已知一点应力状态MPa

1、第一章201-10已知一点的应力状态ij51510MPa，试求该应力空间中0010 x2y2z1的斜截面上的正应力n和切应力n为多少？解：若平面方程为Ax+By+Cz+D=0,则方向余弦为：lA，mB，nCB2A2B2C2A2B2C2A2C2所以：l121221，m12-2222；n122222(-2)23(-2)23(-2)23Sxxlxymxzn=2001502100333Syxylymzyn=5012350315033Szxzlyzmzn=1002200331-11已知OXYZ坐标系中，物体内某点的坐标为（4，3，-12），其应力张量为：ij1004050，求出主应力，应力偏量及球张量，

2、八面体应力。203010解：J1xyz=100+50-10=140J2222yzxzxyyzxzxy=10050+50（-10）+100（-10）222-40-(-20)-30=600J33=xyz2xyyzxz22212xyzyxzzxy=-1920001=122.2,2=31.7,3=49.5m=140/3=46.78=m=46.71-12设物体内的应力场为x6xy2c1x3，y3c2xy2，xyc2y3c3x2y，2zyzzx0，试求系数c1，c2，c3。解：由应力均衡方程的：1即：63c2y23c1-c3x20（1）2c33c20（2）有（1）可知：因为x与y为随意实数且为平方，要使（

3、1）为零，必然使其系数项为零，所以，-6-3c2=0（3）3c1-c3=0（4）联立（2）、（3）和（4）式得：即：c1=1，c2=2，c3=35050801-13已知受力物体内一点应力张量为：ij50075MPa,求外法线方向余807530弦为l=m=1，n=1的斜截面上的全应力、主应力和剪应力。22解：Sxxlxymxzn=50150180150402222Syxylymzyn=50112537.52752217513012.5152Szxzlyzmzn=80222S=111.7J1=20J2=16025J3=-8062503-202-16025+806250=0方程拥有三个不相等的实根！

4、1=-138.2,2=99.6,3=58.61-14在直角坐标系中，已知物体内某点的应力张量为a)ij100-100100MPa；b)ij-1001005005000MPa；c)ij0010-10-5-10-520-1006MPa1）画出该点的应力单元体；2）求出该点的应力不变量，主应力和主方向、主剪应力、最大剪应力、八面体应力、等效应力、应力偏张量及球张量。解：a）点的应力单元体以以以下图2）2a)ij100-100100-10010MPa该点的应力不变量：J1=10MPa，J2=200MPa，J3=0MPa，主应力和主方向：2;m=0；n=21=20MPa，l=;222=-10MPa，l=

5、m=n=03=0MPa，l=2;m=0；n=2;22主剪应力=15MPa；=5MPa；=10MPa122312最大剪应力=15MPamax八面体应力8=3.3MPa；8=12.47MPa。等效应力26.45MPa应力偏张量及球张量。200-10340ij00MPa；ij320-1003点的应力单元体以以以下图100031000MPa；310003ij05005000MPa该点的应力不变量：J1=10MPa，J2=2500MPa，J3=500MPa，0010主应力和主方向：1=10MPa，l=m=n=02=50MPa，l=m=2;n=0；223=-50MPa，l=m=;n=0。2主剪应力=20M

6、Pa；=50MPa；=30MPa122312最大剪应力=30MPamax八面体应力8=3.3MPa；8=41.1MPa。等效应力87.2MPa应力偏张量及球张量。3ij105001000331010500MPa；ij00MPa；332010000033点的应力单元体以以以下图ij-10-5-10-520-1006MPa该点的应力不变量：J1=-18MPa，J2=33MPa，J3=230MPa，主应力和主方向：1=10MPa，l=m=n=02=50MPa，l=m=2;n=0；23=-50MPa，l=m=2;n=0。2主剪应力12=20MPa；23=50MPa；12=30MPa最大剪应力max=3

7、0MPa八面体应力8=-6MPa；8=9.7MPa。等效应力=20.6MPa应力偏张量及球张量。ij-16-5-10-580；ij-1001260060061-19平板在x方向均匀拉伸（图1-23），在板上每一点x=常数，试问y为多大时，等效应力为最小？并求其最小值。图1-23（题19）解：等效应力：令y(xy)2(y)2(x)2，要使等效应力最小，必然使y值最小，两边微分得：等效应力最小值：1-20在平面塑性变形条件下，塑性区一点在与x轴交成角的一个平面上，其正应力为（0），切应力为，且为最大切应力K，如图1-24所示。试画出该点的应力莫尔圆，并求出在y方向上的正应力y及切应力xy，且将yy

8、z及x、xy所在平面注明在应力莫尔圆上。图1-24（题20）解：由题意得悉塑性区一点在与x轴交成角的一个平面上的切应力为为最大切应力K，因此可以判断该平面为主剪平面，又因为切应力方向为逆时针，所以切应力为负，其地点为应力莫尔圆的最下方，该点的应力莫尔圆如图1-25所示。41-255第二章2-9设xa(x22y2);ybx2;xyaxy，此中a、b为常数，试问上述应变场在什么状况下建立？解：对xa(x22y2)求y的2次偏导，即：24a（1）xy2对ybx2求x的2次偏导，即：2y2b（2）x2对xyaxy求x和y的偏导，即：2xya（3）xy带（1）、（2）和（3）入变形协调方程（4），得：1

9、222(xy)xy（4）2y2x2xy即：a-b时上述应变场建立。2-10试判断以下应变场能否存在？（1）xxy2，yx2y，zxy，xy0，yz1z2y，xz1x222（2）xx2y2，yy2，z0，xy2xy，yzxz0（1）解：对xxy2、yx2y和zxy分别求x、y或z的2次偏导，对xyyz1z2y和xz1x2y2分别求x、y和z的2次偏导，则：222,20；（a）x2xxy2z222y2y,y0；（b）x2z220，2；（c）zz0 x2y2y2、6222xy0，yz0；xz0（d）xyxzyz将（a）、（b）、（c）和（d）代入变形协调方程（e）：1222(yz)yz（e）2z2y

10、2yz则（e）第一式不等，即：这说明应变场不存在。1(2x2y)02（2）对xx2y2、yy2和z0分别求x、y或z的2次偏导，对xy2xy和yzxz0分别求x、y和z的2次偏导，22,220；（a）xxy2z22y0,y0；（b）x2z220，2；（c）zz0 x2y2222xy2，yz0；xz0（d）xyyzxz1222则：(xy)1xy2，说明应变场不存在。2y2x2xy2-11设物体中任一点的位移重量为求点A（0.5，1，0）的应变重量、应变球张量，主应变，八面体应变、等效应变。解：xu0.1103yx将点A的x=0.5，y=1，z=0代入上式，得点A的应变重量关于点A：即：31.51

11、0-42-8.12510-102.5101302-12物体中一点应变状态为：x0.001，y0.005，z-0.0001，xy0.0008，yz0.0006，xz0.0004，试求主应变。解：由题可知：即：35.910-323.2410-61.9810-1007解方程得主应变：16.410-3，28.310-3，33.71032-13已知平面应变状态下，变形体某点的位移函数为Ux13x1y，11x1420040Uyy，试求该点的应变重量x,y,xy，并求出主应变1,2的大小与525200方向。解：ux0.015xx即：31.010-22-1.1312510-30解方程得主应变：1-0.039,

12、20.029,301532.50l3900由：32.55010-3m029010-3得：000n000解这个方程得：m1=0.5575,m2=5.16。因为m2=5.161，与方向余弦规定不符，所以，m1=0.5575才是正确解。由此得：l=0.689。即1=-0.039时，方向余弦为：l=0.689，m=0.5575，n=0。同理可求：2=0.029时，方向余弦为：l=0.8025，m=0.5966，n=0。8第三章3-6某理想塑性资料在平面应力状态下的各应力重量为x=75，y=15，z=0，xy=15（应力单位为MPa），若该应力状态足以产生服气，试问该资料的服气应力是多少？解：由由密席斯

13、服气准则：得该资料的服气应力为：3-7试证明密席斯服气准则可用主应力偏量表达为：证明：由密席斯服气准则：2222123213s即：222（1）123121323s而：322221233222123123123132333（2）21612622632612613-632622213-1231232所以：（1）式与(2）式相等。3-8试分别用密席斯和屈雷斯加服气准则判断以下应力状态能否存在？如存在，应力处于弹性仍是塑性状态？（资料为理想塑性资料）a)c)e)s00ij000，b)00s1.2s00ij00.1s0，d)000s00ij00.5s0，f)001.5s5s00ij05s0，004s0.

14、5s00ij000，000.6s00.45s0ij0.45s00000解：a)1-3=ss-0=s由屈雷斯加服气准则：得：，存在。应力处于塑性状态。由密席斯服气准则于塑性状态。12222123213s。存在。应力处b)由屈雷斯加服气准则：1-3=s得：-4s，存在。应力处于塑性状态。s+5=s由密席斯服气准则存在。应力处于塑性状态。9c)由屈雷斯加服气准则：-得：1.2，不存在。s-0=1.213=sss由密席斯服气准则不存在。d)由屈雷斯加服气准则：-得：0.5，不存在。s+0.6=1.1s13=sss由密席斯服气准则存在。应力处于弹性状态。e)由屈雷斯加服气准则：1-3=s得：-0.5s，

15、存在，应力处于塑性状态。s+1.5=s=s由密席斯服气准则存在。应力处于弹性状态。f)由屈雷斯加服气准则：max=（1-3）/2=s，存在，应力处于弹性状s/2得：max=0.45s态。由密席斯服气准则存在。应力处于弹性状态。75-1503-9已知开始塑性变形时点的应力状态为ij-15150，000试求：1）主应力大小；2）作为平面应力问题办理时的最大切应力和单轴向服气应力；3）作为空间应力状态办理时按屈雷斯加和米塞斯准则计算的单轴向服气应力。2解：因为点的应力状态为平面应力状态，由xyxyxy2得主应1,222力1和2：主应力为：1=78.54，2=11.46，3=0最大切应力：max=33

16、.542单轴向服气应力为：xy22xy67.08s2作为空间应力状态办理时按屈雷斯加准则计算：单轴向服气应力：s=13=78.54；作为空间应力状态办理时按米塞斯准则计算的单轴向服气应力：s=73.4810第四章4-5有一金属块，在x方向作用有150MPa的压应力。在Y方向作用有150MPa的压应力，z方向作用有200MPa的压应力。试求金属块的单位体积变化率3）。（设E=20710MPa，=0.3解：各方向应力为：x=y=-150MPa，z=-200MPa，则球应力为：m=-166.7MPa单位体积变化率为：即：m=-3.2210-44-6已知一点的应力状态如图4-16所示，试写出其应力偏量

17、并画出主应变简图。图4-16(题15)解：设，则：123均匀应力：1942m312353应力偏量为：4000-1000-3由列维米赛斯增量理论dijijd得：主应变简图如图示：4-7两头关闭的修长薄壁管均匀直径为r，均匀壁厚为l，承受内压力p而产生塑性变形，设管材各向同性，试计算切向、轴向及径向应变增量比及应变比。解：4-8求出以下两种状况下塑性应变增量的比：单向应力状态：纯剪力应力状态：1sss/3解：设，则：123m1123s，所以，应力偏量为：33由列维米赛斯增量理论dijijd得：塑性应变增量的比为：解：已知纯剪力应力状态：ss/3应力张量为：由列维米赛斯增量理论dijijd得：塑性应

18、变增量的比为：11第六章20#钢圆柱毛坯，原始尺寸为5050mm，室温下压缩至高度h=25mm，设接触表面摩擦切应力=0.2Y，已知Y=7460.20MPa，试求所需变形力P和单位流动压力p。解：圆柱压缩时体积不变，则当h=25mm时，R503252mm。25=0.2Y=0.27460.20=129.9MPa=max，max=K=129.9MPa因为圆柱压缩是轴对称问题，宜采纳柱座标。由题意得圆柱界面上的摩擦为0.20=0.2Y，Y=746MPa，设三个坐标方向的正应力r、和z视为主应力，且与对称轴z没关。某瞬时圆柱单元体上的应力以以下图，单元体沿径向的静力均衡方程为：sin(d/2)d/2，

19、并忽视二次微分项，则得因为轴对称条件，r=。此时均衡方程简化为dr2zdr1-1h依据米赛斯服气条件，可得近似表达式为或代入式（1-1），得所以或259.8C1erzh1-2界限条件：当rR时，r0。由近似服气条件知，此时的Z2K，代入方程式（1-2），可得或代入式（1-2），得(Rr)2Ke259.8h1-3z因为：h=25，R=252，K=129.9MPa所需变形力P为：压板上的均匀单位压力用p表示，则12P191.12MPap2R模内压缩铝块，某瞬时锤头压力为500kN，坯料尺寸为5050100mm3，假如工具润滑优秀，并将槽壁视为刚体，试计算每侧槽壁所受的压力（如图6-11）。6-11

20、（题2）解：从变形区内取一单元体作受力分析。单元体的高度为平板间的高度h，宽度为dx，长度为一个单位。假定是主应力且均匀散布，当沿x轴坐标有dx的变量是，x相应的变化量即可用微分dx来表示。y方向上的压应力用y表示。摩擦力f的方向同金属质点流动方向相反，设每侧槽壁所受的压力p，以以下图。列出单元体的微分均衡方程：hdx2fydx0服气条件为：yx2k所以，dxdy将此式代入式（2-1）整理得积分后得：lny2fxCh2fxyC1eh依据应力界限条件确立积分常数。应力界限条件为：当xb/2时，x=p。2-12-2由服气条件式，得yxb/22kp代入式（2-2）求系数C1得：所以：y2k2f(bx

21、)peh2已知锤头压力P为500kN，代入上式即可求得每侧槽壁所受的压力p。圆柱体四周作用有均布压应力，如图6-12。用主应力争镦专心P和单位流动压力。，设=mk。6-12（题3）解：圆柱压缩为轴对称问题，采纳柱座标。设三个坐标方向的正应力r、和z视为主应力，且与对称轴z没关。某瞬时圆柱单元体上的应力以以下图，单元体沿径向的静力均衡方程为：sin(d/2)d/2，并忽视二次微分项，则得因为轴对称条件，r=。此时均衡方程简化为dr2zdr3-1h依据米赛斯服气条件，可得近似表达式为或13代入式（3-1），得所以或2mkrzC1eh3-2界限条件：当rR时，。由近似服气条件知，此时的Z2K，代入方

22、r=0+0程式（3-2），可得或代入式（3-2），得2mk(Rr)hz2K0e3-3所需变形力P为：压板上的均匀单位压力用p表示，则试用主应力法求解板料拉深某瞬时凸缘变形区的应力散布。（不考虑资料加工硬化）6-14（题5）解：板料拉深某瞬时凸缘变形区受力如图6-14，为平面应力状态，设正应力r、为主应力，单元体沿径向的静力均衡方程为：令sin(d/2)d/2，并忽视二次微分项，则得drr05-1drr将服气条件=2K代入上式得r积分常数C依据凸缘的外缘处（r=R）的r=0界限条件，得积分常数凸缘变形区的应力散布为：r2KlnR/r5-2第七章7-10解：已知族是直线族，族为一族齐心圆，c点的均

23、匀应力为：mc=90MPa，最大切应力为K=60MPa。C点应力为：7-1z因为B点在族上，族是直线族，所以，所以B点应力状态和C点同样。D点在族上，族为一族齐心圆，所以由沿线性质得：即：点应力为：点的应力莫尔圆147-2z7-11试用滑移线法求圆滑平冲头压入两边为斜面的半无量高坯料时的极限载荷P(图7-36)。设冲头宽度为2b，长为l，且l2b。解：（1）确立滑移线场。设冲头的表面压力为p且均匀散布，因为平冲头圆滑，故可以为冲头与坯料之间无摩擦，所以AO地区可看作是圆滑（无摩擦）接触表面，滑移线场和确立、方向如图教材中图7-10。AB地区表面不受力，可看作是自由表面，但受AOD地区金属流动影

24、响，所以为不受力自由表面的第2种状况，滑移线场和确立、方向如图如图7-9b所示，在均匀滑移线场ADO和ABC之间必然存在简单滑移线场，由此确立出圆滑平冲头压入两边为斜面的半无量高坯料时滑移线场，如图7-3z。7-3z(2)求均匀单位压力。取一条线BCDO进行分析，因为B点在自由表面上，故其单元体只有一个压应力，由此可判断出1c=0，依据服气准则，13=2k，所以，3c=2k。而平均应力，可得mBk。mc=(1c+3c)/2已知O点在圆滑接触表面上，所以o4，其单元体上承受冲头压力和金属向两边流动的挤压力，即存在x，y作用，均为压应力，且3=y=-p，其绝对值应大于x，依据服气准则可得1=x=-

25、p+2k，均匀应力mo=-p+k(3)求角度。对线BCDO进行分析。接触面AO上的O点的夹角o为/4，在自由表面AB上的B点的夹角B为/4+。则=0-B=D-C=/4（/4+）=/2(4)求极限载荷由汉盖应力方程式得：pk(k)2k()k2即：pk极限载荷P为：P2blp2blk7-13图7-37为一中心扇形场，圆弧是线，径向直线是线，若AB线上m=-k，试求AC线上m。737（题13）解：已知直线AB是线，其上m=-k，故B点的mB=-k，AC线是线，但也是直线，直线上的m同样，求出C点的m，即获得AC线上m。C点的m可经过圆弧BC求，已知圆弧BC是线，由汉盖应力方程式即：mC(k)2k61

26、5即AC线上m为：k1mC37-14拥有尖角2的楔体，图7-38在外力P作用下插入协调角度的V型缺口，试按1）楔体与V型缺口完满圆滑和2）楔体与V型缺口完满粗拙做出滑移场，求出极限载荷。7-4z第一种状况：楔体与V型缺口完满圆滑解：（1）确立滑移线场。设冲头的表面压力为p且均匀散布，因为冲头圆滑，故可以为冲头与坯料之间无摩擦，所以AB地区可看作是无摩擦接触表面，滑移线场和确立、方向如图教材中图7-10。AE地区表面不受力，可看作是自由表面，但受ABC地区金属流动影响，所以为不受力自由表面的第二种状况，滑移线场和确立、方向如图如图7-9b所示，在均匀滑移线场ABC和ADE之间必然存在简单滑移线场

27、，由此确立出拥有尖角2的楔体在外力P作用下插入完满圆滑的V型缺口时的滑移线场，如图7-4z。(2)求均匀单位压力和角度。AB面是圆滑接触表面上，所以B/4。因为垂直于AB面的压应力大于平行于AB面的压应力，所以，可以确立平行于AB面的压应力为1，垂直于AB面的压应力为3=-p，依据服气准则，13=2k，所以，1=2k+3=2k-p，而均匀应力k-p。mB=(1+3)/2，可得mBAE面是自由表面上，故其只有一个压应力，由此可判断出1E=0，依据服气准则，可得mEk。13=2k，所以，3E=2k。而均匀应力mE=(1E+3E)/2/4。(3)求极限载荷已知BCDE线为线，由汉盖应力方程式得：pk

28、(k)2k()2k44即：p2k1极限载荷P为：P2blp/sin4blk1/sin第二种状况：楔体与V型缺口完满粗拙做出滑移场7-5z解：（1）确立滑移线场。设冲头的表面压力为p且均匀散布，因为楔体与V型缺口完满粗拙，故可以为冲头下坯料为变形刚性区。AE地区表面不受力，可看作是自由表面，但受ABC地区金属流动影响，所以为不受力自由表面的第二种状况，滑移线场和确立、方向如图如图7-9b所示，三角形ABC和ADE存在简单滑移线场，由此确立出具16有尖角2的楔体在外力P作用下插入完满粗拙的V型缺口时的滑移线场，如图7-5z。(2)求均匀单位压力和角度。1E=0，依据服气AE面是自由表面上，故其只有

29、一个压应力，由此可判断出准则，可得mEk。13=2k，所以，3E=2k。而均匀应力mE=(1E+3E)/2/4，三角形ABC是难变形区，该区内的金属遇到激烈的等值三相压应力，AC面是摩擦接触表面上，垂直于AB面的压应力大于平行于AB面的压应力作用，不发生塑性变形，忧如是冲头下边的刚性金属楔，成为冲头的一个增补部分。CD为线，C/4。因为垂直于CD面的压应力大于平行于CD面的压应力，所以，可以确立平行于CD面的压应力为1，垂直于CD面的压应力为3=-p，依据服气准则，13=2k，所以，1=2k+3=2k-p，而均匀应力mc=(1c+3c)/2，可得mc=k-p。(3)求极限载荷已知CDE线为线，

30、由汉盖应力方程式得：kp(k)2k()2k44即：p2k1极限载荷P为：P2blp/sin4blk1/sin7-15何谓滑移线？用滑移线法求解宽度为2b的窄长平面冲头压入半无量体的单位流动压力p。资料为理想刚塑性体，服气剪应力为K；拜见图7-39。解：（1）确立滑移线场。设冲头的表面压力为p且均匀散布，设冲头圆滑，故可以为冲头与坯料之间无摩擦，所以AB地区可看作是无摩擦接触表面，滑移线场和确立、方向如图教材中图7-10。BE地区表面不受力，可看作是自由表面，但受ABC地区金属流动影响，所以为不受力自由表面的第二种状况，滑移线场和确立、方向如图如图7-9b所示，在均匀滑移线场ABC和BDE之间必然存在简单滑移线场，由此确立出宽度为2b的窄长平面冲头压入半无量体的滑移线场，如图7-6z。7-6z(2)求均匀单位压力和角度。AB面是圆滑接触表面上，所以A/4。因为垂直于AB面的压应力大于平行于AB面的压应力，所以，可以确立平行于AB面的压应力为1，垂直于AB面的压应力为3=-p，依据服气准则，13=2k，所以，1=2k+3=