分段插值与最小二乘法

1、分段插值与最小二乘法第1页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一龙格现象第2页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一第3页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一分段插值第4页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一分段线性插值第5页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一分段基函数与图像第6页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一 第7页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一 第8页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一分段线性插值第9页，共78页，202

2、2年，5月20日，10点57分，星期一分段线性插值第10页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一 缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在第11页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一分段三次Hermite插值上述分段线性插值曲线是折线，光滑性差，如果交通工具用这样的外形，则势必加大摩擦系数，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。第12页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一分段三次Hermite插值第13页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一分段三次Hermite插值第14页，共78页，2022年，5月20日

3、，10点57分，星期一分段三次Hermite插值第15页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一分段三次Hermite插值第16页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一分段三次Hermite插值第17页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一分段三次Hermite插值算法第18页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一例题第19页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一例题第20页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一三次样条插值第21页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一三

4、次样条插值第22页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一三次样条插值第23页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一三次样条插值第24页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一三次样条插值第25页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一三次样条插值第26页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一三次样条插值第27页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一三次样条插值第28页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一第29页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一三次样

5、条插值第30页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一三次样条插值第31页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一三次样条插值第32页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一三次样条插值第33页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一例题例4.4.1 已知函数y=f(x)的数表如下表所示。 求满足边界条件x00.150.300.450.60f(x)10.978000.917430.831600.73529第34页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一 解 做差商表(P111),由于是等距离节点,第35页，共78页

6、，2022年，5月20日，10点57分，星期一 由第二类边界条件得第36页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一 解方程得将Mi代入式4.4.14)得第37页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一 由于 故 第38页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一45 曲线拟和的最小二乘法插值法是用多项式近似的表示函数,并要求在他们的某些点处的值相拟合.同样也可以用级数的部分和作为函数的近似表达式.无论用那种近似表达式,在实际应用中都要考虑精度,所以我们给出最佳逼近的讨论.第39页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一4.5.1 最

7、佳平方逼近定义4.5.1 设 称 为函数 在区间a,b上的内积. 其中 为区间a,b上的权函数,且满足下面两个条件:第40页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概念中四条基本性质.第41页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一内积的性质第42页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一函数的欧几里得范数定义4.5.2 设 称 为函数f(x)的欧几里得范数,或2范数.第43页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一函数的欧几里得范数性质第44页，共78页，2022年，5月20日，10点57

8、分，星期一线性相关的函数系定义4.5.3 设函数 ,如果存在一组不全为零的数 使成立,则称函数系 是线性相关的,否则称 是线性无关的.第45页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一线性相关的函数系的判定定理4.5.1 函数 在区间a,b上线性相关的充分必要条件是Gramer行列式第46页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一 不难证明 在R上线性无关.定理的等价说法是:函数系 线性无关的充分必要条件是Gramer行列式 .第47页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一最佳平方逼近定义4.5.4 设函数 及函数系 且线性无关.记 为连续函数空

9、Ca,b的子空间,如果存在元素 满足第48页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一 则称 为f(x)在 上的最佳平方逼近函数.且其中 是法方程唯一的一组解.第49页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一 令 则误差为第50页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一特例取则法方程为其中第51页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一例题例4.5.1 设 求f(x)在区间0,1上的一次最佳平方逼近多项式.解 设 由于第52页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一 故法方程为解得第53页，共78页，2022年，5月

10、20日，10点57分，星期一 平方误差为第54页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一4.5.2 对离散数据的曲线拟合最小二乘法曲线拟合问题 对于f(x)插值问题,要想提高精度,就要增加节点,因此多项式的次数也就太高,计算量过大,而节点少,多项式的次数低,但误差精度不能保证,为了消除误差干扰,取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示f(x),这就是曲线拟合问题.第55页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一 在科学实验中,得到函数y=f(x)的一组实验数据: ,求曲线 与实验数据误差在某种度量意义下最小.第56页，共78页，2022年，5月20日，1

11、0点57分，星期一 设 是a,b上一组线性无关的连续函数系,令记误差 .为寻求 我们常以误差 加权平方和最小为度量标准,即第57页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一 达到极小值,这里 是a,b上的权函数.类似前述最佳平方逼近方法,有多元函数极值必要条件有第58页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一 用向量内积形式表示,上式可记 上式为求 的法方程组,其矩阵的形式为第59页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一 其中由于向量组 是线性无关,故式(4.5.14)的系数行列式 第60页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一

12、 故式(4.5.14)存在唯一解 ,于是得到函数f(x)的最小二乘解其平方误差为第61页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一特例第62页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一例题例4.5.2 设函数y=f(x)的离散数据如下表所示 试用二次多项式拟和上述数据,并求平方误差.01234500.20.40.60.811.0001.2211.4921.8222.2262.718第63页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一 解 由式(4.5.16)可得解方程组得所以拟合二次函数为第64页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一

13、平方误差为第65页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一 例4.5.3 地球温室效应问题下表统计了近100年内地球大气气温上升的数据.试根据表中数据建立一数学模型即拟和曲线,并根据这一模型,预报地球气温何年会比1860年的平均温度高第66页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一 年份N1860年后地球气温增加值年份N1860年后地球气温增加值18800.0119400.1018900.0219500.1319000.0319600.1819100.0419700.2419200.0619800.3219300.08第67页，共78页，2022年，5月20日，

14、10点57分，星期一 解 为简化数据,从1880年起年份记N,其变换n=(N-1870)/10.将地球气温增加值改记为t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是将原气温增加值扩大100倍,根据新数据绘制图4.5.1 (P119)第68页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一 从图4.5.1可以看出,气温t与变换n大致服从指数函数增长过程,因此,可以假设t与n满足指数函数关系为决定参数,将上式改写成第69页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一 记 则有这是已知数据相应地变为如下表所示n1234567891011ln1ln2ln3ln4l

15、n6ln8ln10ln13ln19ln24ln32第70页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一 由式(4.5.16),取n=1,m=10,并将上表已知数据带入得解方程组得:第71页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一 相应的t 与 n 的指数型拟合曲线关系为就是所求地球温室效应的指数函数的数学模型,以此进行预报,即已知t值求第72页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一 以地球气温比1860年上升 为例,即以t=700代入上式可得: N(7)=2078(年)第73页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一4.5.3 矛盾方程组的最小二乘解设矛盾方程组这里mn,记第74页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一 则上式可简记为Ax=b.矛盾方程组的最小二乘解x*是指满足第75页，共78页，2022年，5月20日，10点57分，星期一 引理 设 则B为半正定对称方阵,当R(A)=n,则B是正定对称方