华师大版等腰直角三角形教案

1、20XX 年数学中考总复习三角形第三节 等腰三角形、直角三角形学问网络一、 等腰三角形三角形按边分类等腰三角形腰与底边不等等边三角形不等边三角形等腰三角形等边三角形判定 性质判定 性质二、 直角三角形三角形按角分类斜三角形锐角三角形钝角三角形直角三角形两锐角互余三边：勾股定理及其逆定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半含30角的直角三角形1ab1ch22等腰直角三角形一、挑选题1.【05 绵阳 】 如图 1,已知 BC 为等腰三角形纸片ABC 的底边, ADBC,AD=BC. 将此三角形纸片沿 AD 剪开,得到两个三角形,如把这两个三角形拼成一个平面四边形,就能拼出互不全等的四边形的个数是A

2、. 1 B. 2 C. 3 D. 4 图 1 （2 题图）2.【05 杭州 】如图 , 在等腰 Rt ABC中,AC=BC,以斜边 AB为一边作等边 ABD , 使点 C,D 在AB的同侧 ; 再以 CD为一边作等边 CDE , 使点 C,E 落在 AD的异侧 . 如 AE=1,就 CD的长为: A31 B31C62 D62223.【05 临沂课改 】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30；,就顶角的度数为A60B120C60或 150D60或 120ABC 折4.【05 青岛 】如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=5cm ,BC=10cm,将叠,点 B 与点 A 重合,折痕为DE,就

3、 CD 的长为（）A.25B .15C .25D .152244A ECDBA545O605B5.【05 湘潭 】如图,学校的保管室里,有一架5 米长的梯子斜靠在墙上,此时梯子与地面所成角为 45o,假如梯子底端 O 固定不动,顶端靠到对面墙上,此时梯子与地面所成的角为 60o,就此保管室的宽度 AB 为A 52 2 +1米 B52 3 + 2 米 C3 2 米 D52 3 +1米6.【05 毕节 】以以下各组数为边长,能构成直角三角形的是A 2 ,3 ,5 B3 ,4 ,5 C3 2, 4 2, 5 2D1,2, 3 二、填空题 1. 【05 绵阳 】如图 1,如 CD 是 Rt ABC 斜

4、边上的高, AD=3,CD=4,就 BC=_ . C A图 1 DB（3 题图）（2 题图）2.【 05 河南课改 】已知：如图,ACBC,BD BC,AC BCBD ,请你添加一个条件使 ABC CDB ,你添加的条件是 _ ；3.【05 河南课改 】图、图是两种方法把 6 根圆形钢管用钢丝捆扎的截面图；设图、图两种方法捆扎所需钢丝绳的长度是 a、b不记接头部分） ,就 a、 b 的大小关系为：a_b填“ ” 、“ ” 或“ ”）；4.【05 宜昌 】已知,在 Rt ABC 中 C90 ,BAC30 ,AB10,那么 BC5.【05 苏州 】如图,等腰三角形 ABC 的顶角为 120 0,腰

5、长为 10,就底边上的高 AD= ；（5 题图）（6 题图）6. 【05 锦州 】如图,以Rt ABC的三边为边向外作正方形,其面积分别为S1、S2、S3,且 S1=4,S2=8,就 AB的长为 _ _. 7.【05 泸州】 一个等腰三角形的两边分别为 8cm 和 6cm,就它的周长为 cm8.【 05 浙江 】假如直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是 13cm 和 5cm,那么这个直角三角形的面积是 cm 29.【 05 丰台 】等腰三角形的两边长分别为 5cm 和 2cm,就它的周长是 _ _cm；10【05 宁德 】在活动课上,小红已有两根长为4cm、8cm 的小木棒,现准备拼一个等腰

6、三角形,就小红应取的第三根小木棒长是cm；8cm,11.【05 漳州 】如图,由Rt ABC的三边向外作正方形,如最大正方形的边长为就正方形 M与正方形 N的面积之和为2 cm ；D CAO12 B（ 11 题图）（12 题图）12.【05 梅州 】如图 2,将一副直角三角板叠在一起,使直角顶点重合于点 O,就AOB+ DOC= ；13.【05 玉林 】将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图BOC= 1 的位置, 如 AOD=11O , 就14.【05 河北课改 】如图是引拉线固定电线杆的示意图；已知：CDAB,CD33m,CAD=DBD=60 ,就拉线AC的长是 _m. 15.【05 湘潭 】

7、如图,在ABC 中, AB=AC ,AD BC,D 为垂足；由以上两个条件可得_ _；写出一个结论 A三、解答题B12CD1. 05 绵阳 】如图 8,分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用 S1、S2、S3 表示,就不难证明 S1=S2+S3 . 1 如图 8,分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正方形,其面积分别用 S1、S2、S3表示,那么 S1、S2、S3 之间有什么关系？不必证明 2 如图 8,分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用 S1、S2、S3表示,请你确定 S1、S2、S3 之间的关系并加以证明；3 如分别以直角三角

8、形 ABC 三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用 S1、S2、S3表示,为使 S1、S2、S3 之间仍具有与 2相同的关系,所作三角形应满意什么条件？证明你的结论；4 类比 1、2、3的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论 . 【解】 设直角三角形ABC 的三边 BC、CA、AB 的长分别为a、b、 c,就 c 2=a2+b 2 . 1 S1=S2+S3 . 2 S1=S2+S3 . 证明如下：明显 ,S1=32 c , S2=32 a , S3=32 b , S2+S3=3 a2b232 c =S1 . 444443 当所作的三个三角形相像时, 所作三个三角形相像,S 2S 1S1=

9、S2+S3 . 证明如下：2 2a S 3 b2 , 2 .c S 1 cS 2S 1S 3a2c2b21,S 1S2S 3. 其面积分别用S1、S2、S3表示,4 分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作相像图形,就 S1S2S3 . 2.【 05 内江 】如图,将等腰直角三角形 ABC 的直角顶点置于直线 l上,且过 A 、B 两点分别作直线 l 的垂线,垂足分别为 D、E,请你认真观看后,在图中找出一对全等三角形,并写出证明它们全等的过程；【解】 ACD CBE 证：由题意知CAD+ ACD=90 , ACD+ BCE=90 CAD= BCE 又 ADC= CEB=90 , AC=CB

10、ACD CBE3.【 05 嘉兴 】如图,矩形ABCD 中, M 是 CD 的中点；求证：（1） ADM BCM ；（2） MAB= MBA D M C A B 【解】（1）证： ABCD是矩形, ADM=BCM,AD=BC M是 CD的中点, DM=CM ADM BCM （2）证：ADM BCM, MA=MB. MAB=MBA. 4.【 05 嘉兴 】有一种汽车用“ 千斤顶”,它由 4 根连杆组成菱形 ABCD ,当螺旋装置顺时针旋转时, B、D 两点的距离变大,从而顶起汽车；如 AB=30 ,螺旋装置每顺时针旋转 1圈, BD 的长就削减 1；设 BD=a,AC=h ,（1）当 a=40

11、时,求 h 值；（2）从 a=40 开头,设螺旋装置顺时针方向旋转 x 圈,求 h 关于 x 的函数解析式；（3）从 a=40 开头,螺旋装置顺时针方向连续旋转 2 圈,设第 1 圈使“ 千斤顶” 增高 s1,第 2 圈使“ 千斤顶”增高 s2,试判定 s1 与 s2 的大小, 并说明理由； 如将条件 “ 从 a=40开头” 改为“ 从某一时刻开头”【解】（1）连 AC交 BD于 O,就结果如何？为什么？CABCD为菱形, AOB=90 ,BD217910020OA= h ,OB=20 2在 Rt AOB中, AO 2+BO 2=AB 2,A第 25题 h22202302h20 5（2）从 a

12、=40 开头,螺旋装置顺时针方向旋转x 圈,就 BC=40-x h 2240 x22 30h2 6040 x 22（3）结论： s1s 2 . 在h60240 x 2中,令 x=0 得,h 02 602 4044.721;令 x=1 得,h 12 602 3945.596；令 x=2 得,h 22 602 3846.435.s 1h 1h 00.88,s 2h 2h 10.84,s 1s 2也可以如下比较s1 、s2 的大小：s 12 602 392 602 4060222 39 2 602 40 =99602 392 60402s 22 602 382 602 3960 238 260 23

13、9 2=9822779921.2 602 382 602 39而 7977,100 2098 22,s 1s 2如将条件“ 从a=40 开头” 改为“ 从任意时刻开头”,就结论 s1s2仍成立；s 160 2a1 260 2a260 2a2 a160 2a2,1 2s 22 60 a2 22 60 a2 160 2 a2 a3a1 22 260 2而2 a12a3, 602a22 60a2 2 ,s 1s 2.5.【 05 十堰课改 】如图,已知出的结论；增加的条件为：已知：求证：证明ABC,请你增加一个条件,写出一个结论,并证明你写【解】 增加条件为 BD=CE ；结论为 B= C 证明：在

14、 Rt BEC 和 Rt CDB 中BD=CE BC=BC Rt BECRt CDB B=C 0,A 、B、C 的对边分别为a、6.【 05 河南课改 】已知：在 Rt ABC 中, C 90b、c,设 ABC 的面积为 S,周长为l；S、填表：三边 a、b、c ab c l3、4、5 2 5、 12、13 8、 15、17 、假如 abcm,观看上表猜想：、证明中的结论；【解】 填表：4 6 S l_用含有 m 的代数式表示 ； 、S lm三边 a、b、c abc Sl3、4、5 2 125、 12、13 4 1 8、 15、17 6 32 、证明： abcm, a bmc,a 22abb

15、2m 2c 22mc；a 2b 2c 2, 2abm22mc n（n 为大于 2 的整数） ab 21 4mm 2c S l1 2ab1 4mm 2cm 4abcmcc7.【05 南通海门 】已知一个面积为S 的等边三角形,现将其各边等分,并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如下列图）n=4 n=5 （1）当 n = 5 时,共向外作出了个小等边三角形,每个小等边三角形的面积为；（2）当 n = k 时,共向外作出了个小等边三角形,这些小等边三角形的面积和n=3 （第 23 题）为（用含 k 的式子表示）【解】（1）9,1 25S（2）3（k2）,3k2Sk28. 【05 锦州 】如图 a

16、, ABC和 CEF是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点 C,连接 AF和 BE. 1 线段 AF和 BE有怎样的大小关系 .请证明你的结论；2 将图 a 中的 CEF绕点 C旋转肯定的角度, 得到图 b,1 中的结论仍成立吗 .作出判断并说明理由；3 如将图 a 中的 ABC绕点 C旋转肯定的角度,请你画山一个变换后的图形 c 草图即可 ,1 中的结论仍成立吗 .作出判定不必说明理由；4 依据以上证明、说理、画图,归纳你的发觉 . 【解】 1AF=BE. 证明：在 AFC 和 BEC中, ABC和 CEF是等边三角形, AC=BC, CF=CE,ACF=BCE=60 . AFC BE

17、C. AF=BE. 2 成立 . 理由：在 AFC 和 BEC中, ABC和 CEF是等边三角形,ACB- FCB=FCE- FCB.AC=BC, CF=CE,ACB=FCE=60 .即ACF=BCE. AFC BEC.AF=BE. 3 评判要求：此处图形不惟一,仅举几例,只要正确,即可得分 . 如图, 1 中的结论仍成立 . 4 依据以上证明、说明、画图,归纳如下：如图 a,大小不等的等边三角形 ABC 和等边三角形 CEF 有且仅有一个公共顶点 C,就以点 C 为旋转中心,任意旋转其中一个三角形,都有 AF=BE.9.【 05 临沂课改 】 ABC 中, BC a ,AC b ,AB c如

18、 C 90,如图 l,依据2 2 2勾股定理, 就 a b c ；如 ABC 不是直角三角形,如图 2 和图 3,请你类比勾股定理,2 2 2试猜想 a b 与 c 的关系,并证明你的结论A A AB B BC 图 1 C 图2 C 图3【解】 如 ABC 是锐角三角形,就有a22 bc2a22 b2 c ；如 ABC 是钝角三角形,C 为钝角,就有当 ABC 是锐角三角形时,AbcCDaB证明：过点A 作 ADBC ,垂足为 D,设 CD 为 x ,就有 BD ax22ax2 x ；依据勾股定理,得b2x2AD2c2ax2即b2x2c2aa2b2c22ax 2 ax0；a2b22 c ；a0

19、,x0,当 ABC 是钝角三角形时,Ab cCaBD证明：过 B 作 BDAC,交 AC 的延长线于D；bx2a22 x2 c 设 CD 为 x ,就有BD2a2x2依据勾股定理,得即a2b22 bx2 c ；b0,x0, 2 bx0,a2b22 c ；11.【 05 厦门 】如图 6,已知：在直角AC 于 D. ABC 中, C90 , BD 平分 ABC 且交 A（1）如 BAC 30 ,求证 : AD BD ；（2）如 AP 平分 BAC 且交 BD 于 P,求 BPA 的度数 . D PB图 6C【解】 1 证明： BAC 30 C90 ABC 60又 BD 平分 ABC ABD 30

20、 BAC ABD ABD AD（ 2）解 1： C90 BAC ABC 901 2BAC ABC 45BPCD BD 平分 ABC ,AP 平分 BACBAP 1 2BAC ABP 1 2ABC 图 6即 BAP ABP 45 APB 180 45 135解 2： C90 BAC ABC 901 2 BAC ABC 45 BD 平分 ABC ,AP 平分 BAC DBC 1 2 ABC PAC1 2BAC DBC PAD45 APB PDA PAD DBC C PAD DBC PAD C 45 90 13512.【05 重庆课改】 如图,在ABC 中,点 E 在 BC 上,点 D 在 AE 上,已知 ABD A ACD, BDE CDE求证： BD CD 【解】 证明：由于ABD ACD