数学物理方法傅里叶变换法课件

1、1积分变换法 积分变换在数学物理方程中也有广泛的用途，变换后，方程得以化简，偏微分方程变成常微分方程，求解常微方程后，再进行逆变换就得到原来偏微分方程的解，同时，积分变换还可能得到有限形式的解，分离变数法或者傅里叶级数发往往不能。 本章主要介绍傅里叶变换法在求解偏微分方程中的应用。2傅里叶变换（1）导数定理（2）积分定理（3）相似性定理3（4）延迟性定理（5）位移性定理（6）卷积性定理5定解问题变换成：其中分别是的傅里叶变换，这样原来的定解问题变成了常微分方程及初值条件，通解为：代入初始条件可得：故对U作逆傅里叶变换，可得最后的结果如下：6达朗贝尔公式例2求解无限长细杆的热传导问题解：作傅里叶

2、变换，定解问题变为：此常微分方程的初始问题的解为进行傅里叶逆变换可得：7交换积分次序积分公式：8例3求解无限长细杆的有源热传导问题解：作傅里叶变换，定解问题变为非齐次常微分方程：令利用上述公式可得10 是单位面积硅片表层原有杂质总量.并利用积分公式可得最后的结果为：例4限定源扩散在半导体扩散工艺中，杂质扩散深度远远小于硅片厚度，可硅片，这里求解的是半无界空间x0中的定解问题:有的杂质向硅片内扩散，但不让新的杂质穿过硅片表面进入以把硅片看成无限厚，在限定源扩散中，是只让硅片表层已12硅片表面右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中即说明杂质总量不变,曲线跟纵轴相交处的切线都是水平的,例5恒定表面浓

3、度扩散在恒定表面浓度扩散中,包围硅片气体中含有大量的杂质原子,源源不断穿过硅片表面向内部扩散,由即硅片表面的浓度梯度为零,表明没有新的杂质进入硅片.度趋于均匀,曲线下的面积为2,3依次对应越来越晚的时刻,杂质浓的分布情况,曲线1对应于较早的时刻是半无界空间x0中的定解问题于杂质分子充足,硅片表面杂质浓度保持某个常数N0,这里所求14第一个积分中令第二个积分中令则有被积函数是偶函数,故误差函数记做erfx,则w可写为:所求的解如下:15余误差函数记做erfcx,则有硅片表面右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中例6泊松公式求解三维无界空间中的波动问题明显,如果扩散持续进行下去,则浓度分布最终将为

4、常数N0(虚线)的时刻,杂质浓度趋于均匀的趋势很刻,2对应于较晚的时刻,3对应于更晚分布情况,曲线1对应于某个较早的时16解做傅里叶变换,问题变换为常微分方程的初始值问题这个方程的解为再进行傅里叶逆变换17利用5.3例1的结果18应用延迟定理出现对的积分只要在球面上进行以r为球心(矢径r),半径为at为球面 的面积元,此即泊松公式.20例7推迟势求解三维无界空间中的受迫振动解做傅里叶变换,变为非齐次常微分方程的初始值问题此问题的解为(第六章习题7答案)进行傅里叶逆变换可得21应用脉冲函数性质和关系式由于积分只要在条件下进行即可对的积分只需要在球体进行,球心的矢径为r,半径at引用5.3例1的结果,并应用延迟定理可得23二维空间的波动是三维空间波动对于二维问题,球面上的积分代以xy平面的圆上的积分,如图,上的面积元的公式,这种方法称为降维法.公式,消除了坐标z,成为二维波动泊松公式给出解,三维波动的泊松的特例,与坐标z无关,也可以由24即球面上下两半都投影于同