利用曲面积分和体积分计算转动惯量

1、利用曲面积分和体积分计算转动惯量第1页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一均匀圆盘（转轴垂直盘面过圆心）第2页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一两边进行积分第3页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一均匀圆环(转轴垂直环面过圆心)第4页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一两边进行积分第5页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一可以看到：均匀圆环的转动惯量与均匀圆环的不同之处仅仅在于积分上下限的不同第6页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一均匀圆盘（直径为转轴）第7页，共33页，

2、2022年，5月20日，13点54分，星期一两边进行积分第8页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一第9页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一均匀圆环（直径为转轴）第10页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一两边进行积分第11页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一第12页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一均匀薄球壳（曲面积分）第13页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一两边进行积分第14页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一第15页，共33页，2022年，

3、5月20日，13点54分，星期一由于质量的面密度仅仅在薄球壳时才有意义，所以对于厚球壳不能用上面的方法进行计算。第16页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一均匀球体（体积分）对于均匀球体，我们有两种取微元的办法：一、把球体沿垂直直径的方向切成薄片，再将薄片沿径向和横向切分为微小质量元。第17页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一第18页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一两边进行积分第19页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一第20页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一第一种方法的实质是在柱坐标

4、系下对球体求体积分第21页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一二、把球体剥离成为一层一层的薄球壳，再把球壳沿纬线平面平面和经线面切分为质量微元。第22页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一第23页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一两边进行积分第24页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一第25页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一第二种方法的实质是在球坐标系下对球体求体积分。另外，我们还可以在笛卡尔坐标系下求体积分，但是在笛卡尔坐标系下对球体求体积分计算非常麻烦。示例（以z轴为转轴）第26页，共

5、33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一对于均匀的厚球壳，我们也可以采取类似第二种求均匀球体转动惯量的方法。两者的不同之处仅仅在于积分上下限的选取。可以看到体积分转化为三重积分后的形式非常复杂，难以计算。第27页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一第28页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一两边进行积分第29页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一第30页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一第31页，共33页，2022年，5月20日，13点54分，星期一但是我们可以用求极限的办法得到薄球壳的转动惯量计算公式。第3