数学物理方法-14.2 分离变量法-1维热传导课件_第1页
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文档简介

1、分离变量法将解表示为 时间函数X(x)空间函数T(t)导出时间函数和空间函数的常微分方程逐个求解X(x)和T(t)，每一个记为Xn(x)Tn(t)对于线性问题，叠加原理成立，则通解为基本步骤：变量分离，分别导出初始值问题，固有值问题；求解固有值问题，确定边值问题的固有值和固有函数；根据固有值，求解初始值问题，含未知系数；解的叠加，根据偏微分方程的初始条件确定未知系数。分离变量法：均匀杆的热传导问题问题设有一均匀细杆，长为l，两个端点的坐标为x=0和x=l，端点处的温度保持为零度，已知杆上初始温度分布为 ，求杆上的温度变化规律。定解问题假设：(1)杆圆周表面绝热，(2)等截面处温度相等，那么，此

2、问题为一维热传导问题两端温度不变的杆的热传导问题采用分离变量法求解：边界条件固有值问题：和两端固定弦振动方程的固有值问题相同两端温度不变的杆的热传导问题则定解问题的解为由初始条件得 ？算例：原始温度分布xTu(x, 0)算例：系数cn随n的变化nlog10(cn)算例：温度变化图n=30 xut=0t=10st=20st=30st=40s杆的热传导问题：改变定解条件改变边界条件：一个或两个为第二类或第三类边界条件；对于分离变量法，一般地，固有值与固有函数会发生改变。 假设：杆表面绝热；等截面处温度相等。绝热绝热两端绝热杆的热传导问题使用分离变量法求解：两端绝热杆的热传导问题：解该边值问题的固有值为：固有函数为：时间函数方程两端绝热杆的热传导问题则定解问题的解为由初始条件得 两端绝热杆：算例xTxut=0t=5st=10

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