高中数学选择性必修三 6.3.1 二项式定理

1、第六章6.3二项式定理6.3.1二项式定理学习目标XUE XI MU BIAO1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE知识点一二项式定理(ab)n (nN*).(1)这个公式叫做二项式定理.(2)展开式：等号右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，展开式中一共有 项.(3)二项式系数：各项的系数 (k0,1,2，n)叫做二项式系数.n1知识点二二项展开式的通项(ab)n展开式的第 项叫做二项展开式的通项，记作Tk1 .思考二项式系数与二项展开式中

2、项的系数相同吗？k1答案一般不同.前者仅为 ，而后者是字母前的系数，故可能不同.1.(ab)n展开式中共有n项.()2.在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响.()3. ankbk是(ab)n展开式中的第k项.()4.(ab)n与(ab)n的二项展开式的二项式系数相同.()5.二项式(ab)n与(ba)n的展开式中第k1项相同.()思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU2题型探究PART TWO一、二项式定理的正用、逆用44a28，b16，ab281644.反思感悟(1)(ab)n的二项展开式有n1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：各项的次数和等

3、于n；字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢.跟踪训练1化简：(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1).二、二项展开式的通项的应用(1)展开式中含x的一次项；即n29n80，解得n8或n1(舍去).(2)展开式中所有的有理项.反思感悟求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项).(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题

4、必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解.(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.所以第3项的系数为240.(1)第3项的二项式系数及系数；(2)含x2的项.令3k2，解得k1，所以含x2的项为第2项，且T2192x2.三、求两个多项式积的特定项例3(1)已知(1ax)(1x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于A.4 B.3 C.2 D.1所以a1，故选D.(2)(12x)3(1x)4的展开式中，含x项的系数为A.10 B.10 C.2 D.2解析(12x)3(1x)4的展开式中含x

5、项的系数是由两个因式相乘而得到的，反思感悟跟踪训练3(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为_.(用数字作答)20四、二项式定理的应用例4(1)试求2 01910除以8的余数；解2 01910(82523)10.其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，2 01910除以8的余数与310除以8的余数相同.又31095(81)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，310除以8的余数为1，即2 01910除以8的余数也为1.(2)求证：32n28n9(nN*)能被64整除.证明32n28n9(81)n18n9式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.反

6、思感悟利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系.跟踪训练4(1)已知nN*，求证：122225n1能被31整除.显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.(2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001.且第3项以后(包括第3项)的项的绝对值都远小于0.001，故0.9986(10.002)6160.0020.988.3随堂演练PART THREE123451. 的展开式中含x3项的二项式系数为A.10 B.10 C.5 D.5123452. 的展开式中的常数项为A.80 B.80 C.40 D.40123453.设S(

7、x1)33(x1)23(x1)1，则S等于A.x3 B.x3 C.(1x)3 D.(x1)34.若(x2)n的展开式共有12项，则n_.123451112345解析原式(21)n3n.3n课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：(1)二项式定理.(2)二项展开式的通项公式.2.方法归纳：转化化归.4课时对点练PART FOUR解析原式(12)n(1)n.基础巩固123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314

8、15165.在(1x)5(1x)6的展开式中，含x3的项的系数是A.5 B.5 C.10 D.10123456789101112131415166.若(xa)10的展开式中，x7的系数为15，则a_.(用数字填写答案)1234567891011121314151682812345678910111213141516912345678910111213141516所以n281，又nN*，故n9.12345678910111213141516(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数.解设第k1项含x3项，1234567891011121314151610.已知m，nN*，f(x)(1x)

9、m(1x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数.解由题设知，mn19，又m，nN*，1m18.m219m171.当m9或10时，x2的系数有最小值为81，综合运用1234567891011121314151611.(多选)对于二项式 (nN*)，下列判断正确的有A.存在nN*，展开式中有常数项B.对任意nN*，展开式中没有常数项C.对任意nN*，展开式中没有x的一次项D.存在nN*，展开式中有一次项12345678910111213141516由通项公式可知，当n4k(kN*)和n4k1(kN*)时，展开式中分别存在常数项和一次项，故选AD.12345678

10、91011121314151612.已知21010a(0a11)能被11整除，则实数a的值为A.7 B.8 C.9 D.10解析由于21010a2(111)10a,21010a(0a11)能被11整除，又根据二项展开式可知，2(111)10被11除的余数为2，从而可知2a能被11整除，可知a9.1234567891011121314151613.(x22) 的展开式的常数项是A.3 B.2C.2 D.3令102k2或102k0，解得k4或k5.1234567891011121314151614.已知在 的展开式中，第9项为常数项，则：(1)n的值为_；10解得n10.12345678910111213141516(2)含x的整数次幂的项有_个.6由于k0，1,2,3，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项.拓广探究1234567891011121314151615.(abc)n(nN*)的展开式中的项数为_.1234567891011