向量组的线性相关与线性无关

1、向量组的线性相关与线性无关 1. 线性组合 设 a1, a2 , , at n R,k1, k2 , , kt R,称 k1a1k2akt at 为 a1, a2 , , at 的一 个线性组合 ； k1 【备注 1】 按分块矩阵的运算规章, k1 a1 k2 a2 ktat a1, a2 , , at k2 ；这 kt 样的表示是有好处的； 2. 线性表示 设 a1, a2 , , at n R, b n R ,假如存在 k1 ,k2 , , kt R ,使得 bk1 a1 k2 a2 kt at 就称 b 可由 a1 , a2 , , at 线性表示 ； k1 bk1a1 k2a2 kt

2、at ,写成矩阵形式, 即 b a1 , a2 , , at k2 ；因此,b 可 kt k1 由 a1 , a2 , , at 线性表示即线性方程组 a1 , a2 , , at k2 b 有解,而该方程组有解 kt 当且仅当 r a1 ,a2 , ,at r a1, a2 , , at , b ； 3. 向量组等价 n 设 a1, a2 , , at , b1, b2 , ,bs R,假如 a1, a2 , , at 中每一个向量都可以由 b1, b2 , ,bs 线性表示,就称向量组 a1, a2, ,at 可以由向量组 b1, b2 , , bs 线性表示； 假如向量组 a1 , a2

3、 , , at 和向量组 b1 , b2 , 量组是 等价的 ； ,bs 可以相互线性表示, 就称这两个向 第 1 页,共 13 页向量组等价的性质： 1 自反性 任何一个向量组都与自身等价； 2 对称性 如向量组 I 与 II 等价,就向量组 II 也与 I 等价； 3 传递性 如向量组 I 与 II 等价,向量组 II 与 III 等价,就向量组 I 与 III 等价； 证明： 自反性与对称性直接从定义得出；至于传递性,简洁运算即可得到； 设向量组 I 为 a1, a2 , , ar ,向量组 II 为 b1, b2 , , bs ,向量组 III 为 c1, c2, ,ct ； t 向量

4、组 II 可由 III 线性表示,假设 bj ykj ck , j 1,2, , s ；向量组 I 可由向 k 1 s 量组 II 线性表示,假设 ai x ji bj , i 1,2, , r ；因此, j 1 s s t t s ai xji bj xji ykj ck ykj xji ck , i 1,2, , r j 1 j 1 k 1 k 1 j 1 因此,向量组 I 可由向量组 III 线性表示； 向量组 II 可由 I 线性表示,III 可由 II 线性表示,依据上述方法再做一次, 同样可得出,向量组 III 可由 I 线性表示； 因此,向量组 I 与 III 等价；结论成立！

5、4. 线性相关与线性无关 设 a1, a2 , , at n R,假如存在不全为零的数 k1 , k2 , ,kt R ,使得 k1 a1 k2a2 kt at 0就称 a1, a2 , , at 线性相关 ,否就,称 a1, a2 , , at 线性无关 ； 依据线性表示的矩阵记法, a1, a2 , , at 线性相关即齐次线性方程组 k1 a1 ,a2 , , at k2 0kt 有非零解,当且仅当 r a1, a2, ,at t ； a1, a2 , , at 线性无关,即 k1 a1 ,a2 , , at k2 0kt 只有零解,当且仅当 r a1, a2, ,at t ； n特殊的

6、,如 t n ,就 a1, a2 , , an R线性无关当且仅当 r a1 , a2 , , an n , 当且仅当 a1, a2 , , an 可逆,当且仅当 a1 , a2 , , an 0 ； n例 1. 单独一个向量 a R 线性相关即 a 0 ,线性无关即 a 0 ；由于,如 a 线性 相关,就存在数 k 0 ,使得 ka 0 ,于是 a 0 ；而如 a 0,由于 1 a a 0 ,1 0因此, a 线性相关； 例 2. 两个向量 a, b R n 线性相关即它们平行, 即其对应重量成比例； 由于,如 a, b 线性相关,就存在不全为零的数 k1 ,k2 ,使得 k1a k2 b

7、0 ； k1 , k2 不全为零,不妨 假设 k1 0 ,就 a k2 b ,故 a,b 平行,即对应重量成比例；假如 a,b 平行,不妨 k1 假设存在 ,使得 a b ,就 a b 0 ,于是 a, b 线性相关； 1 0 0 x1 例 3. 0 , 1 , 0 线性无关,且任意 x x 2 R 3 都可以由其线性表示,且表示 0 0 1 x3 方法唯独；事实上, x x1 x1 1x2 0 x3 0010 x2x3 0015. 线性相关与无关的性质 第 3 页,共 13 页1 如一向量组中含有零向量,就其必定线性相关； 证明： 设 a1, a2 , , at n R,其中有一个为零,不妨

8、假设 at 0 ,就 因此, a1, a2 , 0 a1 0 a2 0 at 11 0 0, at 线性相关； 2 如一向量组线性相关,就增加任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相 关；如一向量组线性无关,就其任意部分向量组仍然线性无关； 证明： 设 a1, a2 , , at , 1 , 2 , , s n R, a1, a2 , , at 线性相关；存在不全为零的数 k1, k2 , , kt ,使得 k1a1 k2 a2 ktat 0这样, k1, k2 , k1a1 k2a 2 kt at 01020s 0, kt 不全为零,因此, a1 , a2 , , at , 1, 2 , ,

9、s 线性相关； 后一个结论是前一个结论的逆否命题,因此也正确； 3 如一个向量组线性无关, 在其中每个向量相同位置之间增加元素, 所得到的 新向量组仍然线性无关； 证明： n设 a1, a2 , , at R为一组线性无关的向量； 不妨假设新的元素都增加在向量 a1 a2 at 最终一个重量之后,成为 , , , , b1, b2 , ,bt 是同维的列向量；令 b1 b2 bt k1 a1 k2 a2 kt at k1a1 k2 a2 ktat 0b1 b2 bt k1b1 k2b2 ktbt 就 k1a1 k2 a2 kt at 0 ；由向量组 a1, a2 , , at 线性相关,可以得

10、到 第 4 页,共 13 页k1 k2 kt 0 ；结论得证！ 4 向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示； 证明： n设 a1, a2 , , at R为一组向量； 必要性 如 a1, a2 , , at 线性相关,就存在一组不全为零的数 k1, k2 , , kt ,使得 k1 a1 k2a2 kt at 0k1, k2 , , kt 不全为零,设 k j 0 ,就 k1a1 k j 1a j 1 k j 1a j 1 kt at a j k j 充分性 如 a1, a2 , , at 中某个向量可以表示成其余向量的线性组合,假设 a j 可以表示成 a1, , aj

11、1, a j 1 , , at 的线性组合,就存在一组数 k1 , , k j 1 , k j 1, ,kt , 使得 a j k1a1 kj 1aj 1 k j 1a j 1kt at 也就是 k1 a1 k j 1a j 1 a j k j 1a j 1 ktat 0但 k1 , , k j 1 , 1,k j 1 , , kt 不全为零,因此, a1 , a2, ,at 线性无关； 【备注 2】请精确懂得其意思,是其中某一个向量可以由其余向量线性表示,而 不是全部向量都可以； 5 如 a1, a2 , , at R线性无关, b nR ,使得 a1, a2 , , at ,b 线性相关,

12、就 b 可由 na1, a2 , , at 线性表示,且表示方法唯独； 证明： a1 ,a2 , , at , b 线性相关,因此,存在不全为零的数 k1 , k2 , , kt , kt 1 ,使得 k1a1 k2 a2 ktat kt 1b 0第 5 页,共 13 页kt 10 ,否就 kt 10 ,就 k1a1 k2 a2 kt at 0 ；由 a1 ,a2 , ,at 线性无关,我们 就得到 k1 k2 kt 0 ,这样, k1, k2 , ,kt , kt 1均为零,与其不全为零冲突！ 这样, bk1a1 k2a2 kt at ,就 kt 1因此, b 可由 a1, a2 , , a

13、t 线性表示； y2a2 yt at 假设 b x1a1 x2 a2 xt at y1a1 x1 y1 a1 x2 y2 a2 xt yt at 0由 a1 , a2 , , at 线性无关,有 x1 y1 x2 y2 xt yt 0 ,即 x1 y1 , x2 y2 , , xt yt 因此,表示法唯独； 【备注 3】 刚才的证明过程告知我们, 假如向量 b 可由线性无关向量组 a1, ,at 线 性表示,就表示法唯独；事实上,向量 b 可由线性无关向量组 a1 , , at 线性表示, 即线性方程组 a1 , , at x b 有解；而 a1 , , at 线性无关,即 r a1 , ,

14、at t ；因此, 如有解,当然解唯独,即表示法唯独； 6 如线性无关向量组 a1, a2 , , at 可由向量组 b1, b2 , ,bs 线性表示,就 t s ； 证明： 假设结论不成立,于是 t s ； a1, a2 , , at 可由 b1 ,b2 , , bs 线性表示；假设 x11 a1 x11b1 x21b2 xs1bs b1, b2, ,bs x21 , xs1 x12 a2 x12b1 x22 b2 xs 2bs b1 ,b2 , ,bs x22 , xs 2 第 6 页,共 13 页. x1t at x1t b1 x2tb2 xstbs b1,b2, ,bs x2 t ,

15、 xst 任取 k1, k2 , , kt ,就 k1 x11 x12 x1t k1 k1a1 k2a2 kt at a1 , a2 , ,at k2 b1,b2, , bs x21 x22 x2t k2 x11 x12 x1t kt xs1 xs2 xst kt 由于 x21 x22 x2 t 为一个 s t 阶矩阵,而 t s,因此,方程组 xs 1 xs2 xst x11 x12 x1t x21 x22 x2t x 0 xs1 xs 2 xst k1 必有非零解,设为 k2 ,于是 k1a1 k2a 2 kt at 0 ；因此,存在一组不全为 kt 零的数 k1, k2 , , kt ,

16、使得 k1a1 k2a2 kt at 0 ；因此,向量组 a1,a2 , , at 线性相 关,这与向量组 a1 , a2 , , at 线性无关冲突！因此, t s ； 7 如两线性无关向量组 a1, a2 , , at 和 b1 ,b2 , ,bs 可以相互线性表示,就 t s ； 证明： 由性质 6 , t s , s t ,因此, s t ； 【备注 4】 等价的线性无关向量组所含向量个数一样； n8 设 a1, a2 , , at R, P 为 n 阶可逆矩阵,就 a1, a2 , , at 线性无关当且仅当 Pa1, Pa2 , , Pat 线性无关； b 可由 a1, a2 ,

17、, at 线性表示,当且仅当 Pb 可由 第 7 页,共 13 页Pa1, Pa2 , , Pat 线性表示；如可以线性表示,表示的系数不变； 证明： 由于 P 可逆,因此 k1a1 k2a2 kt at 0Pk1 a1 k2a2 kt at 0 0k1 Pa1 k2 Pa2 kt Pat k1a1 k2 a2 ktat bPb Pk1a1 k2 a2 ktat bk1 Pa1 k2 Pa2 kt Pat 如此,结论得证！ 6. 极大线性无关组 n定义 1 设 a1, a2 , , at R,假如存在部分向量组 a , a , , a ,使得 i1 i2 ir 1 a , a , , a 线性

18、无关； i1 i2 i r 2 a1 , a2 , , at 中每一个向量都可以由 a , a , , a 线性表示； 就称 a , a , , a 为 a1, a2 , i1 i 2 ir , at 的极大线性无关组； n【备注 5】 设 a1 , a2 , , at R , a , a , , a 为其极大线性无关组；依据定义, i1 i2 i r a1, a2 , , at 可由 a , a , i1 i2 ,a 线性表示；但另一方面, a , a , , a 也明显可以由 ir i1 i2 ir a1, a2 , , at 线性表示；因此, a1, a2 , , at 与 a , a

19、, , a 等价；也就是说,任何一 i1 i2 ir 个向量组都与其极大线性无关组等价； 向量组的极大线性无关组可能不止一个, 但都与原向量组等价, 依据向量组 等价的传递性, 它们彼此之间是等价的, 即可以相互线性表示； 它们又都是线性 无关的,因此,由之前的性质 7 ,向量组的任意两个极大线性无关组含有相同 的向量个数； 这是一个固定的参数,由向量组本身所准备,与其极大线性无关 组的选取无关, 我们称其为向量组的 秩,即向量组的任何一个极大线性无关组所 含的向量个数； 第 8 页,共 13 页【备注 6】 依据定义,向量组 a1, a2 , , at 线性无关,充分必要条件即其秩为 t ；

20、n 定义 2 设 a1 , a2 , , at R,假如其中有 个线性无关的向量 a , a , i1 i2 ,a ,但没有 ir 更多的线性无关向量,就称 a , a , , a 为 a1, a2 , a1, a2 , , at 的秩； , at 的极大线性无关组,而 r为 【备注 7】 定义 2 生动地表达了极大线性无关组的意义； 一方面, 有 r 个线性无 关的向量,表达了“无关性” ,另一方面,没有更多的线性无关向量,又表达了 “极大性”； 【备注 8】 两个定义之间是等价的；一方面,假如 a , a , , a 线性无关,且 i1 i 2 ir a1, a2 , , at 中每一个向

21、量都可以由 a , a , , a 线性表示,那么, i1 i2 ir a1, a2 , , at 就没 有更多的线性无关向量,否就,假设有,设为 b1, b2 , , bs , s r ；b1 , b2 , , bs 当然 可以由 a , a , , a 线性表示,且仍线性无关,依据性质 6 , s r ,这与假设矛 盾！另一方面,假设 a , a , , a 为 a1, a2 , i1 i2 ir , at 中 r 个线性无关向量,但没有更多 的线性无关向量,任取 a1 ,a2 , ,at 中一个向量,记为 b ,就 a , a , , a , b 线性相 ir 关；依据性质 5 , b

22、可有 a , a , i1 i2 , a 线性表示 且表示方法唯独 ； ir 【备注 9】设向量组 a1, a2 , , at 的秩为 r ,就其极大线性无关向量组含有 r 个向量； 反过来,其中任何 r个线性无关向量所成的向量组也是 a1,a2 , , at 的一个极大线 性无关组；这从定义即可得到； 6. 向量组的秩的矩阵的秩的关系 称矩阵 A 的列向量组的秩为 A 的列秩 ,行向量组转置后所得到的列向量组的 秩称为矩阵 A 的行秩； 定理 1 任意矩阵的秩等于其行秩等于其列秩； 证明： 设 A a R m n , r A r ；将其按列分块为 A a , a , ,a ；存在 m 阶 第

23、 9 页,共 13 页可逆矩阵 P ,使得 PA 为行最简形,不妨设为 10, 100b1,r +1 b1,n 10b2, r 1b2, n PA Pa1 , Pa2 , , Pan 1br ,r 1br ,n 000000000000100, 0, 1线性无关,且 PA 中其余列向量都可以由其线性表示,因此, 00, 00001000100, 0, 1为 PA 的极大线性无关组,其个数为 r,因此, a1 , a2 , , ar 线性无 000000关,且 A 中其余列向量均可由其线性表 示 等于 A 的秩； 且表示的系数不变 ；因此, A 的列秩 将 A 按行分块, A T b1 T ,就

24、 A b1 ,b2 , ,bm ,因此,依据前面的结论, A T bm 的行秩为 A T 的秩,而 A T 的秩等于 A 的秩；至此,结论证明完毕！ 【备注 10】 证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法； 7. 扩充定理 定理 2 设 a1, a2 , , at n R,秩为 r, a , a , i1 i 2 ,a ik 为其中的 k 个线性无关的向量, 第 10 页,共 13 页k r ,就能在其中加入 a1 , a2 , , at 中的 r k 个向量,使新向量组为 a1 ,a2 , ,at 的 极大线性无关组； 证明： 假如 k r ,就 a , a , , a 已经是 a1

25、,a2 , i1 i2 ik ,at 的一个极大线性无关组, 无须再 添加向量； 假如 k r ,就 a , a , i1 i2 ,a 不是 a1 , a2 , , at 的一个极大线性无关组,于是, ik a1, a2 , , at 必有元素不能由其线性表示,设为 a ik 1,由性质 5 ,向量组 a , a , , a , a i1 i2 ik ik 1 线性无关； 假如 k 1 r ,就 a , a , , a , a i1 i2 ik ik 1 已经是 a1, a2 , , at 的一个极大线性无关组, 无须再添加向量； 假如 k 1r,就 a , a , i1 2i , a, a

26、ik ik1 不是 a1, a2 , ,at 的一个极大线性无关组, 于 是, a1, a2 , , at 必有元素不能由其线性表示,设为 a ik 2,由性质 5 ,向量组 a , a , , a , a , a i1 i2 ik ik 1 ik 2 线性无关； 同样的过程始终进行下去,直到得到 r 个线性无关的向量为止； 【备注 11】 证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法；只是,这方法 并不好实现； 8. 求极大线性无关组并将其余向量由极大线性无关组线性表示 n求向量组 a1, a2 , at R的极大线性无关组,可以依据下面的方法来实现； 1 将 a1, a2 , at 合在一起写成一个矩阵 A a1 ,a2 , at ； 2 将 A 通过初等行变换化成行阶梯形或者行最简形,不妨设化得的行阶形为 第 11 页,共 13 页b11 b12 b1r b1,r 1b1,n 1,2, , r , r r A 0b22 b2r b2, r 1b2, n A 00brr br , r 1br ,n B , bii 0, i , jr 列,就 j1, j 2 , ,