Levinson定理中国科学院高能物理研究所电子邮件系

1、散射相移和束缚态数目的关系 -Levinson定理马中骐中国科学院高能物理研究所e-mail: 1报告内容 Jost函数方法证明薛定谔方程 的Levinson定理 3. 结论2. Sturm-Liouville定理方法证明 薛定谔方程的Levinson定理234GEORGE SUDARSHAN has been nominated for the Nobel Prize six times and has received many awards, including the Bose Medal in 1977. 5This book provides a pedagogical intro

2、duction to the formalism, foundations and applications of quantum mechanics.This book is intended for use as a textbook for beginning graduate and advanced undergraduate course.67(2)(12)8910(20)11(15b)(26)(24)式前面12Jost 函数方法证明Levinson定理 U(r)在原点比 更少奇异 在无穷远比 收敛更快讨论有球对称势的薛定谔方程 13Jost 函数方法证明Levinson定理 U(

3、r)在原点比 更少奇异 在无穷远比 收敛更快讨论有球对称势的薛定谔方程 14Jost 函数方法 1.Jost函数解析性质和零点重数的研究很困难。Levinson定理： 2.对势函数的条件太苛刻。 3.定理中包含 项 4.推广到Dirac方程很困难。 151. 。在区域a,b, , c是Y第一个零点 2.在a,b内 y 两个相邻零点间 至少有 Y 一个零点。 3.在a,b内 y 第k个零点在Y第k零点的右面。 Sturm 比较定理16一个相角随能量单调变化 “For the Sturm-Liouville problem, the fundamental trick is the definit

4、ion of a phase angle which is monotonic with respect to the energy.”Professor C. N. Yang pointed out In a talk on monopole (1981) 17Sturm-Liouville 定理 径向函数的Wronskian 波函数对数微商 18Sturm-Liouville 定理 对 取 在无穷远趋于零， 两侧波函数对数微商都随能量单调变化，随势函数也单调变化。 19薛定谔方程的Levinson 定理 现在研究束缚态，E0时为 25薛定谔方程相移的性质 由衔接条件 解得 26薛定谔方程相

5、移的性质 1. 相移 周期性的约定过去 和 实际只要势函数不太奇异， 27薛定谔方程相移的性质 1.相移 周期性的约定2.取截断势 可分两区域 和 分别计算，在区域 为自由粒子，解已知。3.在 处用波函数对数微商衔接条件 28薛定谔方程相移的性质 对给定的因为 所以要计算 时的相移值 29薛定谔方程相移的性质 时的相移为 30薛定谔方程相移的性质 1. 由于因子 ， 很小，31薛定谔方程相移的性质 1. 由于因子 ， 很小，例外： 和 时 ， 是半整数 32薛定谔方程相移的性质 1. 由于因子 ， 很小，例外： 和 时 ， 是半整数 随 跳跃变化，每次跳 随 跳跃变化，每次跳 33薛定谔方程相

6、移的性质 1. 很小时，2.随 变化， 变化而经过 值时， 不变。 减少 而经过 值时， 增加一，即 跳进 ，反之亦然。34薛定谔方程相移的性质 1. 很小时，2.随 变化， 变化而经过 值时， 不变， 减少 而经过 值时， 增加一，即 跳进 。3.临界情况， 35薛定谔方程相移的性质 1. 很小时，2.随 变化， 变化而经过 值时， 不变， 减少 而经过 值时， 增加一，即 跳进 。3.临界情况， 对小的E值， 已经是负值。36薛定谔方程的Levinson 定理 半束缚态发生在S波的临界情况：当势能满足条件 时有 37势函数在无穷远存在尾巴的情况 满足Levinson定理，而满足修改的Levinson定理。 38Newton的两个反例 Levinson定理不会成立，但修改的Levinson定理成立。反例1： 39Newton的两个反例 反例2：40讨论 1.用Jost函数的解析性质证明Levinson定理， 势函数需要满足更强的条件 原条件是 2. 在正常情况下 但在特殊条件下， 原来的Levinson定理不成立。还有非定域势，并存在正能束缚态情况。