两角和与差的三角函数公式的证明

1、-可编辑修改-两角和与差的三角函数公式的证明三角函数数学两角和与差单位圆托勒密定理利用单位圆方法证明sin(a+B)二与cos(a+B)二，是进一步证明大部分三角函数公式的基础。1、sin(a+B)二sinacosB+cosasin3在笛卡尔坐标系中以原点O为圆心作单位圆，在单位圆中作以下线段：如图中所示，容易看出：sin(a+B)二CF；sina二AB；cosa=OB；sinB二CD；cosB=OD则：=鈕（0+0）v:vs门HEE3=xOBxCDSCSB”=cosczsin0-5：4SAEOAD+EDI=卜06血+；磁”=Xcos/?Xsilltz+Qmq+j于是=(-xcosaxsin-

2、i)+(|xco3xsiiiaf-biJ爲沁=G到了这里.我们算来看看故近和氏贬有怎样的捷系：+容劇看出，Sbd=S.abc=AS-QAD+OCB+、注AEE)中朋=i1AD=-1-siii(90:-(Z+/?)=t-cos：(tz+0)Sa0CSD二OCxOD二cosa疋cosp2,cos(if+=cosacos-smcrsin在雷卡尔坐标系中歐廉点o为圆匕柞单惶圆.在单惶圆中柞歐下线段如国中所示.容晶看出cos(作半B)=cosucos3-sinasinB迁辺=xODxAD=sm0cos戸-xQCxCD=cosorsina人COS（+/）=COSaCG/?-ijilltfriilJ/j至于

3、沢=-x(ED-AD)x(EC-BC)2=(cosa-sin/5)(cos0gin)=(.cosacossinarcosor-smcos戸+乱门esinQ总结以上式孑.可帚尸co(z+0)=cosa+-cogzsinasilldc饷oJ由ii0?o詁0+sincoeg-0）=cosacosinasinp,只要将沁肚-越中的换成一小即可.，至于還否可臥用几何方式束证明.我百思未呆、不知有没有人能够用几何方式证明它勺丄玉至于狂切.余切的公贰就更容易了.只要用1E聽、余弦互相除就可以了円平面几何的证明方法：如图所示，过程见下面的【评论】中新浪网友的提示（非常感谢这位网友的提示，让我们看到了证明一个定

4、理的多种途径，真是妙不可言！）cBAD附：如何证明托勒密定理？见 HYPERLINK /69610635.html /69610635.html HYPERLINK /b/2459822.html /b/2459822.html托勒密（Ptolemy）定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。原文：圆内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质（具体的推导方法详见数学目录下的博文，来自网友的提供！）思路：托勒密定理在平面几何中赫

5、赫有名，其难点在于：把一条对角线分割成两条线段DE和BE。第一步证明一对旋转的三角形相似：ABEsACD；第二步还需要证一对旋转的三角形相似厶ADEsACB；只有这两对相似的三角形出来了才能得到结论。证明：以AB为边，作一个角等于已知角：即ZBAE=ZDAC；在ABE和ACD中，zbae=zdac；zabe=zacd；ABEsAACD；abdc=beaczbae=zdac；zdae=zcab；在ade和acb中，zade=zacb；ZDAE二ZCAB；ADEsACB；ADBC=DEAC+得：ABDC+ADBC=BEAC+DEAC=(BE+DE)AC=BDAC。结论：该命题对于圆内接的任意四边形都成立。最初是由数学家托勒密想出来的叫做托勒密定理。“当你遇到ABDC+ADBC=ACBD这样的等积式时，如果等式左边可以合二为一，则考虑证一对三角形相似，否则，