高中数学必修二 8.6 空间直线、平面的垂直（精炼）（含答案）

1、8.6 空间直线、平面的垂直（1）（精炼）【题组一 线面垂直】1（2021海原县第一中学高一期末）如图，已知O所在平面，AB为O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作于E求证：平面PBC【答案】证明见解析.【解析】证明：由AB是O的直径，得.又O所在平面O所在平面内所以，又，所以面PAC，面PAC.所以，又，所以平面PBC2（2021全国高一课时练习）如图，在正方体中，E为的中点，.求证：（1）平面；（2）平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）在正方体中，平面，平面，平面；（2）连接，在正方体中，且，四边形是平行四边形，且，分别为中点，四边形是平行四边形，平面，平面，平面

2、.3（2020全国高一课时练习）如图所示，在正方体中，点为底面的中心，点为的中点，求证：平面【答案】证明见解析.【解析】证明：在正方形中，平面，平面，可得，而，可得平面，而平面，则，在直角三角形和直角三角形中，即，即，又，而，则平面4（2020全国高一课时练习）如图所示，在四面体中，棱，其余各棱长都为1，为的中点求证：（1）平面；（2）平面【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）由已知可得，为的中点所以，又，所以平面（2）由，其余各棱长都为1，可得，由为的中点可得，因为，所以，所以，又，所以平面5（2020全国高一课时练习）如图，已知正方体（1）直线与平面是否垂直？为什

3、么？（2）直线与平面是否垂直？为什么？（3）直线与平面是否垂直？为什么？（4）直线与平面是否垂直？为什么？【答案】（1）垂直，证明见解析；（2）垂直，证明见解析；（3）不垂直，证明见解析；（4）垂直，证明见解析【解析】（1）垂直，因为，且，平面，平面所以平面；（2）垂直，因为，且，平面，平面；所以平面；（3）不垂直，因为与不垂直，所以与平面不垂直；（4）垂直，因为，且，平面，平面所以平面6（2020全国高一课时练习）已知四棱锥中，底面是直角梯形，侧面是正三角形且垂直于面，是中点.（1）求证：面；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）取的中点，连接、，

4、是中点，四边形是平行四边形，又平面，平面，面.（2）面面，面面，面，平面，等边三角形，为的中点，又，、平面，平面，平面.【题组二 线线垂直】1（2020陕西西安市西安一中高一月考）如图1，四棱锥的底面是正方形，PD垂直于底面ABCD，M是PC的中点，已知四棱锥的侧视图，如图2所示.（1）证明：；（2）求棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】解：（1）由侧视图可知，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又因为ABCD是正方形，所以.而，PD，平面PCD，所以平面PCD.因为平面PCD，所以.又是等腰三角形，M是PC的中点，所以，而，PC，平面PBC，所以平面PBC，而平面PBC，

5、所以.2（2020陕西西安市高一期末）如图，在四棱锥中，底面，是的中点证明：（）；（）平面【答案】（）详见解析；（）详见解析.【解析】（）因为底面，底面，所以，又，所以平面，又平面所以；（）因为，是的中点，所以，又，所以平面，又平面，所以,又因为，且，所以平面，又平面，所以，又，所以平面3（2021陕西商洛市高一期末）如图，在三棱柱中，平面，为棱的中点.（1）证明：.（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：如图，取的中点，连接，.因为平面，所以三棱柱为直三棱柱.因为，为棱的中点，所以.所以.因为，所以，所以.因为为的中点，所以.又，所以平面.因为平面，所以

6、.（2）解：在三棱锥中，.因为平面，且，所以三棱锥的体积为.设点到平面的距离为，则.因为，所以.所以，即点到平面的距离为.4（2020全国高一单元测试）已知直三棱柱中，是中点，是的中点.（1）求证：；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1），为等腰三角形为中点，为直棱柱，平面平面，平面平面，平面，平面，.（2）取中点，连结，分别为，的中点，平面平面，平面平面.【题组三 面面垂直】1（2021全国高一课时练习）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是半圆弧CD上异于C，D的点.（1）证明：平面平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使

7、得平面PBD？说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析.【解析】证明：（1）由题意可知，平面平面CDM，又平面平面，平面ABCD，平面CDM，又平面CDM，又由圆的性质知，平面AMD，平面AMD，平面AMD，平面BMC，平面平面；（2）存在点P，当点P为线段AM的中点时，平面PBD.理由如下：连接DB与AC交于点O，则O为AC的中点，连接PO，则PO是三角形AMC的中位线，平面PBD，平面PBD，平面PBD.2（2021全国高一课时练习）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，E为的中点（1）证明：平面；（2）设，四棱锥的体积为1，求证：平面平面【答案】（1）证明见解析；（2）证明

8、见解析.【解析】（1）连接交于点O，连结,因为为矩形，所以O为的中点,又E为的中点，所以,平面，平面，所以平面.（2）因为,所以，所以底面为正方形，所以，因为，所以，且，所以平面，又平面，所以平面平面.3（2021陕西商洛市高一期末）在如图所示的几何体中，四边形为直角梯形，.（1）证明：平面平面.（2）若，分别是，的中点，证明：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）在直角梯形中，则.因为，所以.因为，所以平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）取的中点，连接，.因为，分别为，的中点，所以,又平面，平面，平面，同理平面，因为，所以平面平面，又平面OPQ，所以平面.

9、4（2020全国高一单元测试）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点（1）证明：平面平面；（2）若点是线段的中点，求证：平面【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）因为矩形所在平面与半圆弦所在平面垂直，面面，面，所以半圆弦所在平面，且半圆弦所在平面，所以；又是上异于，的点，所以；又，所以平面；又平面，所以平面平面；（2）由是的中点，连接交于点，连接，如图所示：由中位线定理得；又平面，平面，所以平面5（2020西安市华山中学高一月考）如图，在三棱柱中，底面，是的中点，求证：平面平面.【答案】证明见解析【解析】连接，交于点，三棱柱中，四边形是矩形，是的中点，

10、取的中点，连接，则，四边形是平行四边形，又，底面，底面，又，平面，平面，平面，平面平面.6（2021全国高一）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是 上异于，的点.证明：平面平面.【答案】证明见解析【解析】由题设知，平面平面，交线为.因为，平面，所以平面，故.因为为上异于，的点，且为直径，所以.又=，所以平面.而平面，故平面平面.7（2020新疆巴音郭楞蒙古自治州高一期末）如图，在三棱锥P-ABC中，平面ABC且，D、E分别为PC、AC的中点.（1）求证：平面BDE；（2）求证：平面平面PAC.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）D、E分别为PC、AC的

11、中点，平面BDE，平面BDE，平面BDE（2）在三棱锥P-ABC中，平面ABC，D、E分别为PC、AC的中点，平面PAC平面ABC，平面BDE平面PAC【题组四 空间距离】1（2021全国高一课时练习）正方体的棱长为1，则点到平面的距离为（ ）ABCD【答案】D【解析】设点到平面的距离为是,如图，易知,因为所以，由，所以，解得：故选：D2（2020全国高一课时练习）在长方体中，M，N分别为，AB的中点，则MN与平面的距离为（ ）A4BC2D【答案】C【解析】如图，,又平面，平面.MN与平面的距离为N到面的距离.又N到平面的距离为.MN与平面的距离为2.故选：C3（2020天津师范大学附属实验中

12、学高二月考）长方体中，那么直线和平面的距离是_【答案】【解析】直线平面，直线和平面的距离即为点和平面的距离.面面，在面内过作的垂线，即为面的垂线，也就是直角三角形斜边上的高d，由面积法得：.故答案为：.4（2020上海高三专题练习）平面，点，点，如果，且，在内射影长分别为5和9，则平面与间的距离为_【答案】12【解析】如图，由题意可知， ，设 ，则 ，解得：， 平面与平面间的距离 故答案为：125（2020全国高一课时练习）在长方体中，E，F，G，H分别为，的中点，则平面ABCD与平面EFGH的距离为_.【答案】2【解析】如图平面A BCD平面EFGH又平面.平面ABCD与平面EFGH的距离为

13、.故答案为：26（2020全国高二课时练习）如图，在长方体中，设，则点B到面的距离为_，直线AC与面的距离为_，面与面的距离为_.【答案】3 1 2 【解析】在长方体中，面,所以点B到面的距离为 即点B到面的距离为3.面,则直线上任意一点到面的距离相等。由面, 所以点到面的距离为所以直线AC与面的距离为1.面与面平行，且与面、面都垂直所以线段为面与面的距离故面与面的距离2.7（2019上海大学附属中学）已知正方体的棱长为1，则平面和平面的距离为_.【答案】1【解析】因为正方体的对面互相平行，AB均于平面和平面垂直，故AB为平面和平面的距离，即为1故答案为：18（2020山东济宁市高一期末）如图，在棱长为2的正方体中，