几何变换讲座

1、几何变换讲座第1页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 需要理解的问题我们对几何学的认识：研究平面图形的形状、大小与位置的学科从新课标对平面几何的修订中我们体会到对平面几何的知识内容做了较大的改动为什么要改？这么改的道理何在？对这个问题的理解与认识关系到我们的教学我们以前说几何变换是一种观点，处理平面几何知识的学习就要从这点出发，实际上也是要解决认识问题，可是实际上还没有真正的解决好这个问题第2页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一从平面几何研究问题的实质看问题，就会发现我们对这个问题的认识基本不到位，把平面几何看做是研究图形的形状、大小与位置的学科只是从研究图

2、形的现象出发的结论实际上平面几何研究问题的实质是：研究图形运动变换后图形的不变性质问题如果这是平面几何的实质的话，我们谈几何变换就有了实质的意义学习平面几何的目的就是想解决这个根本性问题第3页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 全等变换：是指不改变图形形状与大小的变换. 位似变换：是指不改变图形形状只改变图形大小变换. 等积变换：是指不改变图形大小或者还需要改变图形形状的变换第4页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一而在我们学习的变换中，能在图形变换后具有不变性质的变换，只有全等变换，即合同变换因此，我们把全等变换看作是基本的关系以及基本的问题，这就决定了我们

3、在学习平面几何知识时，应有意识的从这个问题出发研究问题、解决问题，帮助学生建立正确的、全面的几何观点，以便形成空间感、图形感数学教研室第5页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 已知：如图，正方形ABCD中，直线m交AB、CD于E、F点，直线n交AD、BC于G、H，m、n直交于P点. 观察、猜想EF与GH的大小关系，并证明你的结论.第6页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一我们从这个题目讲起的目的实际上是想：几何变换问题涉及到对平面几何解题的一些基本认识，先解决这些基本认识有助于我们研究后面的问题实际上我们想解决的问题是这样的，希望加强对几何图形的认识；加强对几

4、何命题的认识；加强对几何命题分析的认识；加强理解寻求解题方向以及解题方法的认识；希望加强对不同解法的存在性的认识第7页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一题目条件的解读与认识错位旋转第8页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一原 题 特殊化 一般化 数量化 运 动 分割与组合 变 化第9页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一特殊化情况结论变化原结论（）；（）面积相等；（）（）.第10页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一一般化情况满足垂直满足过中点可证四边形是矩形等第11页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一数量化情

5、况当点H是BC的中点时，AD4，设CF为x ，EM为y，求y与x之间的函数关系.第12页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一已知正方形ABCD，用两条直线把它分成四个面积相等的图形第13页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一分割与组合的情况组合分割点E是AB的中点，点F是BC的四分之一点，求证：DE平分ADF.以BC为直径作半圆，AE切半圆于点F，第14页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一运动的情况若点P沿ED向D移动，当GH与线段BC没有交点时，是否可以得到相应的结论？请说明理由.第15页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一引

6、申的情况 一个含30度角的三角板一边必过点B，直角的顶点在D边上移动，这时图形中有什么结论？若连结BN又有什么结论？第16页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一变更条件条件逻辑联接词结论弱化条件结论变化变更改变结论对命题以及命题可能变化的认识第17页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一等腰直角三角形ABC中,AB=AC,BDAE于点F(交点在三角形内部),等腰直角三角形ABC中,AB=AC,BDCD于点D(交点在三角形外部), 弱化条件的情况第18页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 变更条件第19页，共68页，2022年，5月20日，9点8分

7、，星期一 已知：如图，正方形ABCD中,E是AB上一点，FGDE于点H. 求证:FD+EG第20页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一我们对第一个问题做了必要的解读，希望大家能理解这个问题我们需要解决的是几何变换的应用问题，其中最重要的是对使用几何变换条件的分析问题，我们知道用新的观点看平面几何问题本质上就是研究图形经过运动变化后，图形的不变性质问题从这个角度看问题，我们主要想通过对一些问题的分析，逐步形成基本的、正确的分析问题的方法第21页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 已知梯形ABCD中，ADBC，CD=BC，C=60，若EAB=60， DAE=18.

8、求EBC的度数、数学教研室第22页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 梯形是组合图形，要考虑它是由哪个图形演变而来的，从条件CD=CB，C=60，可知此图是由菱形切分而来，只要还原图形关系即可、数学教研室第23页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 已知正方形ABCD中，点E、F是BC、AB的中点 求证：AG=AD第24页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一理解题意，解读暗示，确定方向，选择方法第25页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 如图，已知等边三角形ABC，我们发现经过顶点A、B、C总可以做abc如果存在一组平行线mn

9、l ，请你猜想是否可以做一个等边三角形使其三个顶点分别在m、n、l上，如果可以作出，请画出示意图并证明你的猜想第26页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 分析：我们知道已知等边三角形时，经过三个顶点是可以做一组平行线的，但是，如果把问题逆过来，解决这个问题就困难的多原因是因为已知一组平行线可以是任意的，它需要有一个切入点由于每条平行线上必须有一个顶点，故我们可以假设图形已经做出，我们选一个顶点做为切入点分析作三角形问题实际上是确定第三点问题，由于其中一个点可以确定，那么利用关系就可确定第二点第27页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 作图方法作AMn,作MA

10、N=60,过点N作CNl交于点C第28页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一作图方法 作CNl,作MCN=60第29页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 不同类图形的组合问题例如，请设计一种方法把图中的矩形ABCD拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形, 请你依据此矩形画出正方形，并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形ABCD的面积的结论第30页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 分析：由于是一个矩形面积化为正方形面积问题，因此我们就称之为不同类型图形的组合问题同时由于面积可以利用代数式表达，故我们还可以认为是代数几何综合题问题因为，矩形的

11、边长确定，因此，我们能利用的原始条件只有边对于边而言在解决这个问题中如何利用，就需要根据题意确定正方形的边长了第31页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 实际上我们只需要明白正方形的面积等于矩形的两边的积，这样就可以相互表示了第32页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 如果我们换个角度看这个问题会发现，其实这个问题就是一个面积切分后图形平移的问题在此就图形平移提几句：图形的平移相对于图形的另两种变换而言，其实是较难的原因在于平移在移动图形时一般讲是需要同时移动两个元素时才考虑的方法，因此，平移是较难认识与使用的，但是就其移动图形时的作用而言却是十分重要的第3

12、3页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 例如，在形如ABC的一块场地上有一条小路经过场地，因连续下雨小路有较长的一段被雨水淹没了由于需要测量整块土地的面积，可测得BAC=45,又测得BD=30m，CD=20m，请你帮助求这块土地的面积第34页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 因为三角形的不可测量性，因此就需要考虑求解的方法实际上我们讲这个问题就是想说一个问题，即存在45角时可以这样思考问题：由于在角的内部形成了两个角，实际上在提示我们可以利用轴对称的知识移动图形或元素，形成新的图形关系第35页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 利用这个关

13、系还原正方形第36页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 再例如，正方形ABCD中,点P是形内一点,若PAB=30,且AB=AP,问能否确定PB与PC的关系第37页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 如何利用角的关系是解决问题的关键30角可以在直角三角形形中形成可利用的关系第38页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 除此之外，由于可求ABP=75，而在这个角中含有15与60角,因此,可以形成等边三角形与正方形的组合问题第39页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 已知ABC中，AB=AC,BAC=90，点P是形内一点，且PC=

14、1，PA=2，PB=3，求APC第40页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 在这个问题中要求角的度数根据题意需要移动线段的位置，使之形成可以求解角度的图形关系，因此需要利用旋转关系第41页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 我们再举一例与之比较，从中发现一些规律已知正方形ABCD内一点，P到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长第42页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 分析：本题与我们常见的形式不同，一般讲都是在图形中存在一种图形关系求最值问题但是，不论从哪个角度认识这个问题都需要解决因三条线段位置上相关性不大移动图形的问题

15、从条件出发已知中原图形是正方形，在移动中首先考虑借助组合关系解决图形移动的问题但是，若用正方形移动，此时线段只是从形内移动到了形外，不能形成最小距离问题因此，考虑用不同图形的组合移动图形，使之可以形成三线共线问题第43页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一当C、P、E、F四点共线时，取得最小值第44页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 如图，四边形ABCD中，AB=AD，点P是形内一点，若DAB=60，且DPC=120，AC=7，求的最小值第45页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 在这个问题中，可以肯定的是所求的元素不在一个图形中，各自分散

16、在四个图形里如何沟通它们之间的关系是解决问题的关键所在但是，实际上本题所给的条件又具有明显的提示性，即给出了两个特殊的角度，因此，如何利用这两个角就成为解题的关键根据题意的提示，我们可以发现可以形成等边三角形，因此可以移动图形第46页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 由已知中的边相等以及所夹角为60，其实在暗示我们可以形成等边三角形，又由另一个角为120，根据相邻的角度为60，也可形成等边三角形，因此，可形成旋转形问题第47页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一第48页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一已知等腰直角三角形ABC中，AB=BC

17、，ABC=90，点D是形内一点，AD=BD，CD=CB，若DCB=15，确定ACB=ACD的关系第49页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一当在三角形ABC中，点D是形内一点，AD=BD，CD=CB，且CAB=2ABC，问此时是否还存在ACB=ACD的关系第50页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一在这个问题中，第一个问题是一个常见的问题，只不过本题中把一个条件和结论兑换了一下第二个问题是第一个问题的一般化的情况，但是正是这种一般化的情况，使其后求解变的较困难这时需要我们体会在这其中谁在起关键性作用本题中存在两个等腰三角形，并且这两个三角形之间没有什么关系，因此

18、，用好这两个三角形就成为解题的关键第51页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一第52页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 再例如，点D是ABC的边AC上一点，且AB=CD，BAC=60，点E是BD的中点，若AE4，能否求BC的长如果能求，请求出它的长第53页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 在这个问题中，所证的结论涉及到的两个元素分别在两个图形中，并且其中一条线段是三角形的中线但是，在命题的条件中，由两条线段相等以及有角为特殊角，因此，可能会形成特殊的图形关系，即由于线段CD在AC上没有什么实际的作用，只有以AB为起点构成与AD相等的线段关

19、系,可能就可形成新的可利用的图形关系第54页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一第55页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 相似变换问题 由于相似的知识不是建立在以平行线为依据的前提下，所以必须理解我们对知识的认识是建立在位似变换的基础之上的，即从位似化为相似，也就是说需要先从位似的角度认识问题. 从新课标的角度讲相似问题的知识只是要求为基本认识，纯推理的问题相对困难，所以我们对这部分知识的定位是以数量计算为主要对象的.第56页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 例 已知：如图，直角梯形ABCD中，点E是AB上一个动点，且有DEC=90，(1

20、)问此 图中是否存在相似形，说明理由；(2)是否存在 说明你的根据.第57页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一在这个问题中，是否存在相似形的情况需要我们把问题考虑清楚我们知道相似是以对应关系为前提的，因为在本题中只是问是否存在相似形，因此，就需要我们从对应关系的角度看问题，即ADE与BEC；或者ADE与BCE，即对应关系不同所以，得到的结论是不同的，所用到的知识也是不同的但是不能忽视的是对这个问题本身的认识没有到位而产生一些不应该出现的问题第58页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 等积变换问题 这是新课标在重视几何变换的前提下与实际问题相结合而形成的问题，

21、它主要体现在以下问题中： 图形在不改变大小的情况下的移动； 图形的分割与组合； 图形的拼接但是等积变换的问题小学学过后初中没有完整的接触过，或者说没有把这个问题作为知识对象学习过，因此，就成为一个难点问题第59页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 已知ABC中,点D是BC的中点,点E是AB的中点,若AD、CE交于点M，问四边形EBDM与AMC面积的关系、 等积变换的特点是图形发生变化，即图形可以不同类、第60页，共68页，2022年，5月20日，9点8分，星期一 例 已知：如图，矩形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的三分之一点，问阴影部分的面积与矩形面积的比值.第61页，共68页，2022年，5月20日