初等数论开课

1、初等数论开课第1页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一 研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、不定方程、同余式等。第2页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一 初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。另外还有解析数论（用解析的方法研究数论。）、代数数论（用代数结构的方法研究数论）。 第3页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一中外数论科学家毕达哥拉斯:古希腊,初等数论的先驱。大约生于公元前580年-500 年。最大贡献“毕达哥拉斯定理”（勾股定理）。第4页

2、，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一中外数论科学家 欧几里德:公元前4世纪，几何原本通过102个命题，初步建立了整数的整除理论。他关于“素数有无穷多个”的证明，被认为是数学证明的典范。第5页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一中外数论科学家拉格朗日:法国数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。第6页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一中外数论科学家欧拉:1707年出生在瑞士。18世纪最优秀的数学家，也是历史

3、上最伟大的数学家之一，被称为“分析的化身”。第7页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一中外数论科学家费马:16011665 ，法国著名数学家，被誉为“业余数学家之王” 、“费马大定理 ”、“费马小定理 ”。第8页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一中外数论科学家刘徽，生于公元250年左右，三国时期数学家，是世界上最早提出十进小数概念的人，著九章算术注10卷；海岛算经；九章重差图.割圆术求圆面积和圆周率.第9页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一中外数论科学家祖冲之，429500，数学家，科学家，算出在3.1415926和3.14159

4、27之间，求球体积公式著有缀术.天文历法和机械方面的成就略。 第10页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一中外数论科学家秦九韶约12021261，著数书九章,最重要的数学成就“大衍总数术”一次同余组解法与“正负开方术”高次方程数值解法，在中世纪世界数学史上占有突出地位。 李冶11921279, 著测圆海镜，主要目的就是说明用开元术列方程的方法。“开元术”与现代代数中的列方程法相类似。杨辉1250前后，是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。著详解九章算法,日用算法等。第11页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一中外数论科学家朱世杰1300

5、前后，著算学启蒙和四元玉鉴。算学启蒙是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。四元玉鉴则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创作有“四元术”多元高次方程列式与消元解法、“垛积法”高阶等差数列求和与“招差术”高次内插法。 第12页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一素数 (质数) ： 所谓素数，就是一个正整数，它除了本身和 1 以外并没有任何其他因子。素数就好象是正整数的原子一样，著名的高斯唯一分解定理说，任何一个整数。可以写成一串质数相乘的积。但是至今仍然没有一个一般的特别使用的式子可以表示所有的素数。第13页，共38页，2022年，5月20日

6、，13点34分，星期一1、哥德巴赫猜想 (Goldbach Conjecture)“所有的大于2的偶数，都可以表示为两个素数”。第14页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一哥德巴赫猜想有两个内容：第一部分叫做偶数的猜想;第二部分叫做奇数的猜想。 偶数的猜想是说，大于等于6的偶数一定是两个奇素数的和。奇数的猜想指出，任何一个大于等于9的奇数都是三个奇素数的和。第15页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一例如：第16页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一哥德巴赫猜想的历程1920年，挪威的布朗证明了 “9+9 ”。1924年，德国的拉特马

7、赫证明“7+7 ”。1932年，英国的埃斯特曼证明了 “6+6 ”。 1937年，意大利的蕾西先后证明了“5+7 ”, “4+9 ”, “3+15 ”和“2+366 ”第17页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一1938年，苏联的布赫 夕太勃证明“5+5 ”。1940年，苏联的布赫 夕太勃证明了“4+4 ”。1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+c ”，其中c是一很大的自然数。1957年，中国的王元先后证明了 “3+3 ”和 “2+3 ”。1956年，中国的王元证明了 “3+4 ”。第18页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一1962年，中国的潘承洞和苏联

8、的巴尔巴恩证明了 “1+5 ”，中国的王元证明了“1+4 ”。1965年，苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫，及 意大利的朋比利证明了“1+3 ”。1966年，中国的陈景润证明了 “1+2 ”。第19页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一2、孪生素数猜想： 所谓孪生素数指的就是这种间隔为 2 的相邻素数，它们之间的距离已经近得不能再近了，就象孪生兄弟一样。第20页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一最小的孪生素数是 (3, 5) 在 100 以内的孪生素数还有 (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43),

9、 (59, 61) 和 (71, 73)，总计有 8 组。第21页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一 孪生素数猜想：存在无穷多个素数 p, 使得 p+2 也是素数。第22页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一 截至2002年底，人们发现的最大的孪生素数是： (332189252169690-1, 332189252169690+1)第23页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一在证明孪生素数猜想上的成果大体可以分为两类。 第一类是非估算性的结果，这一方面迄今最好的结果是一九六六年由已故的我国数学家陈景润利用筛法 所取得的。陈景润证明了

10、：存在无穷多个素数 p, 使得 p+2 要么是素数，要么是两个素数的乘积。第24页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一有无穷多个素数： 这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德在他的不朽著作几何原本里给出的。第25页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一证明（反证法）： 假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是2=a1a2ai(i=1,2n).无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无穷多个素数！第26页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一亲和数： 如果两个数a和b，a的所有真因数之和等于b,b的

11、所有真因数之和等于a,则称a,b是一对亲和数。第27页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一220和284 220的因数除去本身之外，有1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110。把这些数相加1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284。它们的和正好等于284嘛！284也一样，因数（不包含本身）有1、2、4、71、142，把这5个数加起来就是220。难道这不奇妙吗？第28页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一 又如1184和1210，它们也是一对相亲数。18世纪著名数学家欧拉，就曾经一次向大家公布了60对相亲数。第29

12、页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一 完全数: 如果一个数除去这个数本身不算外，其他所有因数的和还等于这个数，就把这个数叫做完全数。完全数是一些特殊的自然数。比如6，就是一个完全数。因为6的因数是1、2、3、6。除去6不算，1+2+3=6。这证明了6是最小的完全数。第30页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一 28、496、8128、130816、33550336.这些都是完全数。现在数学家们用电子计算机来验算，已经找到有好几万位的数值非常大的完全数。事实上，至今，人类只发现了44个完全数。第31页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期

13、一费马(Fermat):数论大师费马大定理： n2是整数，则方程xn+yn=zn没有满足xyz0的整数解。这个是不定方程，它已经由美国数学家证明了(1995年)，证明的过程是相当艰深的！第32页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一费马小定理： 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a (p-1) 1（mod p） 假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1 。第33页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一 成果：(1)全部素数可分为4n+1和4n+3两种形式。 (2)形如4n+1的素数能够，而且只能够以一种方式表为两个平方数之和。(3)没有一个形如4n+3的素数，能表示为两个平方数之和。第34页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一 (4)形如4n+1的素数能够且只能够作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边；4n+1的平方是且只能是两个这种直角三角形的斜边；类似地，4n+1的m次方是且只能是m个这种直角三角形的斜边。第35页，共38页，2022年，5月20日，13点34分，星期一(5)边长为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数。(