高考数学资料-正弦定理、余弦定理、解三角形-(修改版)

1、第PAGE 页码43页/总NUMPAGES 总页数43页Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET.解三角形正弦定理（一）正弦定理：，(2)推论：正余弦定理的边角互换功能 ， ， = 典型例题:1在ABC中，已知，则B等于（ ）A B C D2在ABC中，已知，则这样的三角形有_1_个3在ABC中，若,求的值解由条件同理可得练习: 选择题1一个三角形的两内角分别为与，如果角所对的边长是，那么角所对的边的边长为（） 2在ABC中，若其外接圆半径为，则一定有（） 3在ABC中，则ABC一定是（）等腰三角形

2、 直角三角形等腰直角三角形 等腰三角形或直角三角形解：在ABC中，由正弦定理，得。2A2B或2A2B180，AB或AB90。故ABC为等腰三角形或直角三角形。二、填空题4在ABC中，已知且ABC，则_5如果，那么ABC是_等腰三角形_三、解答题6在ABC中，若，面积ABC，求的值解由条件ABC 当B为锐角时，由当B为钝角时，由7在ABC中，分别为内角，的对边，若,求的值解 又 又 8在ABC中，求证：解：.111正弦定理（二）三角形的面积公式：（1）= （2）s=（3）典型例题:【例1】在ABC中，已知，则的值为 （ ） 【例2】在ABC中，已知，则此三角形的最大边长为_答案：【例3】ABC的

3、两边长分别为3cm,5cm,夹角的余弦是方程的根，求ABC的面积解 设两边夹角为,而方程的两根ABC 【例4】在锐角三角形ABC中，A=2B，、所对的角分别为A、B、C，试求的范围。分析：本题由条件锐角三角形得到B的范围，从而得出的范围。【解】在锐角三角形ABC中，A、B、Cc新的三角形的三边长为ax、bx、cx，知cx为最大边，其对应角最大而(ax)2(bx)2(cx)2x22(abc)x0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形5.在ABC中，cos2eq f(B,2)eq f(ac,2c)，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为 ()A正

4、三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形解析：cos2eq f(B,2)eq f(ac,2c)，eq f(cosB1,2)eq f(ac,2c)，cosBeq f(a,c)，eq f(a2c2b2,2ac)eq f(a,c)，a2c2b22a2，即a2b2c2，ABC为直角三角形答案：B二、填空题6ABC中，ABC，则_7. 在ABC中，已知,ABC,则_三、解答题8在ABC中，角A、B、C对边分别为，证明。解由余弦定理,知，9已知圆内接四边形的边长，求四边形的面积解如图，连结，则四边形面积ABD+BCD=A+C=1800 sin= sin C=16 sin由余弦定理,

5、知在ABC中，在CDB中,又120016sin10、 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，（1）求角C的大小；（2）求ABC的面积解：（1）由 4cos2C4cosC解得 0C180,C=60 C60（2）由余弦定理得C2a2b22ab cos C 即 7a2b2ab 又ab5 a2b22ab25 由得ab6 SABC113正、余弦定理的综合应用典型例题:例题在中，若，则的大小是_.解： a:b:c5:7:8设a5k，b7k，c8k，由余弦定理可解得的大小为.例题.在ABC中，满足条件，则_ ，ABC的面积等于_ 答案：；例题3在ABC中，A60，b1，求的值。错解：A60，b1，

6、又，解得c4。由余弦定理，得又由正弦定理，得。辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。正解：由已知可得。由正弦定理，得。例题4. 在ABC中，角A、B、C对边分别为，已知，（）求的大小；（）求的值解 （）在ABC中，由余弦定理得 （）在ABC中，由正弦定理得 练习:选择题在ABC中，有一边是另一边的倍，并且有一个角是，那么这个三角形（）一定是直角三角形 一定是钝角三角形可能是锐角三角形 一定不是锐角三角形点评：三角形形状判定方法：角的判定、边的判定、综合判定、余弦定理判定；其中余弦定理判定法：如果是三角形的最大边，则有：三角形是锐角三角形；三角形是直角三角形；三角形是

7、钝角三角形。在ABC中，角A、B、C所对的边分别为，且，则的值为（）A B C D已知ABC中，（）成立的条件是（） 且 或4.ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为eq f(1,3)，则其外接圆的半径为()A .eq f(9r(2),2) B .eq f(9r(2),4) C .eq f(9r(2),8) D9eq r(2)解析：由余弦定理得：三角形第三边长为 eq r(2232223f(1,3)3，且第三边所对角的正弦值为 eq f(2r(2),3)，所以2Req f(3,f(2r(2),3)Req f(9r(2),8).二、填空题5已知在ABC中，最大边和最小边的长是方程的两实根，

8、那么边长等于_7_6已知锐角的三内角A、B、C的对边分别是 则角A的大小_； 7在ABC中，是其外接圆弧上一点，且，则的长是_5_三、解答题8在ABC中，角A、B、C对边分别为，为ABC的面积，且有，（）求角的度数；（）若，求的值解 由二倍角公式，已知等式化简为或120当时，由余弦定理,得当120时，由余弦定理,得9ABC中的三和面积满足，且，求面积的最大值。解由余弦定理,得 02当时，max =10在中，已知内角，边.设内角,面积为.求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值解：（1）的内角和，由得应用正弦定理，知，因为，所以，（2）因为 ，所以，当，即时，取得最大值11在中, 角A、B、C的

9、对边分别为、.若的外接圆的半径,且, 求B 解析：由，代入得整理得即12 应用举例（一）典型例题:图1ABCD例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得CAB=30，CBA=75，AB=120cm，求河的宽度。分析：求河的宽度，就是求ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、CAB、CBA，这个三角形可确定。解析：由正弦定理得，AC=AB=120m，又，解得CD=60m。点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”210在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为300,600,则塔高为( )A米 B米 C米 D米A3在湖

10、面上高h处，测得云彩仰角为，而湖中云彩影的俯角为，求云彩高.解 C、C解关于点B对称，设云高CE = x 则CD = x h，CD = x + h，在RtACD中， 在RtACD中，, 解得 .4、如图，为了测量塔的高度，先在塔外选和塔脚在一直线上的三点、，测得塔的仰角分别是，求求的大小及塔的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4， = 。 因为 sin4=2sin2cos2cos2=,得 2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE= x

11、，AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 两式相减，得x=5,h=15在 RtACE中,tan2=2=30,=15 答：所求角为15，建筑物高度为15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得BAC=， CAD=2，AC = BC =30m , AD = CD =10m在RtACE中，sin2= 在RtADE中，sin4=, 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=155.为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角

12、和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。解： 方案一：需要测量的数据有：点到，点的俯角；点到，的俯角；的距离（如图所示）第一步：计算由正弦定理；第二步：计算由正弦定理；第三步：计算由余弦定理方案二：需要测量的数据有：点到点的俯角；点到，的俯角；的距离（如图所示）第一步：计算由正弦定理；第二步：计算由正弦定理；第三步：计算由余弦定理练习:一、选择题1海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C间的距离是( )A.10海里 B.海里C. 5海里 D

13、.5海里2海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C间的距离是 ( )A.10海里 B.海里 C. 5海里 D.5海里3如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得 ACB=60，BCD=45，ADB=60，ADC=30，则AB的距离是（ ）.（A）20（B）20（C）40（D）204、甲船在岛B的正南方A处，AB10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）A分钟B分钟C21.5分钟D2.

14、15分钟二、填空题5一树干被台风吹断折成与地面成30角，树干底部与树尖着地处相距20米，则树干原来的高度为 6甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是 三、解答题7如图：在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45，假设建筑物高50m，求此山对于地平面的斜度解：在ABC中，AB = 100m , CAB = 15, ACB = 4515 = 30由正弦定理： BC = 200sin15 在DBC中，CD = 50m , CBD = 45, CDB = 90 +

15、 , 由正弦定理： cos = = 42.94北乙甲8如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？解法一：如图，连结，由已知，北甲乙又，是等边三角形，由已知，在中，由余弦定理，因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）答：乙船每小时航行海里解法二：如图，连结，由已知，北乙甲，在中，由余弦定理，由正弦定理，即，在中，由已知，由余弦定理，乙船的速度的大小为海里/小时答：乙船每小时航行海里9某船在海上航行中不幸遇险，

16、并发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后，立即测出该船的方位角为45，与之相距10 nmail的C处，还测得该船正沿方位角105的方向以每小时9 nmail的速度向一小岛靠近，我海上救生艇立即以每小时21 nmail的速度前往营救，试求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间。解：设所求最大圆的半径为x，则在ABC中 又在ACD中：又在ACD中：10在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小

17、时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？角：设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则由余弦定理知由于PO=300,PQ=20t故即 解得 答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时12 应用举例（二）典型例题：例1一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60西， 另一灯塔在船的南75西，则这只船的速度是每小时（ ）A.5海里 B.5海里 C.10海里 D.10海里例2某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45距离为10海里的C处，此时得知

18、，该渔船沿北偏东105方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是 小时 图3ABC北4515例3 如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？ 解析：设用t h，甲船能追上乙船，且在C处相遇。在ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，设ABC=，BAC=。=1804515=120。根据余弦定理，（4t3）（32t+9）=0，解得t=，t=（舍）AC=28=21 n mile，BC=20=15

19、n mile。根据正弦定理，得，又=120，为锐角，=arcsin，又，arcsin，甲船沿南偏东arcsin的方向用h可以追上乙船。点评：（1）航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ABC、AB边已知，另两边未知，但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t有关。这样根据余弦定理，可列出关于t的一元二次方程，解出t的值。 （2）在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解例4 已知ABC，B为B的平分线，求证：ABBCAC分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形

20、内研究问题，而B的平分线BD将ABC分成了两个三角形：ABD与CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：ABADBCDC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论.证明：在ABD内，利用正弦定理得：在BCD内，利用正弦定理得：BD是B的平分线.ABDDBC sinABDsinDBC.ADBBDC180sinADBsin（180BDC）sinBDC练习：一、选择题1台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40

21、km处，B城市处于危险区内的时间为（ ）A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h2已知D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A的点仰角分别为、（）则A点离地面的高AB等于（ ）A B CD 3在ABC中，已知b=2，B=45，如果用正弦定理解三角形有两解，则边长a的取值范 围是（）AB CD二、填空题4我舰在敌岛A南50西相距12nmile的B处，发现敌舰正由岛沿北10西的方向以10nmile/h的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为 14nmile/h 5在一座20 m高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60，塔底俯角为45，那么这座塔的高为

22、_20（1+） m _三、解答题6如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮，用一条（足够长）绳子跨过它们，并在两端分别挂有4 kg和2 kg的物体，另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体，为使系统保持平衡状态，此物体的质量应是多少?（忽略滑轮半径、绳子的重量） 解：设所求物体质量为m kg时，系统保持平衡，再设F1与竖直方向的夹角为1，F2与竖直方向的夹角为2，则有 （其中g为重力加速度）由式和式消去，得即.，由式知，式中 不合题意，舍去又4cos2130，解得经检验，当时，不合题意，舍去.2m6综上，所求物体的质量在2 kg到6 kg之间变动时，系统可保持平衡.7海岛上有一座高出水面10

23、00米的山，山顶上设有观察站A，上午11时测得一轮船在A的北偏东60的B处，俯角是30，11时10分，该船位于A的北偏西60的C处，俯角为60，（1）求该船的速度；（2）若船的速度与方向不变，则船何时能到达A的正西方向，此时船离A的水平距离是多少？（3）若船的速度与方向不变，何时它到A站的距离最近？解:设AD=x，AC=y， 而在ABC中，即 得，代入得得，即此人还需走15km才能到达A城.CAB8.为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架 三角形支架形状如图，要求，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米 为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度

24、为多少米？解：如图，设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y0.5）米 在ABC中，依余弦定理得： 即化简，得 ，因此 当且仅当时，取“=”号，即时，y有最小值 解三角形测试题一、选择题1.在ABC中，那么ABC一定是（ ）A锐角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形解：由正弦定理，得即。2A或。或。故ABC为等腰三角形或直角三角形。2.ABC中，则SABC=（ ）ABCD3.在ABC中，一定成立的等式是（） AasinA=bsinB BacosA=bcosB CasinB=bsinA D.cosB=bcosA4.若，则ABC为（）A等边三角形B等腰三角形C

25、有一个内角为30的直角三角形D有一个内角为30的等腰三角形5.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为（ ）A90 B120 C135 D1506.设A是ABC中的最小角，且，则实数a的取值范围是（ ）Aa3 Ba1 C1a3 Da07.ABC中,A、B的对边分别为a,b，且A=60，,那么满足条件的ABC（ ）A有一个解 B有两个解C无解D不能确定8.在ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ） Ab = 10，A = 45，B = 70 Ba = 60，c = 48，B = 100Ca = 7，b = 5，A = 80 Da = 14，b = 16，A = 45.在AB

26、C中，则三角形最小的内角是（ ）A60B45 C30 D以上都错.有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20，现要将倾斜角改为10，则坡底要伸长（ ）A1公里 Bsin10公里 Ccos10公里 Dcos20公里二.填空题1.在ABC中，B=1350，C=150，a=5，则此三角形的最大边长为 1.在ABC中，a+c=2b，AC=60，则sinB= .1.在ABC中，已知AB=l，C=50，当B= 40 时，BC的长取得最大值. 14ABC的三个角ABC,且2B=A+C,最大边为最小边的2倍,则三内角之比为1:2:3 . AUTONUM 5、在ABC中，AB=2，BC=3，AC=，则ABC的面积为

27、 ，ABC的外接圆的面积为 。三、解答题：16.在ABC中，a+b=1，A=600，B=450，求a，b16. 17. a、b、c为ABC的三边，其面积SABC=12,bc=48,bc=2,求a.解：解法一：由,解得 又SABCC=, cosA=,a2=b2+c2-2bccosA=64+36-286()=10048, a=2或2.解法二：SABC=, cosA=,a2=b2+c2-2bccosA=(b-c)2+2bc(1-cosA)=22+248(1)=10048 a=2或a=218在中，（1）求的值；（2）求的值. 解：（） 由余弦定理，得 那么，（）由，且得由正弦定理，得解得.所以，.由倍

28、角公式，且，故.19.如图，在四边形ABCD中，AC平分DAB，60021DCBAABC=600，AC=7，AD=6，SADC=，求AB的长.19.20.在ABC中，, sinB=.（I）求sinA的值； (II)设AC=，求ABC的面积.解：（）由，且，又，（）如图，由正弦定理得，又21.一缉私艇在岛B南50东相距 8（）n mile的A处，发现一走私船正由岛B沿方位角为方向以 8n mileh的速度航行，若缉私艇要在2小时时后追上走私船，求其航速和航向21. 缉私艇应以8 n mile/ h的速度按方位角 355方向航行.22、如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线C

29、D，现已测出CDa和ACD60，BCD30，BDC105，ADC60，试求AB的长解：在ACD中，已知CDa，ACD60，ADC60，所以ACa. 在BCD中，由正弦定理可得BCeq f(asin105,sin45)eq f(r(3)1,2)a. 在ABC中，已经求得AC和BC，又因为ACB30，所以利用余弦定理可以求得A、B两点之间的距离为ABeq r(AC2BC22ACBCcos30)eq f(r(2),2)a.数学二级结论高考的应用第一结论不动点通法 数列通项放缩问题国一各种数列压轴题 通杀不动点的求法：比如X(n+1)=f(Xn)令f(Xn)=Xn 解出Xn=a或者a,b两解那么a,b

30、就为Xn不动点不动点意义是什么呢？ 就是Xn的极限 即Xna高考里你只需要取大根就好，小根忽视比如10年国一22(2) 看解法 你可以选08 07 的国一照套用核心思想：有关数列通项的相关问题，先化简Xn-a(a为不动点)会得到很多Xn的性质题目再现：a1=1 a(n+1)=c-1/an求使不等式anan+13的c的取值范围解an=c-1/an 令an=x 得 x=(c+sqrt(c-4)/2显然就是证xan a2=c-1/a1=c-1c-11 所以c2所以a1-x=1-x0回头看这个：即an+1 - x = c(an-x)-x(an-x)/an=(c-x)/an*(an-x)(c-x)/an

31、 是一个 正数 根据【同号性】（极其重要） an+1 - x和an - x同号 a1-x0所以a2-x0an+1-x0即an+1x即题目变成anan+1x3恒成立求x的范围解x3得到答案这是真正的通法 是所有考察数列通项问题的通法，这是高数内容 别忘了是谁出的题大学教授，都带有高数味儿得小结论C:y2=2px过x轴上(a,0)点与C相交，存在x1x2=a2无数小题用此结论减免思维强度连10年解几第一问也可以用这个证明（三点共线那个） 你想想 过(-p/2,0)的直线交C于A(x1,y1)B(x2,y2) B(x2,-y2) 让你证AB过焦点你想想 x1x2只和a2有关，也就是在x1x2相同时

32、a有两个解 一个解已知是-p/2 另一个解必然是p/2啊极坐标：秒杀焦点弦我们是大纲版 不学极坐标，所以考试小题常出焦点弦问题没学过极坐标的别记专有名词 这样记以下公式椭圆 过F作直线交C于AB，设AF=r1 BF=r2目测谁比较长 如r1比较长则r1=ep/1-ecos日日为过F的直线的倾斜角p为焦准距双曲线单支和椭圆一样交于两支时 r=ep/ecos日 +- 1 比较长的那个取负 短的那个取正抛物线r=p/1 -+ cos日（抛物线e=1）以上三者的焦点弦R=r1+r2长为R=|2ep/1-e2cos2日|这个公式和焦半径公式相辅相成 轮换使用 解几小题任意秒另附 焦半径公式中 双曲线的速

33、记口诀左加右减套绝对值，同边开负，异边开正举例解释比如在双曲线右支 到右焦点的距离r=|a-ex0| （左加右减套绝对值）由于是同边（右支右边） 所以绝对值开负号 r=ex0-a技巧09山东22题告诉我们过原点的两条线段r1 r2相互垂直时，A点可设为A(r1cos日,r1sin日) B(-r2sin日,r2cos日)因为AO BO垂直 这些关系可以用倾斜角表示S(2n-1)=(2n-1)an这种强大的公式不懂你就亏了四面体体积公式V=1/6(abhsin日)a，b是两条对楞的长，h是对棱的异面距离，日是对棱的夹角这个公式异常重要，比如10年国一12题，用这题套公式秒杀有关立体几何中的开放式问

34、题 （极值，交点个数，还有北京卷那个与xyz哪个有关的）近年来的热点 这类题基本出在正方体或者长方体中用退化的 空间解析几何处理 这类题可以秒杀，这个要画图 有需要的童鞋回一下 我就画图还有这个在O-xyz 坐标系中 某条过O的直线和x y z分别成 a b c 度角有cos2 a + cos b + cos2 c =1这个有什么用呢？ 已知两个角 求第三个角 用于有些图形恶心的立几大题中建立坐标系双曲线焦点到渐近线的距离=b过双曲线两顶点作垂直于x轴的直线和渐近线交与四点 形成一个矩形则 斜边为c 另一条直角边为b我们来看看圆锥面是一个三角形旋转一周所得意味着该圆锥母线和底面所成的角恒为定值

35、所以【研究线面成定角问题可以用圆锥面分析】立体几何中解析几何中 凡涉及线段中点问题的 绝大多数和三角形中位线有关遇到排列组合难题 尤其是三个限制条件的 一定要用容斥原理举个例子：P要满足A,B,C，求P的方法数画个韦恩图U是全集 画个大框框 在上面画3个圈 非A 非B 非C （要看看他们是否有交集，一般是有的）看到图你知道该怎么算了吧P=U-(A+B+C)+A交B+A交C+B交C-A交B交C两个条件的我就懒得打字啦有关离心率问题 很多命题点在这里椭圆离心率e2=1-(b/a)2双曲线：e2=1+(b/a)2看到了吧 都和一个参数t=(b/a) 有关双曲线渐近线方程可设为b2x2-a2y2=0看

36、到了么 这可是二次方程形式哟 可以避免讨论一些东西比如有两焦点 可以舍而不求的联立使用韦达定理2画一个双曲线，比如P在右支上 连接PF1 PF21.若PO=F1O=F2O 则F1PF2为902.POOF1 则OF1 则，为锐角导函数为二次函数时 注意原函数有极值的条件是在定义域内0【这是一个你死也要记住的不等式链】sqrt(a2+b2)/2=(a+b)/2=sqrt(ab)=2/(1/a+1/b)注意2/(1/a+1/b) 也就是2ab/a+b这个不等式链 在配凑性消元 正负对消上有很大用途但是均值不等式一定是单向放缩的 一般求双最值问题 一定要涉及到求导平面中任意共起点的两条向量所组成的三角

37、形面积为设向量OA=(a,b)向量OB=(c,d)a b( )c d即 ad-bc证明可用S=1/2absin日 证平行四边形ABCD 中1.若|AB|=|AD| (向量AB+向量AD)(向量AB-向量AD)=02.若ABAD |向量AB+向量AD|=|向量AB-向量AD|用向量构筑不等关系若题目求ac+bd 这类的最大值 可以构筑向量m=(a,c)向量n=(c,d)向量m*向量n=ac+bd=sqrt(a2+c2)sqrt(b2+d2)y=f(a+x)和y=(b-x) 关于 x=(b-a)/2对称y=f(wx+a)和y=f(b-wx)关于x=(b-a)/2w对称切记等差数列Sn=(d/2)n

38、2+(a1-d/2)n 这是二次函数表达式 很多小题就是以这个为基本命题的S(2n-1)=(2n-1)an 你一看到等差数列和，下标又是奇数的 赶紧用啊等比数列Sn=m+mqn 其中m=a1/1-q这个是肯定要记的，很多放缩就是放缩到等比数列 然后选一个小于1的公比q 你观察，Sn的极限不就是a1/1-q可以用来证明(bn是等比)a1+a2+a3+.+anb1+b2+bn（通过单项放缩）a1/1-q=题目要求值cos75=1/sqrt(6)+sqrt(2)sin75=1/sqrt(6)-sqrt(2)自己推15的啊。这个我做数学和物理真题的时候遇到过 物理尤其光学题对于R上的奇函数 如果周期为T 则有f(T/2+nT)=0可以用奇X奇=偶函数 偶X奇=奇 来变幻函数性质比如如果f(x)为偶 则 f(x)/x 为奇注意这种构造法|b2n-bn|=|b2n-b(2n-1)+b(2n-1)-b(2n-2)+b(n+1)-bn| y0/x0 * k = -b2/a22.和l联立消去x,y （别弄走了k)抛物线中利用参数方程很多情况下可以大幅度减少运算y2=2px的参数方程(2pt2,2pt)比例