初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第8章 线段与角试题 新人教版

1、中小学最新教育资料第二篇平面几何第8章线段与角81线段与角度811在线段AB上有P、Q两点，AB26，AP14，PQ11，求BQ的长解析有两种情况：点P相邻于点A，或点P相邻于点B(1)当点P相邻于点A时，如图(a)所示，此时BQABAPPQ2614111APQ图(a)BAQP图(b)B812如图，已知ACCB，ADCB，AB的长是66厘米，求CD之长ABCBCBCB（厘米），ADCB（厘米），因此(2)当点P与点B相邻时，如图(b)所示，此时BQABAPPQ2614112355711解析由于CDACAD，AC、AD又与BC有关，所以，只要求出BC的长即可ADCB因为ABACCB，所以5127

2、7因为AB66（厘米），所以，CB77（厘米），2555535ACCB7211210（厘米）CDACAD553522813如图，B、C、D依次是线段AE上的三点，已知AE8.9厘米，BD3厘米，则图中以A、B、C、D、E这5个点为端点的所有线段长度之和等于多少厘米？ABCDE解析以A、B、C、D、E为端点的线段共十条，所以所有线段长度之和为ABACADAEBCBDBECDCEDE4AB6BC6CD4DE4ABDE6BCCD4(AEBD)6BD4AE2BD48.92341.6（厘米）814将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形问其中最长的一段的取值范围解析

3、设AB是所围成的五边形ABCDE的某一边（如图），而线段BC、CD、DE、EA则可看成是点A、B之间的一条折线，因此，中小学最新教育资料中小学最新教育资料DCEBAABBCCDDEEA设最长的一段AB的长度为x厘米，则其余4段的和为10 x厘米由线段基本性质知x10 x，所以x5，又10ABBCCDDEEA5x，所以x2即最长的一段AB的长度必须小于5厘米且不小于2厘米815若一个角的余角与这个角的补角之比是27，求这个角的邻补角解析设这个角为，则这个角的余角为90，这个角的补角为180依照题意，这两个角的比为9018027所以36026307，5270，所以54从而，这个角的邻补角为1805

4、4126816如图，AOB是钝角，OC、OD、OE是三条射线，若OCOA，OD平分AOB，OE平分BOC求DOE的度数ADOCEB解析设AOB，则2，DOC902AOD因为COB90，所以COE245因此，DOEDOCCOE90224545817ABC中，A是最小角，B是最大角，且2B5A，若B的最大值是m，最小值是n，求mn的值解析根据题意，得ACB因为ABC180，2B5A，所以25BBC180，即BC18075中小学最新教育资料C180BB，又因为ABC，所以BBCB180，即B180，所以B100中小学最新教育资料75由此得12B180，B7552527755595所以75B100，故

5、mn10075175818在平面上，一个凸n边形的内角和小于1999，求n的最大值，解析因为凸n边形的内角和为n2180，所以n21801999，n212，所以，n14又凸13边形的内角和为13218019801999，故n的最大值是13819如图所示，求ABCDEFGAGBFCMNED解析如图所示，可得BBMNEG360，FNMFAC360，而RMNFNMD180，所以ABCDEFG5408110如图所示，ABCDEFGn90，则n_ABCyxQGDRFE解析设AF与DG相交于点Q，CE与DG相交于点R，记AQRx，CRGy，则ADx180，BCGy360，EFxy中小学最新教育资料中小学最

6、新教育资料把此三式相加得ABCDEFG540，所以n68111如图所示平面上六个点A、B、C、D、E、F构成一个封闭折线图形求ABCDEF的度数ABPFERQCD解析所求的六个角中任意三个都不在同一个三角形中；两个在同一个三角形中，而该三角形的第三个角的对顶角（共三个）在一个三角形中，于是，我们反复利用内角和定理可得ABAPB180，EFFRE180，CDDQC180，而PRQPQRQPR180，所以APBFREDQC180，故ABCDEF3608112如图，在ABC中，M为AB的中点，D为AB上任一点N、P分别为CD、BC的中点，Q为MN的中点，直线PQ与AB相交于E，则AEEDAEMDQN

7、BPC解析连结PN，则BD2PN2ME于是ABBDAEAMEM111AD，222所以AEED，8.1.13如图，求图中ABCDE的大小解析1如图(a)，连结BE在DOC中，DCDOC180，在eqoac(,O)BE中，OBEOEBBOE180，又DOCBOE，所以DCOBEOFB因此ABCDEABEDCAABOAEOOBEOEBAABEAEB180中小学最新教育资料中小学最新教育资料DAOCDP21AOCEEBB图(a)图(b)解析2如图(b)，在DOC中，由三角形外角的性质，得1DC，2AE所以ABCDEBDCAEB12180评注由解析2可以看出，三角形外角的性质虽很简单，却很有用，它能把许

8、多分散的角集中到一个三角形（或多边形）中来8114如图，BE平分ABD，CF平分ACD，BE与CF相交于G，若BDC140，BGC100，求A的度数AFGE1D53642BC解析连结BC在BDC中D12180，所以12180D18014040在BGC中，1324BGC180，所以3418012BGC1804010040又因为BE、CF分别为ABD、ACD的平分线，所以563440在ABC中A135246180，即A(404040)180所以A608115在ABC中，ABAC，D、E、F分别在AB、BC、CA上，且DEEFFD求证：中小学最新教育资料中小学最新教育资料AFDBECDEB1ADFC

9、FE2此即DEB(CFE+ADF)解析如图，易知BC因为DEBCFEFEBCFE60C60，又ADFDEBADEDEB60B60，于是DEBCFEADFDEB128116如图，DC平分ADB，CE平分AEB，若DAE，DBE，求DCE的度数（用、表示）ACDBEADBAEB360DCE360，1解析如图，由ACD与ACE的内角和是360可得1122由ABD与ABE的内角和是360可得ADBAEB360360，所以DCE1ADBAEB21228.1.17如图，求ACDFGIJLBEHK的大小，此处B即ABC，余类推，中小学最新教育资料中小学最新教育资料LJABKHCEDFIG解析连结BK、BE、

10、EH、KH由四边形内角和是360可知，ALLKBABK360CDCBEDEB360，FGGHEHEF360，JIIHKJKH360，HKBKBEBEHEHK360，因此ACDFGIJL3604(LKBABKCBEDEBGHEHEFIHKJKH)而LKBABKCBEDEBGHEHEFIHKJKH(HKBKBEBEHEHK)(BEHK)3604，所以LKB3A6B0K，从而ACDFGIJL36043604BEHK360360(BEHK)，所以ACDFGIJL(BEHK)3608118若时钟由2点30分走到2点50分，问：时针和分针各转过多大的角度？解析在2点30分，分针指向教字6，在2点50分，分

11、针指向数字10，因此，分针转过了4“格”，而每1“格”为30，所以，分针共转过了430120，所以，时针转动了12010由于时针转动的速度是分针转动速度的111212评注在钟表问题中，有许多有关时针、分针的转角问题，解这类问题的关键是：时针的转动的速度是分针转动速度的112，钟面上每1“格”是308.1.19时钟里，时针从5点整的位置起，顺时针方向转多少度时，分针与时针第一次重合？解析在开始时，分针“落后”于时针150设分针与时针第一次重合时，时针转动了角，那么，分针转动了(150)因为分针转速是时针的12倍，所以中小学最新教育资料中小学最新教育资料10911121215038765413即时

12、针顺时针方向转动13时，分针与时针重合15012注钟表里的分针与时针的转动问题本质上与行程问题中的两人追赶问题非常相似行程问题中的距离相当于这里的角度；行程问题中的速度相当于这里时（分）针的转动速度8120在4点与5点之间，时针与分针在何时(1)成120；(2)成900解析(1)如图(a)，在4点整时，时针与分针恰成120由于所问的时间是介于4点到5点之间，因此，这个时间不能计入，从4点开始，分针与时针之间的角度先逐步减少，直至两针重合（夹角为）之后，分针“超过”时针，两针之间的夹角又逐渐增大（此时，分针在时针的前面）直到两针夹角又一次成为120，这个时间正是我们所要

13、求的111211091202384765图(a)设时针顺时针转过角后，时针与分针（分针在时针前）成120，则1212012021所以24091111相当于经过2分钟，21相当于经过了21243（分钟）由于时针每转过30（如从指向数字4转到指向数字5）相当于1小时（60分钟）所以时针每转过1911971111因此，在4点43711分时，时针与分针成120角(2)如图(b)、(c)所示，由于在整4点时，时针与分针夹角为120，因此，在4点与5点之间，时针与分针成90有两种情况：中小学最新教育资料中小学最新教育资料1211121101011122129393658765481247图(b)图(c)(

14、i)时针在分针之前(如图(b)设时针转了角，分针转了12角，有1209012，所以1130，即301125（分钟）用时3065111111(ii)时针在分针之后(如图(c)，此时，有关系1212090，11210，所以21011238（分钟）分与4点38分两个时间时，时针与分针成90用时2104202111111综上所述，在4点到5点之间，在4点5521111评注由于时针与分针所成角依时针与分针的“前”后”次序有两种情况，因此，按两针夹角情况会出现一解或两解8121如图所示，在ABC中，ABAC，A45，点P、Q分别在边AC、AB上，且APPQQBBCAQ，求A的大小AxP2xQ3x2xBRC

15、解析在线段PC上取点R，使得QRQP（事实上，只要以点Q为圆心，QP为半径作圆，与CP交于点R即可）设Ax，则PQAx，QPR2x，QRP2x，于是BQRAQRA3x中小学最新教育资料中小学最新教育资料又QRQB，所以QBR1803x，于是2BRCABRAx1803x2180 x2，而BCR180 x2，所以BRBC故BQR为正三角形，所以3x60，x20，即A208122如图(a)，在四边形ABCD中，ABBCCD，ABC70，BCD170，求BAD的度数ADBC(a)解析作点M，如图(b)其与点A在边BC的同侧，使得BMC是正三角形，则ABM与MCD是等腰三角形，其中ABM10，MCD11

16、0，AMDBC(b)因此AMB85，CMD35，故AMD360AMBBMCCMD360856035180，所以，点M在线段AD上，所以BADBAM858.2特殊角821以ABC的边AB为直径作圆，与边AC交于M，与BC交于N(M、N不与A、B重合)，eqoac(,S)ABC4eqoac(,S)MNC，ABC中有一内角是另一个的2倍，求ABC的3个内角CMANB解析BM、AN为ABC的高，在ABC内部，故ABC为锐角三角形如图，由于CMBCNA，故cosCCNCMCMCNACBCACBCS1eqoac(,S)CMNABC2，故C60剩下的角中，不可能有30或120，故只可能是一个为40，另一个为

17、80中小学最新教育资料中小学最新教育资料822ABC中，B70，A80，点P为ABC内一点，CBPBCP10，求BAPAPBC解析如图，BPC1602BAC，又BPCP，故P为ABC的外心，PAPB又ACB30，故APB60，ABP为正三角形，所以BAP60823将一个等腰三角形ABC划分成两个较小的等腰三角形，问这样的ABC有几种形状？并将所有形状都列出来ABDC解析如图，设等腰三角形ABC分成ABD与ACD不妨设ADB90，于是，等腰三角形ABD中，只能有ADBD这时RACB，而ACD有三种情况(1)ADCD，则RAC90，ABC为等腰直角三角形(2)CDAC设B，则ADB1802，BAC

18、3，C1804，由于ADB90，141445若BC，则80，得36；若BACC，则380得1807，、36,72,72180540540,777这两种情况都是解(3)ADAC，C2，BAC1803，显然BC由BACC得21803，故36综上，总共有4组解，所求等腰三角形的三个内角分别为(45，45，90)、(36，36，108)、824设ABC内有一点M，MBA30，MAB10，又ACB80，ACBC，求AMCCAMDB2sin40，解析如图，作CDAB，则AB2AD2ACsin40又由正弦定理，ABsin40AMsin30中小学最新教育资料中小学最新教育资料于是ABABAMAC，ACAM而C

19、AM40，所以AMC70825已知ABC中，ABAC，A20，D在AB内，且ADBC，求DCA的大小解析如图，在ABC外作正三角形ADE，则EAC80ACB，AEADBC，ACAC，故DCAECABAC10DCFACBAC，ECABAC，又EDA，CDCD，有eqoac(,E)Deqoac(,)1122AEDDA，故BC826已知ABC中，B18，C36，求证：BCAC为ABC外接圆半径解析如图，延长CA至E，使BEBC，则E36，ABE90取AE中点D，则DEDBAD，EDB108，又作ABC的外心O，则COBO为ABC外接圆半径，COB2DAB108CAODBE故COBEDB，COBDAD

20、而CDBCBD72，故COCDACBCAC评注证明四边形CDBO为等腰梯形也可，这样就无须点E了827已知ABC中，A100，ABAC，延长AB至点D，使ADBC，求BCD解析如图，在AB上找一点E，使ACE30易知AEsin30ACsin50，AB40-E4030CD中小学最新教育资料2cos40，两式相乘，得AEAD1，303020中小学最新教育资料ADBCACAC2sin30cos40AC2sin50于是AC2AEAD，故ACEADC，DACE30，所以BCD40D10828已知等腰ABC，底角ABCACB50，点D、E分别在BC、AC上，AD、BE交于点P，ABE30，BAD50，连结

21、ED，求BED解析如图，在BP上找一点Q，使QDB10或PQD30，连结AQA50PEQ50BCD2sin202cos70由于DAC30，故QDA801070QDsin70BDsin30QAP为正三角形，QAPQBQ，Q为ABP外心，因此PBAPQA30又BDAD，故QD2ADcos70若设A在QD上的垂足为K，则QD2DK因此AQAD，AQD70，QAD40而A、Q、D、E共圆，故BEDQAD40829ABC中，A100，ABAC，点P为ABC内一点，PACACP20，求PBA解析如图，在ABC内作AQBAPC，则AQBQAP，于是QAP1004060，12AQPBC8210设点P为ABC内

22、一点，PBA10，BAP20，PCB30，CBP40，求证：ABC是等腰三角形解析如图，作AQBC，且AQAB，连结QP、QB、QCAPBCQ易知BAQ40，于是BAPQAPBAPQAP，BPQP又APB150APQ，所以BPQ60，BPQ为正三角形又BQPQ，PQB602PCB，所以Q为BPC之外心，于是BQCQAQ垂直平分BC，中小学最新教育资料中小学最新教育资料所以ABAC8211已知ABC中，ABAC，D在AC上，ADB60，E在BD上，ECB30，求AEC的大小AEDBCF解析如图，作E关于BC的对称点F，连结EF、CF、BF、AF，则EFC为正三角形，EFCE2602，BECECA

23、BDC1802由于E和F关设BAC，则ECA9022的补角，故F在该圆上，于BC对称，故BFCBEC180在以A为圆心、AB为半径的圆中，BFC恰好是圆心角BAC的一半AFAC，又EFCE，故AEFAEC，AEC360FEC21508212ABC中AD是角平分线，CE为边AB上的高，若CDA45，求BED解析BA2CDA45，故B，BAC90，E在AB上（而不是延长线上）AEECB90B，ACB180BA，故ECBACB2702B180FBDCA2于是延长AC后，D至AC、CE距离相等，又AD为角平分线，故D至AB、AC距离相等，因此D至EB、EC等距，ED平分BEC，BED45（本题几条辅助

24、线用语言即可说明，不添亦可）8213ABC中，A100，ABAC，点P为ABC内一点，ACP10，PAC20，求PBAAPBCQ解析如图，与ABC在AB同侧作正三角形ABQ，则QAPCAP20又AQABAC，故中小学最新教育资料中小学最新教育资料APQAPC，APQAPC150而ABQ60，ABBQ，故B为APQ外心，BPBA而BAP80，所以ABP208214如图，凸四边形ABCD中，AC、BD交于点P，DBC60，ACB50，ABD20，ACD30，求ADBDAO20P603050BCABOCBO，则ABOABC40，OBD20ABD，解析作ADC的外心O，则AOD为正三角形，AOCO连结

25、BO，易知ABBC，故12于是sinBADBDBDsinBODsin20ADODsin20而BADBOD3604060260180，故BADBOD，于是ABDBOD，所以ADBADO30128215设ABC中，ABAC，A80，P是三角形内一点，PAB10，PBA20，求ACPAQBPC解析如图，作CQAP，则AQACcos70又APEsin20ABsin150AD，FGBC故AP2ABsin202ACcos70，于是AP2AQ，CQ垂直平分AP，ACCP，APCPAC70故ACP408216ACB中，BAC40，ABC60，点D、E分别是边AC、AB上的点，CBD40，BCE70，点F是直线

26、BD和CE的交点，证明：直线AF和BC垂直解析如图，在BCF外作正三角形FCG，连结DGBG，则BDCABDBAC60FGC，故D、F、C、G共圆，BDG120ADB又易知BFC70BCF，于是BFBC，而中小学最新教育资料中小学最新教育资料FGGC，所以BFGBCG，于是DBG20DBA，从而GBDABD，故BGAB于是易见ABFGBF，AFGFCF由于ACB80，故FCA10，这样便有CAF10，与ACB互余，因此AFBC8217已知ABC中，A108，ABAC，延长AC至点D，设点J是BD的中点，求证：当ADBC时有AJJC解析如图，取BC中点K，AC中点M，连结AK、MK、MJ、KJ在BC上取一点E，使CECD，则由ADBC得BEACAB(设为1)，于是AEB72，EAC36ACE，AMBKECJDKNcos72KJ，于是N为KJ中点，MN垂直平分KJ，MJKMAMMC，因此AJJC2KJCDAE2cos72易见AKBC，MK1，MK