必修五基本不等式教案

1、4根本不等式第1课时授课类型：新授课【教学目的】.学问及技能：学会推导并驾驭根本不等式，理解这个根本不等式的几何意义，并驾驭定 理中的不等号“2”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2.过程及方法：通过实例探究抽象根本不等式；.情态及价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，进步学习数学的爱好【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探究不等式的证明过程；【教学难点】根本不等式等号成立条件【教学过程】.课题导入根本不等式的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是依据中国古代数学 家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热忱好客。

2、你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？老师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。.讲授新课.探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为4+尸。这样，4个直角三角形的面积的 和是2ab,正方形的面积为由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们 就得到了一个不等式：a2+b22ab.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a二b时，正方形EFGII缩为一个点，这时有 a2 +b2 = 2ab 。.得到结论：一般的，假如。)尺那么/+/72 22a优当且仅当。=人时取=”号).思索证明：你

3、能给出它的证明吗？证明：因为 a1 +b2 - 2ab = (a-b)2当a w 弼 (a-5)2 0,当a =胡寸,(a-Z?)2 =0,所以，(a 匕尸。，+b2)2ab. 1)从几何图形的面积关系相识根本不等式特殊的，假如a0,b0,我们用分别代替a、b ,可得a + bN2M通常我们把上式写作：2）从不等式的性质推导根本不等式 用分析法证明：要证 只要证a+b _(1)(2)要证（2）,只要证a+b-_0(3)要证（3）,明显，（4）只要证（-是成立的。当且仅当a=b时，（4）-）2中的等号成立。(4)3）理解根本不等式的几何意义探究：课本第110页的“探究”在右图中，AB是圆的直径，

4、点C是AB上的一点，AC=a, BC=bo过点C作垂直于AB的弦DE, 连接AI）、BDo你能利用这个图形得出根本不等式的几何说明吗？易证 Rt丛ACD Rt丛DCB,那么。4= C4 CB 即 CD= 4ab .这个圆的半径为，明显，它大于或等于切，即，其中当且仅当点。及圆心重合，即a=6时, 等号成立.因此：根本不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.假如把看作是正数a b的等差中项，而看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以表达为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称为小。的算术平均数，称疝为a、6的几何平均数,本节定理还可表达为：两个正数的算术平均数不小于

5、它们的几何平均数.补充例题，2；（2） （x+y） （/+/） 分析：在运用定理：时, 成立的条件），进展变形.，2；（2） （x+y） （/+/） 分析：在运用定理：时, 成立的条件），进展变形.解：x, y都是正数例1x、y都是正数，求证：（y+y ）8 x y.留意条件以6均为正数，结合不等式的性质（把握好每条性质A 0,yA 0,y0, /0, y0, 70, y0 x(1)=2即22.00：.(x+y) (/+y)(/+/)（/+/）求证即（x+y） （/+y）3.随堂练习1 .a、b、。都是正数,(d+ 6) (6+ c) (c+ a) 2 8 abc分析：对于此类题目，选择定理：

6、0, 60)敏捷变形，可求得结果. 解：& b,。都是正数b+c22疝0(h+6) (6+。) (c+a) 22 2ybc 2 yac = 8 abc即(a+b) (b+c) (c+a)8 abc.课时小结本节课，我们学习了重要不等式才+922助；两正数a、b的算术平均数(),几何平 均数(而)及它们的关系(2而).它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数, 而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的根本工具,又是求函数最值的重要工具(下 一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：abW, abO 2.评价设计课本第113页习题A组的第1题课题：3.4根本不

7、等式第2课时授课类型：新授课【教学目的】.学问及技能：进一步驾驭根本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；可以解决一 些简洁的实际问题.过程及方法：通过两个例题的探讨，进一步驾驭根本不等式，并会用此定理求某些函数 的最大、最小值。3,情态及价值：引发学生学习和运用数学学问的爱好，开展创新精神，培育实事求是、理 论及实际相结合的科学看法和科学道德。【教学重点】根本不等式的应用【教学难点】利用根本不等式求最大值、最小值。【教学过程】L课题导入.重要不等式：假如G R那么/ +/72 2(当且仅当Q = 时取1号).根本不等式：假如a,b是正数，那么巴a2 G(当且仅当。=阴寸取号).2.我们称的

8、算术平均数，称J茄为。力的几何平均数.，2 +b2 2 24b和3士2石成立的条件是不同的：前者只要求a, b都是实数，而后者2要求a, b都是正数。2.讲授新课例1 (1)用篱笆围成一个面积为lOOn?的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？(2)段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少 时，菜园的面积最大，最大面积是多少解：(1)设矩形菜园的长为xm,宽为ym,那么xy=100,篱笆的长为2 (x+y) mo由， 可得 x+ y 2 2/100 , 2(x + j/) 40 o等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.

9、 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.(2)解法一：设矩形菜园的宽为x m,那么长为(36 2x) m,其中0VxL,其 2面积 S=x(362x) = 9 2x (36 2%)22当且仅当2x=362,即x=9时菜园面积最大，即菜园长9m,宽为9 m时菜园面积最 大为81 m2解法二：设矩形菜园的长为x m,宽为y m，那么2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为xy m2 0由,可得 240000 + 720 x 2x-= 240000 + 720 x 2 x 40 = 297600当X =图2，即X = 40时，/有最小值297600Q因此

10、，当水池的底面是边长为40nl的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600 元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应留意数学语言的应用即函数解析式的建立, 又是不等式性质在求最值中的应用，应留意不等式性质的适用条件。归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进展：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.3.随堂练习Q 1.xWO,当x取什么值时，的值最小最小值是多少 x.课本第113页的练习1、2、3、4.课时

11、小结本节课我们用两个正数的算术平均数及几何平均数的关系顺当解决了函数的一些最值 问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在详细求解时，应留意考 察以下三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项 的和或积必需有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，获得最值.即用均 值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。.评价设计课本第113页习题A组的第2、4题课题：3. 4根本不等式第3课时授课类型：习题课【教学目的】.学问及技能：进一步驾驭根本不等式；会用此不等式证明不等式，会应用此不等式求某些 函数的最值,可以解

12、决一些简洁的实际问题；.过程及方法：通过例题的探讨，进一步驾驭根本不等式，并会用此定理求某些函数的最 大、最小值。.情态及价值：引发学生学习和运用数学学问的爱好，开展创新精神，培育实事求是、理 论及实际相结合的科学看法和科学道德。【教学重点】驾驭根本不等式，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值【教学难点】利用此不等式求函数的最大、最小值。【教学过程】1.课题导入.根本不等式：假如a, b是正数，那么幺心 之 旅（当且仅当二人时取一号）.2.用根本不等式求最大（小）值的步骤。.讲授新课1）利用根本不等式证明不等式例1m0,求证。24思维切入因为m0,所以可把一和6根分别看作根本不

13、等式中的a和b,干脆利用根本不 m等式。证明因为m0,由根本不等式得24（24/F 6m 2x x 6m = 2424x6 = 2x 12 = 24mv m24当且仅当一二6加，即m=2时 取等号。m规律技巧总结 留意：m0这一前提条件和二144为定值的前提条件。.随堂练习1思维拓展1a, b, c, d都是正数，求证（ab + cd）（c + bd） 2 4必.思维拓展2求证（/ +）（/ +屋）/7d广例2求证:.思维切入由于不等式左边含有字母a,右边无字母,干脆运用根本不等式,无法约掉字母 TOC o 1-5 h z 4a,而左边 + = + （-3） + 3.这样变形后,在用根本不等式即可得证.CL 3Q 3证明+ 3 = + （ 3） + 3 2 2（。3）+3 = 2 + 3 = 76/ - 3 3V。 34当且仅当二a-3即a=5时，等号成立.CL 3规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成根本不等式的形式.2）利用不等式求最值例3 （1）假设x0,求的最小值;(2)假设x0,求的最大值.思维切入此题(l)xO和二36两个前提条件；中x0由根本不等式得 小)= +m2小+色2衣=12,当且仅当即、=|