导数的则运算和单调区间的求法

1、导数的四则运算和单调区间的求法(辅导二)一、导数的运算：1、几个特殊函数的导函数公式：2、四则运算公式：3、复合函数求导公式二、函数单调性的判断：1、利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f(x)0(或f(x) 0(或f (x) 0(或f (x) 0(或/(x) 0)，xG (a, A)恒成立解出的参数的取值范围确定。三、典例选讲：1、求下列各函数的导数(其中a,b,c,n为常数)y = 2Vx - + 牝3x TOC o 1-5 h z x 22y = 丁 + HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 2x 21 x3y = 5

2、y = (x+1X2 x y = x In x(6)y = xn In xv =y = 1log x y，= y =lOg a、，解：2 a2 xln a5 xy = 】+ x 2y = x sin x + cos x(9)5sin xy =(10)1+cosxy=(1+x 2)5y = (2 + 3x2),：1 + 5x2解：y = 6x1 + 5x2 + (2 + 3x2)(】有担)=6x、；1 + 5x2 + (2 + 3x2). 2 1 + 5 x2y 1 + 5 x2_ 6x(1+ 5x2) +10 x + 15x3 16x + 45x3 侦 1 + 5 x21 + 5 x2(13)

3、 y = 52 a2解：y(x2 -a2)2 侦x 2 a 22_ x2 x2a2x2a2(14)xy =:侦1 x 2解: y = (i)-x(w1-x2)(1 x 2)2 x (2 x)21 x2(：1 x2)21 x 2 +二寸1 - x2 =1(气1 x2)2G：1 x2)3(15) y = loga (1+ x2),(1+ x 2)2 x解：y=(1+ x2)ln a (1+ x2)ln ay = In% x21(a2 x2) x解：y = 2ln(a2 x2), y = 2(a2 _ x2)=白2 _ x21 +1 xy =ln 1 x解：y = ln(1+、：x) ln(1vx)

4、y1111 +1 + 寸 x 2 Vx 1 一x 2 寸x1x (1 x)、 1(18) y = x sin- x解：y = 2 X sin1 + X 2 cos - (i)XX=2 x sin- + x 2 cos - (- ) = 2 x sin - - cos-XX(19)y = lg(x - q X2 - a 2)解：x 2 - a 2 - x(x- wx2 -a2)ln10(x-0,解得 0X 2. .y=x2(1X)3 的单调增区间是(0, 2)2令 x(1 x)2(25x)0,解得 x 5 且 x1.V X = 1 为拐点，2y=x2(1x)3 的单调减区间是(一8, 0), (

5、5 , +8)其函数的大致图像如下图:(2)设函数f(x)=ax (a+1)ln(x+1),其中a -1，求(x)的单调区间。(3)设函数 f(x)= 2x3 -3(a-1)x2+1,其中a 1.(1)求 f(x)的单调区间；(II)讨论 f(x)的 极值.练习：1)设函数f (x) = 2x3 3(a +1)x2 + 6ax + 8其中a e R .若f 3)在(-8,0)上为增函数，求a的取值范围2)设函数 f (x) = x(x-a)2 ( x e R )，其中 a e R .当a = 1时，求曲线y = f (x)在点(2, f (2)处的切线方程；当a。0时，求函数f (x)的极大值

6、和极小值；当 a 3 时，证明存在 k e-10 ，使得不等式 f (k -cosx) N f (k2 -cos2 x)对 任意的x e R恒成立.(4)已知函数f (x) = ax 3 - 3x 2 +1 - 3 . (I)讨论函数f (x)的单调性； a(I)若曲线y = f (x)上两点A B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求 实数a的取值范围.1 一。 f1、(5)已知函数 f 3) = ln x - ax +1( a g R)(I)当 a g(x2)，求实数b的取值范围。(6)设 a 0，求函数 f (x) =、： x - ln( x + a)( x g (0,+s)

7、的单调区间.解 ：f(x)=小-+(x 0). 当 a 0,x 0 时f(x) 0 o x2 + (2a 4)x + a2 0. f f(x) 0 0 x2 + (2a - 4)x + a2 1 时，对所有x 0，有x2 + (2a 4) + a2 0.即f(x) 0，此时f (x)在(0,+8)内单调递增.当a = 1 时，对x。1，有x2 + (2a 4)x + a2 0，即f(x) 0，此时f (x)在(0，1)内单调递增，又知函数f (x)在x=1处连续，因此，函数f (x)在(0，+ 8 )内单调递增 当 0 a 0，即 x 2 + (2a 4) x + a 2 0.解得 x 2 a + 21- a .因此，函数f (x)在区间(0,2-a-2%1-a)内单调递增，在区间(2一a + 2、：1 a,+8) 内也单调递增.令 f(x) 0,即x2 + (2a 4)x + a2 0，解得 2 a 2t1 - a 0)，讨论 f (x)的单调性. x练习：设函数f (x) = a