高数总复习课件

1、C8、空间解析几何与向量代数（一）向量代数（二）空间解析几何向量的线性运算向量的表示法向量积数量积混合积向量的积向量概念C8、向量代数直 线曲面曲线平 面参数方程旋转曲面柱 面二次曲面一般方程参数方程一般方程对称式方程点法式方程一般方程空间直角坐标系C8、空间解析几何所求投影直线方程为例5解由于高度不变,故所求旋转曲面方程为平面点集和区域多元函数的极限多元函数连续的概念极 限 运 算多元连续函数的性质多元函数概念C9、多元函数微分法及其应用偏导数概念多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导思考1. 讨论二重极限解法1解法2 令解法3 令时, 下列算法是否正确?分析:解法

2、1解法2 令此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 此时极限为 1 .第二步 未考虑分母变化的所有情况, 解法3 令此法忽略了 的任意性,极限不存在 !由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点 .特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的. 同时还可看到, 本题极限实际上不存在 .典型例题例1解例2解例4解分析:例5 判断在原点的连续性，可偏导性以及可微分性质解： 连续性容易判断 定 义几何意义性 质计算法应 用二重积分定 义几何意义性 质计算法应 用三重积分C

3、10、重积分重积分计算的基本方法1. 选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2. 选择易计算的积分序积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .图示法列不等式法(从内到外: 面、线、点)3. 掌握确定积分限的方法 累次积分法二、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1. 交换积分顺序的方法2. 利用对称性或重心公式简化计算3. 消去被积函数绝对值符号4. 利用重积分换元公式例2 解例3. 计算二重积分其中:(1) D为圆域(2) D由直线解: (1) 利用对称性.围成 .(2) 积分域如图:将D 分为添加辅助线利用对称性 , 得例4. 计算二重积分其中D

4、 是由曲所围成的平面域 .解:其形心坐标为:面积为:积分区域线形心坐标例5. 计算二重积分在第一象限部分. 解: (1)两部分, 则其中D 为圆域把与D 分成作辅助线(2) 提示: 两部分 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号. 作辅助线将D 分成曲线积分曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义计算定义计算联系联系C11、曲线积分与曲面积分 曲 线 积 分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义联系计算(与方向有关)与路径无关的四个等价命题条件等价命题 曲 面 积 分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分定义联系计 算 (与侧无关) (与侧有关)定积分曲

5、线积分重积分曲面积分计算计算计算Green公式Stokes公式Gauss公式各种积分之间的联系一、曲线积分的计算法1. 基本方法曲线积分第一类 ( 对弧长 )第二类 ( 对坐标 )(1) 统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2) 确定积分上下限第一类: 下小上大第二类: 下始上终计算其中L为摆线上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.提示:计算其中由平面 y = z 截球面提示: 因在 上有故原式 = 从 z 轴正向看沿逆时针方向.(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ;(2) 利用积分与路径无关的等价条件;(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯

6、托克斯公式 ;(5) 利用两类曲线积分的联系公式 .2. 基本技巧计算其中L为上半圆周提示:沿逆时针方向.P210: A 1(6); B 2二、曲面积分的计算法1. 基本方法曲面积分第一类( 对面积 )第二类( 对坐标 )转化二重积分(1) 统一积分变量 代入曲面方程(2) 积分元素投影第一类: 始终非负第二类: 有向投影(3) 确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面思 考 1) 二重积分是哪一类积分? 答: 第一类曲面积分的特例.2) 设曲面问下列等式是否成立? 不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关 2. 基本技巧(1) 利用对称性及重心公式简化计算(2) 利用高斯公式注意公式使用条件添

7、加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3) 两类曲面积分的转化练习:P233 A 1(5) 其中 为半球面的上侧.且取下侧 , 提示: 以半球底面原式 =记半球域为 ,高斯公式有计算为辅助面, 利用 计算曲面积分其中,解:思考: 本题 改为椭球面时, 应如何计算 ?提示: 在椭球面内作辅助小球面内侧, 然后用高斯公式 .常数项级数函数项级数一般项级数正项级数幂级数三角级数收敛半径R泰勒展开式数或函数函 数数任意项级数傅氏展开式傅氏级数泰勒级数满足狄 氏条件在收敛 级数与数条件下 相互转化 C13、无穷级数正 项 级 数任意项级数审敛法1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;常数项级数审敛法定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.交错级数及其审敛法定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.任意项级数及其审敛法和函数的分析运算性质:幂级数展开式(1) 定义(2) 充要条件(3) 唯一性(3) 展开方