统计学第五章平均指标课件

1、第五章 平均指标【案例导入】甲乙两名运动员都是射击运动员，现要从甲乙两名运动员中挑选一名代表参加比赛，于是对两名运动员进行射击测试。每名运动员分别射击10次，甲运动员的成绩分别为、。而乙运动员的成绩分别为、。那么我们怎样从两位运动员的成绩分析出谁更应该参加比赛呢？小笑话1三个统计学家去打猎，正好碰到挺大的一头鹿。第一个统计学家开枪了，但是子弹偏左了大概 1米。第二个统计学家也跟着开枪了，同样没击中，子弹偏右了1米。第三个统计学家放下枪，兴奋地嚷道：“嗨，平均来讲，我们打中了！” 小笑话2那么你把左手放到一锅一百度的开水中，右手放到一锅零度的冰水里想来也没事吧！因为它们平均的温度不过是五十度而已

2、！” 全国各省男女性的平均身高，看自己达标没？中国各省男子平均身高（20岁以上） 1 山东175.44 cm 2 北京175.32 cm 3 黑龙江175.24 cm 4 辽宁174.88 cm 5 内蒙174.58 cm 6 河北174.49 cm 7 宁夏173.98 cm 8 上海173.78 cm 9 吉林172.83 cm 10 天津172.80 cm 11 台湾172.75 cm 12 山西172.73 cm 13 新疆172.72 cm 14 陕西172.72 cm 15 澳门171.79 cm 16 甘肃171.67 cm 17 江苏171.54cm 18 河南171.49 c

3、m 19 青海170.95 cm 20 安徽170.93 cm 21 浙江170.90 cm 22 福建170.90 cm 23 香港170.89 cm 24 四川170.86 cm 25 广东169.78 cm 26 重庆169.71 cm 27 西藏169.68 cm 28 江西169.63 cm 29 海南169.60 cm 30 湖北169.54 cm 31 贵州169.35 cm 32 云南169.24 cm 33 湖南168.99 cm 34 广西168.96 cm 中国各省女子平均身高（20岁以上） 1 山东 169.45 2 北京 167.33 3 黑龙江 165.25 4 辽

4、宁 164.88 5 内蒙 164.58 6 河北 164.50 7 宁夏 163.96 8 上海 163.79 9 吉林 162.84 10 天津 162.80 11 台湾 162.70 12 山西 162.74 13 新疆 162.72 14 陕西 162.80 15 澳门 161.79 16 甘肃 159.66 17 江苏 161.54 18 河南 161.47 19 青海 160.86 20 安徽 160.90 21 浙江 160.88 22 福建 160.89 23 香港 160.93 24 四川 160.86 25 广东 159.78 26 重庆 159.71 27 西藏 159.

5、66 28 江西 159.53 29 海南 159.56 30 湖北 159.56 31 贵州 159.36 32 云南 159.33 33 湖南 159.1 34 广西 158.96 教学目的与要求本章阐述了平均指标的概念和作用；各种平均数的计算原则、方法与应用条件；主要的平均指标(算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数和中位数) 。第一节 平均指标的概念和作用一、平均指标的概念二、平均指标的特点三、平均指标的作用一、平均指标的概念概念和特点平均指标指同质总体某一标志在一定时间、地点、条件下所达到的一般水平。例如，某地区2009年多数职工的年工资收人在20000元左右，职工平均货币工资为2

6、0200元。平均指标的特点：(1)平均指标是个代表值，代表总体各单位标志值的一般水平。(2)把总体各单位标志值的差异抽象化了。（3）能反映总体变量值的集中趋势。数据集中区变量x数据集中区变量x二、平均指标的作用利用平均指标，可以对若干同类现象在不同单位、地区间进行比较研究。可以研究某一总体某种数值的平均水平在时间上的变化，说明总体的发展过程和趋势3.作为论断事物的一种数量标准或参考。例如，对企业工人劳动效率的评定，通常以他们的平均劳动生产率水平为依据。4.可以分析现象之间的依存关系第二节 平均指标的种类和计算平均数按反映的时间状况不同分为静态平均数和动态平均数。将同一时间总体各单位的数量加以平

7、均所得到的平均数，称为静态平均数。（本章内容）将同类事物不同时间上的数量加以平均所得到的平均数，称为动态平均数，又称序时平均数。（后第8章讲）。平均指标（平均数）的种类简单和加权平均数分类主要内容一、算术平均数二、调和平均数三、几何平均数四、众数五、中位数六、正确应用平均指标的原则（一）算数平均数的基本形式算术平均数是总体各单位标志值总和除以总体单位总数得到的平均数值。它是统计研究和统计实务中应用最为广泛的一种平均指标。例：直接承担者 注意区分算术平均数与强度相对数一、算术平均数（二）算术平均数与强度相对数的区别算术平均数分子与分母同属一个总体，强度相对数是两个性质不同但有联系的不同总体的总量

8、指标对比，这两个总量指标之间没有依附关系，只是在经济内容上存在客观联系。算术平均数用来说明总体单位某一标志值的一般水平。强度相对数用来说明现象的强度、密度和普遍程度。有的强度相对指标的分子分母可倒置；平均数则不可。强度相对指标一般由对比双方原有的计量单位构成；平均数计量单位则与标志值指标计量单位相同。（三）简单算术平均数将各单位的标志值相加而得标志总量，再除总体单位总数求得平均数这种计算平均数的方法称为简单算术平均数， 。简单算术平均数主要适用于未分组资料。 其计算公式为：式中： 为算术平均数; 为总体单位总数； 为第 个单位的标志值。 例5-1：某学习小组8个同学英语统考分数分别是82、85

9、、76、69、73、80、75、68分。则他们的平均分数为： =76分加权算术平均数就是用变量数列中各组标志值乘以相应的各组单位数(次数)，求出各组的标志总量，并将它们相加得出总体的标志总量，然后除以总体单位总数，求得平均数。计算加权算术平均数时有两种情况：一是依据单项式变量数列计算，二是依据组距式变量数列计算。权数指变量数列中各组标志值出现的次数，是变量值的承担者，反映了各组的标志值对平均数的影响程度。（四）加权算术平均数在单项式变量数列的情况下，已知各组的变量值和各组的次数，且各组的次数又不相等，则要用加权算术平均法计算平均指标。其计算公式为：式中，f代表各组次数，其余符号同前。1. 单项

10、变量数列计算加权算术平均数例52：某厂甲车间有200名职工，他们每月加工的零件数如表5l 。表5-1某厂甲车间职工每月加工的零件数零件数（件）x工人数（人）f产量工人数x f30323435362050764014600160025841400504合计2006688 如果我们所掌握的资料不是单项数列资料，而是组距数列资料，计算算术平均数的方法与上述方法基本相同，只是要先计算出各组的组中值以作为代表标志值进行计算。设某企业按职工工资水平分组的组距数列资料如下：月工资(元)组中值（元）X职工人数（人）f工资总额（元）X f3004004005005006006007007008008009009

11、0010001000以上350450550650750850950105014193530262042490085501925019500195001700038002100合计15094600平均工资=注意：组中值具有假定性以组中值作为各组的代表值，假定各组标志值在组内分布是均匀的。此时求得的算术平均数只是其真值的近似值。变量数列中，哪组比重权数大，哪组标志值对平均数的影响就大。所以，权数的实质就是各组单位数占总体单位数的比重。如果各组次数相等，则各组单位数占总体学位数的比重相等，即将组比重权数相等，则对各组标志值来说就失去了权衡轻重的作用，枚数的作用也就没有了。（五）权数对平均数的影响作用

12、权数表现为次数、频数、单位数；即公式 中的表现为频率、比重；即公式中的绝对权数相对权数例:某班组工人工资及有关计算资料见表 月工资/元人数比重5006007000.30.50.2合计1.0月工资/元工人数/人500600700352合计10要求计算工人的平均工资。例:某班组工人工资及有关计算资料见表 则，工人的平均工资： 月工资/元工人数/人500600700352合计10人数比重工资总额/元抽象工资总额0.30.50.21500300014001503001401.05900590思考题菜场上某鱼摊大鲫鱼每条约重0.4 公斤，售价为每公斤20 元，小鲫鱼每条约重0.25 公斤，售价为每公斤1

13、2 元。某顾客向摊主提出大、小鲫鱼各买一条，一起称重，价格为每公斤16 元。摊主应允，问这次买卖谁占了便宜？为什么？计算加权算术平均数有时会遇到权数的选择问题。在分配数列的条件下，一般来说，次数就是权数。但也有次数是不合适的权数的情况，这在以相对数或平均数计算平均数时经常遇到。（七）权数的选择例5-3：某公司所属15个企业资金利润率分组资料如表5-3，要求计算该公司15个企业的平均利润率。资金利润率（%）X企业数平均占用资金（万元）f利润总额（万元）Xf121524663508015061236合计1528054选择权数的原则1、变量与权数的乘积必须有实际经济意义。2、依据相对数或平均数本身的

14、计算方法来选择权数。练习例： 某管理局所属20个企业产品产量及一等品率资料：实际一等品率（%）企业个数实际产量 9294 9496 9698 5 10 5 550 340 260 合 计 20 1150组中值（%）一等品产量（件） 93 95 97 511.5 323.0 252.6 - 1086.7实际一等品率= 一等品产量/实际产量练习：招收各类职业人员资料如下表职业男性女性报考人数录用率（%）报考人数录用率（%）技工教师医生35020050202565015030040308合计600500请分别计算男、女职业人员的总录用率，并比较两组说明各组和总录用率高低不同的原因。计算表职业男性女性

15、报考人数x录用率（%）fxf报考人数x录用率（%）fxf技工教师医生3502005020256705035015030040308204524合计60012350089男性总录用率=女性总录用率=资料显示，女性各组录用率均高于男性，但总录用率却低于男性，这是因为平均数的大小不仅受各组变量值大小的影响，而且受权数的影响。这里，报考人数的多少对总录用率起了权衡轻重的作用。另见教材p78例5-3各组标志值不变，各组次数扩大或缩小相同的倍数，其平均数值不变。如果各组次数相等，加权算术平均数就等于简单算术平均数。在许多情况下，我们可以直接用各组次数占总次数的比重来求加权算术平均数（八）简单算术平均数与加

16、权算术平均数的关系补充：算术平均数的数学性质(1)算术平均数与总体单位数的乘积等于各总体单位标志值的总和。即：(2)各总体单位标志值与算术平均数离差之和等于0，即：(3)各总体单位标志值与算术平均数离差平方和为最小，即： （4） 如果每个变量值都增加或减少任意常数A，则平均数也要增减这个数A。未分组资料： 分组资料： （5） 如果每一个变量值都乘以或除以任意常数A，则平均数也要乘以或除以这个数A。未分组资料： 分组资料： 补充：算术平均数的特点和应用-切尾平均数 在实际运用算术平均数时，如果总体中存在过大或过小的数值，经常将其剔除，然后将余下的变量值加以平均。这种平均数称为切尾平均数。目前此法

17、在文艺、体育比赛评分中应用较多。思考1.某种蔬菜价格早上为元/斤、中午为元/斤、晚上为元/斤。现早、中、晚各买1斤，求平均价格。2.某种蔬菜价格早上为元/斤、中午为元/斤、晚上为元/斤。现早、中、晚各买1元，求平均价格。在例1中，用简单算术平均数三、调和平均数调和平均数是平均数的一种，它是根据变量值的倒数计算的，它是变量值倒数的算术平均数的倒数，故又称倒数平均数。调和平均数是算术平均数的一种变形。简单调和平均数式中，H为调和平均数，其余符号同前。 未分组资料计算计算公式：在例2中，先求早、中、晚购买的斤数。早 1/0.5=2(斤）中 1/0.4=2.5(斤）晚 1/0.25=4(斤）再思考某种

18、蔬菜价格早上为元/斤、中午为元/斤、晚上为元/斤。分别买1千克、2千克、3千克，该商品的平均价格为？某种蔬菜价格早上为元/斤、中午为元/斤、晚上为元/斤。现早、中、晚各买2元、3元、4元，求平均价格。例5-3（二）加权调和平均数如果掌握的资料是各组的标志值和标志总量，而未掌握各组单位数，则用加权调和平均法计算平均指标。其计算公式为：式中： 为第 组的变量值； 为第 组的标志总量。已知分配数列各组标志值及其标志总量时，计算平均数可用加权调和平均法，权数m为各组的标志总量。即：原来只是计算时使用了不同的数据！加权调和平均数常常作为算术平均数的变形使用。例5-4红星制造厂本月购进甲种原材料三批，每批

19、采购价格和采购金额表5-4所示，求本月购进甲种原材料的平均价格。解：该厂原材料采购价格和采购金额（四）平均指标和相对指标的平均数1由相对指标计算平均数7710547229【例】 设某公司下属三个企业的产值资料如表所示。 企业甲乙丙110105 94 70100 50合计220计划完成程度(%)计划产值(万元)实际产值(万元)另见教材p80例5-5【例】设某公司下属3个企业的产值资料和企业计划完成情况如表所示。 企业计划完成程度(%)实际产值(万元)甲乙丙110105 94 77105 47合计229计划产值(万元)70100 502202由平均指标计算平均数【例】 某企业两车间生产同种产品产量

20、和成本资料如表所示。 车间单位成本(元)产量(吨)甲乙60070012001800合计3000(元/吨) 总成本(元)720 0001 260 0001 980 000【例】 某企业两车间生产同种产品产量和成本资料如表所示。车间单位成本(元)总成本(元)甲乙6007007200001260000合计1980000(元/吨) 产量(吨)120018003000另见教材p81例5-6小结相对指标（或平均指标）的平均数的一般方法要先写出基本公式再判断缺分子资料还是缺分母资料。(1)若已知的是相对指标（或平均指标）的分母资料时，可将其作为权数，采用加权算术平均法计算；(2)若已知的是相对指标（或平均指

21、标）的分子资料时，可将其作为权数，采用加权调和平均数法计算。注：在计算加权算术平均数时，对于权数的选择必须慎重，一定要使各组的标志值和权数的乘积等于各组的标志总量，具有实际的经济意义。练习某厂对三个车间一季度生产情况分析如下：第一车间产际产量为190件，完成计划95；第二车间实际产量250件，完成计划100；第三车间实际产量609件，完成计划105。三个车间产品产量的平均计划完成程度为：另外，一车间产品单位成本为18元件，二车间产品单位成本为12元件，三车间产品单位成本为15元件，则：三个车间平均单位成本为：以上平均指标的计算是否正确?如不正确请说明理由并改正。元件。解：两种计算均不正确。平均

22、计划完成程度的计算，因各车间计划产值不同，不能对其进行简单平均，这样也不符合计划完成程度指标的特定涵义。正确的计算方法是：平均计划完成程度H= = 平均单位成本的计算也因各车间的产量不同，不能简单相加，产量的多少对平均单位成本有直接影响。所以正确的计算方法为： 平均单位成本 =练习例： 某管理局所属20个企业产品产量及一等品率资料：实际一等品率（%）企业个数实际产量 9294 9496 9698 5 10 5 550 340 260 合 计 20 1150组中值（%）一等品产量（件） 93 95 97 511.5 323.0 252.6 - 1086.7实际一等品率= 一等品产量/实际产量练习

23、1.算术平均数的计算公式有（） A. xf/f B. x/n C. x*(f/f) D. n/ E. 总体标志总量/总体单位总量2.已知5个水果商店苹果的单价和销售额，要求计算5个商店苹果的平均单价，应该采用( )A.简单算术平均法 B.加权算术平均法 C.加权调和平均法 D.几何平均法3.某公司下属5个企业，已知每个企业某月产值计划完成百分比和实际产值，要求计算该公司平均计划完成程度，应采用加权调和平均数的方法计算，其权数是( ) A.计划产值 B.实际产值 C.工人数 D.企业数4.已知某工业局所属各企业职工的平均工资和职工人数资料，要计算该工业局职工的平均工资，应选择的权数是（ ）A职工

24、人数 B平均工资 C工资总额 D职工人数或工资总额几何平均数是N项变量值连乘积的开N次方根。用于计算现象的平均比率或平均速度。各个比率或速度的连乘积等于总比率或总速度；相乘的各个比率或速度不为零或负值。应用的前提条件：三、 几何平均数几何平均数也分简单几何平均数和加权几何平均数两种简单几何平均数是n个变量值（比率）连乘积的n次方根，计算公式为：（一）简单几何平均数【例】2001-2005年我国工业品的产量分别是上年的107.6%、102.5%、100.6%、102.7%、102.2%，计算这5年的平均发展速度。【例】某企业有5个流水作业的车间，1月份第一车间产品合格率为98%，第二车间产品合格

25、率为96%，第三车间产品合格率为95%，第四车间产品合格率为94%，第五车间产品合格率为92%。试求该厂1月份平均产品合格率。 【例】某生产车间生产某产品合格率分别为：97、93、91和87，则该车间制品平均合格率为：当计算几何平均数的每个变量值（比率）的次数不相同时，则应用加权几何平均法，其计算公式为：加权几何平均数【例】某投资银行25年的年利率分别是：1年3%，4年5%，8年8%，10年10%，2年15%，求平均年利率。挠头的数值公司员工的月薪如下：员工经理副经理职员A职员B职员C职员D职员E职员F职员G月薪（元）60004000170013001200110011001100500四、众

26、数 众数的概念 众数是总体中出现次数最多的标志值。它能直观地说明客观现象分配中的集中趋势，用字母M0表示。例如某车间80名工人中技术等级为4级的有58人，人数最多，则4级为众数。用它表示该车间工人技术等级的一般水平。众数的概念1.概念众数(Mode)指总体中出现次数最多的变量值，用 表示,它不受极端数值的影响，用来说明总体中大多数单位所达到的一般水平。四、众数在实际工作中有时有它特殊的用途。比如，消费者需要的内衣、鞋袜、帽子等最普遍的号码，说明农贸市场上某种农副产品最普遍的成交价格等，都需要利用众数。 众数存在的条件总体单位数较多，各标志值的次数分布又有明显的集中趋势时才存在众数。 如：某商场

27、某季度男皮鞋销售情况男皮鞋号码/厘米销售量/双24.01224.58425.011825.554126.032026.510427.052合计1200可以看到，厘米的鞋号销售量最多，如果我们计算算术平均数，则平均号码为25. 65厘米，而这个号码显然是没有实际意义的，而直接用厘米作为顾客对男皮鞋所需尺寸的集中趋势既便捷又符合实际。 众数的计算方法单项数列确定众数观察次数，出现次数最多的标志值就是众数。这种方法比较简单。【例】一种商品价格及销售量如下表所示，求众数。上面数列中价格为元的商品销售量最多，即出现次数最多，则众数M0元。组距数列确定众数组距数列确定众数观察次数，首先由最多次数来确定众数

28、所在组，然后再用比例插值法推算众数的近似值。其计算公式为： 下限公式 上限公式 式中： 、 分别表示众数所在组的下限、上限； 表示众数所在组与以前一组次数之差； 表示众数所在组与以后一组次数之差； d 表示众数所在组的组距。 P83【例5-9】某乡农民家庭人均纯收入及分组资料表所示。家庭平均年纯收入（元）农民家庭数（户）800-10001000-12001200-14001400-16001600-18001800-20002000-22002200-2400240480105060027021012030合计3000（元） 【例B】某车间50名工人月产量的资料如下：月产量（件）工人人数（人）

29、向上累计次数（人）200以下200400400600600以上 3 732 8 3104250合计50计算该车间工人月产量的众数。众数是一个位置平均数，它只考虑总体分布中最频繁出现的变量值，而不受极端值和开口组数列的影响，从而增强了对变量数列一般水平的代表性。 众数是一个不容易确定的平均指标，当分布没有明显的集中趋势而趋均匀分布时，则无众数可言；当变量数列是不等距分组时，众数的位置也不好确定。众数的特点（一）概念中位数（Median）是指将总体各单位标志值按大小顺序排列后，指处于数列中间位置的标志值，用 表示。不受极端数值的影响，在总体标志值差异很大时，具有较强的代表性。中位数的作用：五、中位

30、数（二）中位数的计算未分组资料 先将数据按从小到大顺序排列，如项数为奇数，居于中间的哪个单位标志值就是中位数；当总体单位数为偶数时，数列中间两个位置的标志值的平均数才是中位数。中位数的位次为：第3个单位的标志值就是中位数即【例】某售货小组5个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元，则若上述售货小组为6个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元、760元，则中位数应为第3和第4个单位标志值的算术平均数，即由单项式分组资料计算中位数计算时可先计算分组数列的累计次数再用 公式确定中位数的位次然后根据中位数的

31、位次将累计次数刚超过中位数位次的组确定为中位数组该组的标志值即为中位数。 中位数位置=80/2=40按向上累计次数，到34所在组为54，到32所在组为27，故中位数应在34所在组，即中位数=34。【例】某工厂日产零件的工人数如下表所示，求中位数。3.由组距式分组资料计算中位数计算时可先计算分组数列的累计次数再用 公式确定中位数的位次然后根据中位数的位次将累计次数刚超过中位数位次的组确定为中位数组用公式计算中位数的准确数值下限公式： 上限公式： 【例】某车间50名工人月产量的资料如下：月产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）200以下200400400600600以上 3 732 8 310

32、4250合计50计算该车间工人月产量的中位数。由组距数列确定中位数P83【例5-9】某乡农民家庭人均纯收入及分组资料表所示。家庭平均年纯收入（元）农民家庭数（户）农户数累计（户）向上累计向下累计800-10001000-12001200-14001400-16001600-18001800-20002000-22002200-2400240480105060027021012030240720177023702640285029703000300027602280123063036015030合计3000补充：各种平均数之间的相互关系1.算术平均数、几何平均数和调和平均数三者之间的关系2.算术

33、平均数与众数、中位数之间的关系（1）当总体分布呈对称的正态分布状态时（2）当总体呈偏态分布时 当次数分布呈右偏（或叫正偏）分布时， 当次数分布呈左偏（或叫负偏）分布时， 位置平均数与算术平均数的关系(对称分布)正偏态分布（右）负偏态分布(左）在偏斜不大时XfXfXf1212算术平均数 应用最广泛的一种平均数 调和平均数 算术平均数的转化形式 ,这种平均数使用较少。而且，它要求每个原数据值都不能为零。 几何平均数 用于计算相对数（如比率、速度等）的平均数 中位数 平均数的补充形式，两者都是为避免原数据中极端值的影响而采用的方法，都不受每个原数据大小的影响，而只受位置和次数的影响。 众数 根据同一资料分别计算和确定五种平均数，得到的结果一般是不同的。就算术平均数、调和平均数和几何平均数来说，算术平均数最大，几何平均数其次，调和平均数最小。 五种平均数的比较运用平均指标应注意的问题 1.平均指标只能运用于同质总体；2.用组平均数补充说明总平均数；3.用分配数列补充说明平均数；4.将平均指标与变异指标结合起来分析六、平均指标的应用用组平均数补充说明总