(完整word)四面体外接球的球心、半径求法

1、四面体外接球的球心、半径求法一、出现“墙角结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c，则体对角线长为l = a2 + b2 + c2， 几何体的外接球直径2R为体对角线长/即R =、a2 + b2 + C22【例题】：在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为1 ,6,3，若该四面体的 四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 D所以:四面体外接球的直径为 AE 的长即：4R2 = AB2 + AC2 + AD24R2 = 12 + 32 +、：62 = 16 所以 R = 2球的表面积

2、为S二4兀R2二16兀B二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点.【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球o的球面上，AB丄BC且PA = 7 , PB = 5， PC = 751,AC = 10，求球O的体积.解：AB 丄 BC 且 PA = 7， PB = 5 , PC =莎,AC = 10,所以可得图形为：在RtABC中斜边为AC在RtNPAC中斜边为AC，取斜边的中点O,所以知AC2 = PA2 + PC2 所以PA丄PC则 OA = OB = OC ， OP = OB = OCA所以OP = OB = OC = OA，即O

3、为该四面体的外接球的球心OR = 1 AC = 52所以该外接球的体积为v=3衣3=5or总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。三、四面体是正四面体（完整word）四面体外接球的球心、半径求法处理球的“内切” “外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点 的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解.一、棱锥的内切、外接球问题例1。正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系 解：如图1所示，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为a .由图形 知，点O

4、也是外接球的球心.设内切球半径为r，外接球半径为R .正四面体的表面积S表正四面体的体积VA-BCDa 2 AB 2 BE 2 12v3 a2 a2 123 2a2-丄a 312.丄 S - r = V3 表A-BCD3V.r ABCDS表3庄a 312卫a12在 RtABEO 中，BO 2 BE 2 + EO 2，即 R 2 6a,解之。的对称性得 R 3r【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等 h3h分点，即内切球的半径为一（h为正四面体的高），且外接球的半径一，从而可以通过截面图中RtAOBE建44立棱长与半径之间的关系。例2.设棱锥M

5、 - ABCD的底面是正方形，且MA MD，MA丄AB，如果AAMD的面积为1,试求能够放入 这个棱锥的最大球的半径。解： / AB 丄 AD, AB 丄 MA,. AB 丄平面 MAD，由此，面MAD丄面AC。记E是AD的中点，从而ME丄AD . ME丄平面AC，ME丄EF设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.如图 图AMEF及内切圆O不妨设O 平面MEF ,于是O是AMEF的内心。2S设球O的半径为r，则r AMEFEF + EM + MF2i(2 ) 2EM =_,MF =.ja2 +aIa丿，r ,2 I(2 )2a + + Ja 2 +a Ia丿22当且仅当a =，即

6、a = 2时，等号成立.a当AD = ME =辽时，满足条件的球最大半径为迈-1。【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。图3图4图5题相切, 球心 的棱二、球与棱柱的组合体问正方体的内切球：球与正方体的每个面都 切点为每个面的中心，显然 为正方体的中心。设正方体 长为a，球半径为R。 如图3,截面图为正方形aEFGH的内切圆，得R =-；与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O为正 方形EFGH的外接圆，易得R =上-a .2正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5,以对角面AA作截面图得，圆O为矩形1J3AACC的外接圆，易得R = AO =a。1 1 1 2例3.在球面上有四个点P、A、B、C。如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA = PB = PC = a, 那么这个球的表面积是.