高中数学必修二 10.1 随机事件与概率（精讲）（含答案）

1、10.1 随机事件与概率（精讲）思维导图常见考法考法一 有限样本空间与随机事件【例1-1】（2021全国高一）给出下列四个命题：“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；“当x为某一实数时，可使x20”是不可能事件；“明天天津市要下雨”是必然事件；“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件其中正确命题的个数是（ ）A0B1C2D3【答案】C【解析】对于，三个球全部放入两个盒子，有两种情况：1+2和3+0，故必有一个盒子有一个以上的球，所以该事件是必然事件，正确；对于，x=0时x2=0，所以该事件不是不可能事件，错误；对于，“明天天津市要下

2、雨”是偶然事件，所以该事件是随机事件，错误；对于，“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”，发生与否是随机的，所以该事件是随机事件，正确故正确命题有2个.故选：C【例1-2】（2020全国高一）袋子中有4个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，从中随机摸出一个球，记录球的编号，先后摸两次.（1）若第一次摸出的球不放回，写出试验的样本空间；（2）若第一次摸出的球放回，写出试验的样本空间.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】m表示第一次摸出球的编号，用n表示第二次摸出球的编号，则样本点可用，表示.（1）若第一次摸出的球不放回，则，此时的样本空间可表示为，共有12个样

3、本点.（2）若第一次摸出的球放回，则m，n可以相同.此时试验的样本空间可表示为，共有16个样本点.【一隅三反】1（2021全国高一课时练习）下列事件中，随机事件的个数为（ ）连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上；13个人中至少有两个人生肖相同；某人买彩票中奖；在标准大气压下，水加热到90会沸腾.A1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】抛掷一枚骰子，每一面出现都是随机的，所以是随机事件；一年只有12生肖，所以13个人中至少有两个人生肖相同是必然事件，所以是必然事件；购买彩票号码是随机的，某人买彩票中奖也是随机的，所以是随机事件；在标准大气压下，水加热到100才会沸腾.故是不可能事件故选：B

4、2（多选）（2020全国高一单元测试）下列事件中，是随机事件的是（ ）A年月日，北京市不下雨B在标准大气压下，水在时结冰C从标有，的张号签中任取一张，恰为号签D若，则【答案】AC【解析】A选项与C选项为随机事件，B为不可能事件，D为必然事件故选：AC3（2020全国高一课时练习）写出下列各随机试验的样本空间：（1）采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；（2）采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO血型；（3）随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；（4）射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；（5）射击靶3次，观察中靶的次数.【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）

5、详见解析（4）详见解析（5）详见解析【解析】解：（1）一名同学的性别有两种可能结果：男或女.故该试验的样本室间可以表示为男，女；（2）一名同学的血型有四种可能结果：A型、B型、AB型、O型.故该试验的样本空间可表示为；（3）每个小孩的性别有男或女两种可能，两个小孩的性别情况有四种可能，故该试验的样本空间可表示为（男、男），（男，女），（女，男），（女，女）；（4）每次射击有中靶或脱靶两种可能，射击3次有八种可能，用1表示中靶，用0表示脱靶，该试验的样本空间可表示为；（5）射击3次，中靶的次数可能是0，1，2，3，故该试验的样本空间可以表示为.4（2021全国高一）写出下列试验的样本空间：（1）

6、设袋中装有4个白球和6个黑球，从中不放回逐个取出，直到白球全部取出为止，记录取球的次数；（2）甲、乙、丙三位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的顺序，记录抽签的结果.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）从中不放回逐个取出，直到白球全部取出为止，则取球次数为；（2）由抽签确定演讲的顺序，抽签的结果即样本空间可表示为（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲）.考法二 事件的关系与运算【例2-1】（2020全国高一课时练习）盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球.设事件“1个红球和2个白球”，事件“2个红球和1个白球”，事件“至

7、少有1个红球”，事件“既有红球又有白球”，则：（1）事件与事件是什么关系？（2）事件与事件的交事件与事件是什么关系？【答案】（1）.（2）事件与事件的交事件与事件相等.【解析】（1）对于事件,可能的结果为1个红球和2个白球或2个红球和1个白球,故.（2）对于事件,可能的结果为1个红球和2个白球,2个红球和1个白球或3个红球,故,所以事件与事件的交事件与事件相等.【例2-2】（2021全国高一）掷一枚骰子，给出下列事件：“出现奇数点”，“出现偶数点”，“出现的点数小于3”.求：（1），；（2），.【答案】（1），“出现2点”.（2）“出现1，2，3，4，5或6点”，“出现1，2，4或6点”.【解

8、析】由题意知：“出现奇数点”，“出现偶数点”，“出现的点数小于3”，（1），出现2点”；（2）“出现1，2，3，4，5或6点”，“出现1，2，4或6点”.【一隅三反】1（2020全国高一课时练习）用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色.设事件“三个圆的颜色全不相同”，事件“三个圆的颜色不全相同”，事件“其中两个圆的颜色相同”，事件“三个圆的颜色全相同”.（1）写出试验的样本空间.（2）用集合的形式表示事件.（3）事件与事件有什么关系？事件和的交事件与事件有什么关系？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）事件包含事件，事件和的交事件与事件互斥.见

9、解析【解析】(1)由题意可知3个球可能颜色一样,可能有2个一样,另1个异色,或者三个球都异色.则试验的样本空间（红,红,红）,（黄,黄,黄）,（蓝,蓝,蓝）,（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）.(2)（红,黄,蓝）（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）.（红,红,红）,（黄,黄,黄）,（蓝,蓝,蓝）.(3)由(2)可知事件包含事件,事件和的交事件与事件互斥

10、.2（2021全国高一）记某射手一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环分别为事件，指出下列事件的含义：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）射中10环或9环或8环.（2）射中9环.（3）射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.【解析】（1）=射中10环，=射中9环，=射中8环，射中10环或9环或8环.（2）=射中8环，射中环数不是8环，则射中9环.（3）射中9环或8环或7环，则射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.3（2021全国高一）在试验“甲、乙、丙三人各射击1次，观察中靶的情况”中，事件A表示随机事件“甲中靶”，事件B表示随机事件“乙中靶”，事件C表示

11、随机事件“丙中靶”，试用A，B，C的运算表示下列随机事件：（1）甲未中靶；（2）甲中靶而乙未中靶；（3）三人中只有丙未中靶；（4）三人中至少有一人中靶；（5）三人中恰有两人中靶.【答案】（1）（2）（3）（4）（5）【解析】（1）甲未中靶：.（2）甲中靶而乙未中靶：,即.（3）三人中只有丙未中靶：,即.（4）三人中至少有一人中靶.（5）三人中恰有两人中靶.考法三 互斥与对立【例3】（多选）（2020全国高一课时练习）袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（ ）A至少有一个白球与都是白球B恰有一个红球与白、黑球各一个C至少一个白球与至多有一个红球D至少有一个红球与两

12、个白球【答案】BD【解析】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；故选：BD.【一隅三反】1（多选）（2020全国高一课时练习）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）A事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件B事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件C事件

13、“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件D事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件【答案】BD【解析】对于A，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A错误对于B，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B正确对于C，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C错误对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D正确故选：BD2（多选）（2020全国高一课时练习）下面结论正确的是（ ）A若，则事件A与B是互为对立事件B若

14、，则事件A与B是相互独立事件C若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件D若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件【答案】BD【解析】对于A选项，要使为对立事件，除还需满足，也即不能同时发生，所以A选项错误.对于C选项，包含于，所以与不是互斥事件，所以C选项错误.对于B选项，根据相互独立事件的知识可知，B选项正确.对于D选项，根据相互独立事件的知识可知，D选项正确.故选：BD3（2020全国高一课时练习）在试验E“连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数”中，事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j，事件B表示随机事件“

15、2次掷出的点数之和为6”，事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，（1）试用样本点表示事件与；（2）试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件；（3）试用事件表示随机事件A.【答案】（1）详见解析（2）事件A与事件B，事件A与事件C不是互斥事件，事件B与事件C是互斥事件.（3）【解析】由题意可知试验E的样本空间为,.（1）因为事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”,所以满足条件的样本点有,即.因为事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”,所以满足条件的样本点有,即.所以,.（2）因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”,所以.因为,所以事件A与事件B,

16、事件A与事件C不是互斥事件,事件B与事件C是互斥事件.（3）因为事件表示随机事件“第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数为”,所以,所以.考法四 古典概型【例4】（2020全国高一课时练习）在一次语文考试的阅卷过程中，两位老师对一篇作文打出的分数都是两位的正整数，且十位数字都是，则两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于的概率为（ ）ABCD【答案】C【解析】用表示两位老师的打分，则的所有可能情况有种.当时，可取，共种；当，时，的取值均有种；当时，可取，共种；综上可得两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于的情况有种，由古典概型的概率公式可得所求概率故选：C.【一隅三反】1（2020全国高一课

17、时练习）从数字1，2，3，4中任取两个数，则这两个数中其中一个数为另一个数的整数倍的概率为（ ）ABCD【答案】D【解析】基本事件为共6个，其中符合条件的基本事件为共4个，所求概率为.故选：D2（2021全国高一）把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为（ ）ABCD【答案】B【解析】分三类情况，第一类1，2连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，有6种分法；第二类2，3连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，有6种分法；第三类3，4连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，有6种分法；共有18种

18、分法，则2，3连号的概率为.故选：B.3（2021全国高一）为了更好了解某年入伍新兵的身高情况，解放军某部随机抽取名新兵，分别对他们的身高进行了测量，并将测量数据分为以下五组：，进行整理，如下表所示：组号分组频数第1组第2组第3组第4组第5组合计（1）在下面的图纸中，画出频率分布直方图；（2）若在第4，5两组中，用分层抽样的方法抽取6名新兵，再从这6名新兵中随机抽取2名新兵进行体能测试，求这2名新兵来自不同组的概率【答案】（1）直方图见解析；（2）.【解析】（1）频率分布直方图如下图所示：因为第4，5组共有30名新兵，所以利用分层抽样从中抽取6名，每组应抽取的人数分别为：4组：名，第5组：名，

19、设第组抽取的4名新兵分别为，第5组抽取的2名新兵分别为，从这6名新兵中随机抽取2名新兵，有以下15种情况：，这2名新兵来自不同组的情况有以下8种：，故所求的概率考法五 概率的基本性质【例5-1】（2020全国高一课时练习）老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是0.8，是指（ ）A老师每讲一题，该题有80%的部分能听懂，20%的部分听不懂B老师在讲的10道题中，李峰能听懂8道C李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%D以上解释都不对【答案】C【解析】概率的意义就是事件发生的可能性大小，即李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%.故选：C【例5-2】（2020全国高一课时练习）在学校运动会开幕式上，10

20、0名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M（男）、F（女）及年级（高一）、（高二）、（高三）分类统计的人数如下表：M182014F17247若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率：_，_，_，_，_，_，_【答案】 0 【解析】；故答案为：（1）；（2）；（3）1；（4）0；（5）0.35；（6）0.76；（7）0.07【一隅三反】1（2020全国高一课时练习）在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为.那么以下理解正确的是（ ）A某顾客抽奖10次，一定能中奖1次B某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖C某顾客消费21

21、0元，一定不能中奖D某顾客消费1000元，至少能中奖1次【答案】B【解析】中奖概率表示每一次抽奖中奖的可能性都是，故不论抽奖多少次，都可能一次也不中奖，故选：B.2（2020全国高一课时练习）某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：命中环数678910频率0.10.150.250.30.2如果这名运动员只射击一次，以频率作为概率，求下列事件的概率；（1）命中10环；（2）命中的环数大于8环；（3）命中的环数小于9环；（4）命中的环数不超过5环.【答案】（1）0.2 （2）0.5 （3）0.5 （4）0【解析】用x表示命中的环数，由频率表可得.（1）；（2）（或）；（3）；（4）.3（2021全

22、国高一课时练习）判断下列说法是否正确，若错误，请举出反例（1）互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件；（2）互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；（3）事件与事件B中至少有一个发生的概率一定比与B中恰有一个发生的概率大；（4）事件与事件B同时发生的概率一定比与B中恰有一个发生的概率小.【答案】（1）错误，举例见解析；（2）正确；（3）错误，举例见解析；（4）错误，举例见解析.【解析】（1）错误；（2）正确；（3）错误：（4）错误.设某试验的样本空间为.（1）中反例，取，则A,B互斥但不对立.（2）由互斥事件与对立事件的定义可知(2)正确（3）中反例，取,则.（4）中反例，取,则,.4（2020全国高一课时练习）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶.【答案】（1）0.72 （2）0.26 （3）0.02 （4）0.98【解析】设“甲中靶”, “乙中靶”,则“甲脱靶”,“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立,A与,与