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1),D0,1,12,P(0,2,0),则A1B=(1,0,1),A1D=0,1,12,B1P=(-1,2,0),DB1=1,-1,-12.设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),则nA1B=x+z=0,nA1D=y+12z=0.取z=-2,则x=2,y=1,所以平面A1BD的一个法向量为n=(2,1,-2).假设D

5、Q平面A1BD,且B1Q=B1P=(-1,2,0)=(-,2,0),则DQ=DB1+B1Q=1-,-1+2,-12.因为DQ也是平面A1BD的一个法向量,所以n=(2,1,-2)与DQ=1-,-1+2,-12共线,则1-2=-1+21=-12-2=14成立,所以1-2=-1+2,-1+2=14,但此关于的方程组无解.故不存在点Q,使得DQ平面A1BD.故选D.5（多选题）（2020海南省海南中学高二月考）如图所示，正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是（ ）AB点必在线段上CD平面【答案】BD【解析】对于，在平面上，平面平面，到平面即为到平面的距离，即为正方体棱

6、长，错误；对于，以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则，即，即三点共线，必在线段上，正确；对于，与不垂直，错误；对于，设平面的法向量，令，则，即，平面，正确.故选：.6.（多选题） （2020山东高二期末）在长方体中，分别是上的动点，下列结论正确的是（ ）A对于任意给定的点，存在点使得B对于任意给定的点，存在点使得C当时，D当时，平面【答案】ABD【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设， 设，得到，.，当时，正确；，取时，正确；，则，此时，错误；，则，设平面的法向量为，则，解得，故，故平面，正确.故选：.二、填空题7（2020全国高二课时练）已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下

7、列各点中，在平面内的是_（把正确的序号都填上）；.【答案】【解析】设中的点分别为、.对于中的点，则；对于中的点，则；对于中的点，则；对于中的点，则.因此，中的点在平面内.8.（2020广东湛江高二月考）如图，已知正方体的棱长为4，是的中点，点在侧面内，若，则面积的最小值为_【答案】【解析】以AB，AD，AA1为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则P（0，0，2），C（4，4，0），D1（0，4，4），设M（a，0，b），则（a，4，b4），（4，4，2），D1MCP，4a+16+2b80，即b2a4取AB的中点N，连结B1N，则M点轨迹为线段B1N，过B作BQB1N，则BQ又BC平面ABB1A1，

8、故BCBQ，SBCM的最小值为SQBC9（2020重庆市育才中学高二期中）在棱长为1的正方体中,为的中点,是正方体表面上相异两点,满足,(1)若,均在平面内,则与的位置关系是_；(2)的最小值为_【答案】平行； 【解析】 (1)以为空间直角坐标系的原点,以所在的直线为轴,如下图所示：,因为若,均在平面内,所以设,因为,所以,解得,所以与的位置关系是平行；(2)由(1)可知：当时, 有最小值,最小值为.10（2020上饶中学高二期中）如图，在长方体中，点为线段上的动点(包含线段端点)，则下列结论正确的_当时，平面；当时，平面；的最大值为；的最小值为.【答案】【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系

9、，则,设,.对于，当，即，解得，设平面的法向量为，则由，解得，由于，所以平面成立.对于，当时，即，解得，由可知平面成立.对于，设，即，解得，由，其分子化简得，当时，故的最大值可以为钝角，错误.对于，根据计算的数据， ,，在对称轴，即时取得最小值为，故错误.三、解答题11如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且ADBC,ABC=PAD=90,侧面PAD底面ABCD.若PA=AB=BC=12AD.(1)求证:CD平面PAC;(2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE平面PCD?若存在,指出点E的位置并证明,若不存在,请说明理由.【解析】因为PAD=90,所以PAAD.又因为侧面PA

10、D底面ABCD,且侧面PAD底面ABCD=AD,所以PA底面ABCD.BAD=90,所以AB,AD,AP两两垂直.分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AD=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).(1)证明:AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),CD=(-1,1,0),可得APCD=0,ACCD=0,所以APCD,ACCD.又因为APAC=A,所以CD平面PAC.(2)设侧棱PA的中点是E,则E0,0,12,BE=-1,0,12.设平面PCD的法向量是n=(x,y,z),则nCD=0,nP

11、D=0,因为CD=(-1,1,0),PD=(0,2,-1),所以-x+y=0,2y-z=0,取x=1,则y=1,z=2,所以平面PCD的一个法向量为n=(1,1,2).所以nBE=(1,1,2)-1,0,12=0,所以nBE.因为BE平面PCD,所以BE平面PCD.综上所述,当点E为PA的中点时,BE平面PCD.12（2020全国高二（理）如图1，在直角三角形中，.，分别是，的中点.现将三角形沿边折起，记折起后的点位于点的位置，且平面平面（如图2所示），点为边上的一点，且. （1）若平面，求的值；（2）是否存在，使平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.【解析】（1）折叠前，直角中，是中点，所以，.折叠后，由平面，所以，为等边