2019年数学高考试题(及答案)

1、B.(e,2e2)D.(e,2e2)U(2e2,+8)2019年数学高考试题（及答案）一、选择题命题“对任意XWR,都有X2A0的否定为（）A.对任意xGR,都有X2V0B.不存在xGR,都有X2V0C存在x0GR，使得x020D存在x0GR，使得x02y,则一xvy；命题q：若xy,则X2y2.在命题pAq；pVq；pA（q）;p）Vq中，真命题是（）A.B.C.D.在下列区间中，函数f（x）=ex+4x3的零点所在的区间为（）-4,0B.C.11、D.13、I4丿(4丿(42丿124丿6.已知函数f（x）=（x一3）ex+a（2lnx一x+1）在（人+Q上有两个极值点，且f（x）在（1,2

2、）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.(e,+8)C.(2e2,+8)7.函数f(x)=xInx的大致图像为28.函数y=2Xsin2x的图象可能是9.当a1时，在同一坐标系中，函数y二a-x与y二一logx的图像是（）X2y210.已知双曲线C：二=1a2b2（a0,b0）的一条渐近线方程为y=5且与椭圆12+丁=1有公共焦点，则C的方程为（）A.x2y2一=1810B.C.D.ii已知a,b是非零向量且满足(a-2b)丄a,(b-2a)丄b，则a与b的夹角是()A.兀B.3C.D.5兀612.已知非零向量AB与AC满足(.、ABAc_+-AC-BC=0且ABABAC_1AC=2,则BC

3、的形状是()A.三边均不相等的三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.以上均有可能二、填空题设S是等差数列a(n&N*)的前n项和，且a1，a7，则S5=nn145i是虚数单位，若复数(I-2i)(a+i)是纯虚数，则实数a的值为.如图，正方体ABCD-A1B1C1的棱长为1,线段B上有两个动点E,F，且EF=辽，现有如下四个结论：2AC丄BE；EF/平面ABCD；三棱锥A-BEF的体积为定值；异面直线AE，BF所成的角为定值，其中正确结论的序号是.C1ATOC o 1-5 h z兀L在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=3,a=：3,b=1,贝Uc=x-y-10，则z

4、=-1+y的最小值为.x0在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2,贝U它们的面积比为1：4,类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2,贝U它们的体积比为厶C/12、若4a=5b=100，则2(+)=ab已知四棱锥S-ABCD的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于.侧视图三、解答题21.ABC在内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.求B；若b=2，求AABC面积的最大值.22.x=2+t,在直角坐标系xOy中，直线11的参数方程为jy_kt(t为参数)，直线l2的参数方程为x_-2+m,m(加为参数)设人与12的交

5、点为P,当k变化时，P的轨迹为曲线C.y_，求C与C交点的极坐标；12设P为C的圆心，Q为C与C交点连线的中点已知直线PQ的参数方程为112Ik写出C的普通方程；以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：P(cos0+sine)J2_0，M为l3与C的交点，求M的极径.23.已知函数f(x)_xlnx.(1)若函数g(x)_/字-1，求g(x)的极值；x2x(2)证明:f(x)+12的解集；若二次函数y_x2+2x+3与函数y_/(x)的图象恒有公共点，求实数m的取值范围.在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系圆C,直线C2的极坐标方程分别为P_4sin0,p

6、cos丁_2(2.k4丿-bt3+12CeR为参数），求a,b的值.已知椭圆+琴1（ab0）的离心率为二，以椭圆的2个焦点与1个短轴端点a2b23为顶点的三角形的面积为2迈（1）求椭圆的方程；（2）如图，斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交与A，B两点，以线段AB为直径的圆截直线x1所得的弦的长度为5，求直线l的方程.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题D解析：D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意xWR,都有x20”的否定为存在x0WR，使得x02VO.故选D.C解析：C【解析】【分析】b丄a，c丄卩，直线b，c的方向向量b,c分别是平面Q,卩的法向量，

7、根据二面角与法向量的关系，即可求解.【详解】设直线b,C的方向向量b,c，b丄a,c丄卩，所以b,C分别是平面a,卩的法向量，二面角a-1一卩的大小为60,b,c的夹角为600或1200,因为异面直线所的角为锐角或直角，所以b与c所成的角为600.故选:C.【点睛】本题考查二面角与二面角平面的法向量的关系，属于基础题.3C解析：C【解析】【分析】先求出展开式的通项，然后求出常数项的值【详解】22(X2-)5展开式的通项公式为:T=Cr(X2)5r(-)r，化简得T=(2)1曲0-5r，X3r+15X3r+l5令10-5r=0，即r=2，故展开式中的常数项为T=(-2)2C2=40.35故选：C

8、.【点睛】本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键4C解析：C【解析】试题分析：根据不等式的基本性质知命题P正确，对于命题q，当x，y为负数时x2y2不成立，即命题q不正确，所以根据真值表可得Pvq,pA(一q)为真命题，故选C.考点：1、不等式的基本性质；2、真值表的应用.5.C解析：C【解析】先判断函数f(X)在R上单调递增，由(1)14丿(112丿【分析】0【详解】因为函数/(x)=ex+4x-3在R上连续单调递增,(1)f-14丿(-)f-12-1-二e4+4x3二e4202(11)所以函数的零点在区间内，故选C.V42丿【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用

9、，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点(1)函数是否为单调函数；(2)函数是否连续.6C解析：C【解析】【分析】xexa求得函数的导数f(x)=(X2)-(一-)，根据函数fx丿在(1+8)上有两个极值点，x转化为xex-=0在(1+8)上有不等于2的解，令g(x)=Xex，利用奥数求得函数的单调性，得到-g(1)=e且-丰g(2)=2e2，又由f(x)在(1,2)上单调递增，得到广(x)n0在(1,2)上恒成立，进而得到-xex在(1,2)上恒成立，借助函数g(x)=Xex在(1,+8)为单调递增函数，求得-g(2)=2e2，即可得到答案.【详解】由题意，函数f(x)=(x3)ex

10、+-(2lnxx+1)，2-xex-可得f(x)=ex+(x3)ex+-(1)=(x2)(ex)=(x2)-(一一),xxx又由函数f(x)在G+8)上有两个极值点，则广(x)=0，即(x2)-()=0在(h+8)上有两解，x即xex-=0在在(1,+8)上有不等于2的解，令g(x)=xex，则g(x)=(x+1)ex0,(x1)，所以函数g(x)=xex在(1,+8)为单调递增函数，所以-g(1)=e且一主g(2)=2e2，又由f(x)在(1,2)上单调递增，则f(x)0在(1,2)上恒成立,xex-即(x2)-(-)0在(1,2)上恒成立，即xex-xex在(1,2)上恒成立，又由函数g(

11、x)=xex在(h+8)为单调递增函数，所以ag=2e2,综上所述，可得实数a的取值范围是a2e2，即ag(2e2,+8)，故选c.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.7A解析：A【解析】【分析】【详解】.函数f(x)=xlnx只有一个零点，.可以排除CD答案又：当x(0，1)时，lnxV

12、O,.f(x)=xlnxVO,其图象在x轴下方可以排除B答案考点：函数图像8D解析：D【解析】n分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在(-,n)上的符号，即可判断选择.详解：令f(x)=2xsin2x，因为xgR,f(一x)=2Lsin2(一x)=-2sin2x=一f(x)，所以f(x)=2Lsin2x为奇函数，排除选项A,B;n因为xg(2,n)时，f(x)0，所以排除选项C,选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：(1)由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性；

13、(4)由函数的周期性，判断图象的循环往复9D解析：D【解析】【分析】根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项.【详解】由于a1，所以y=a-x=（-Y为R上的递减函数，且过（0,1）；Y=-logx为（0,w）VA丿A上的单调递减函数，且过（1，0），故只有D选项符合.故选：D.【点睛】本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断，考查函数图像的识别，属于基础题.10B解析：B【解析】【分析】根据渐近线的方程可求得a,B的关系，再根据与椭圆学+荐=1有公共焦点求得c即可.123【详解】双曲线C的渐近线方程为Y二壬5x,可知-=豆，椭圆羊+琴=1的焦点坐标为（一2a21233,0）和

14、（3,0）,所以a2+B2=9,根据可知a2=4,B2=5.故选：B.【点睛】本题主要考查了双曲线与椭圆的基本量求法,属于基础题型.11B解析：B【解析】【分析】利用向量垂直求得|AI2=|BI2=2A-B，代入夹角公式即可.【详解】设A,b的夹角为6；因为(a-2b)丄A，(b-2A)丄b,所以|A|2=b|2=2A-b，则A|2=2A-b,b|2=2A-b，则cos0=繭=律=”I故选：B【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式ab=|aHb|cose；二是向量的平方等于向量模的平方a2=a2.12.C解析：C【解析】【分析】ABAC丽+阴JABACAB和iAC分别表示向

15、量AB和向量AC方向上的单位向量,ABAC1ABAC示ZA平分线所在的直线与BC垂直，可知ABC为等腰三角形，再由両厉C=2可求出ZA，即得三角形形状。【详解】（、-BC=0，:ZA平分线所在的直线与BC垂直ABC为由题的，厅看j+厅耳IIABIlACl丿ABACABAC11兀等腰三角形又ab八ac2，:cosA=2，：A=3，故ABC为等边三角形.故选：C【点睛】本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。二、填空题13.25【解析】由可得所以解析：25【解析】（1+9）x5由a=1,a=7可得a=1,d=2,a=2n-1，所以S=25.141

16、n5214【解析】试题分析：由复数的运算可知是纯虚数则其实部必为零即所以考点：复数的运算解析：-2【解析】试题分析：由复数的运算可知丨-二二-二-】-二，（I-2i）（a+i）是纯虚数，则其实部必为零，即-，所以：=-.考点：复数的运算.15.【解析】【分析】对于可由线面垂直证两线垂直；对于可由线面平行的定义证明线面平行；对于可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值【详解】对解析：【解析】【分析】对于，可由线面垂直证两线垂直；对于，可由线面平行的定义证明线面平行；对于，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于，可由两个特殊位置说

17、明两异面直线所成的角不是定值.【详解】对于，由AC丄BD，AC丄BB,可得AC丄面DBB,故可得出AC丄BE，此命题正确；对于，由正方体ABCD-A1BCD的两个底面平行，EF在平面ABCDl内，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF/平面ABCD，此命题正确；对于，EF为定值，b到EF距离为定值，所以三角形BEF的面积是定值，又因为A点到面DDBB1距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确；对于，由图知，当F与B1重合时，此时E与上底面中心为O重合，则两异面直线所成的角是ZAAO，当E与D重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是/OBC，此二角不相等，故异面直线AE

18、，BF所成的角不为定值，此命题错误.综上知正确，故答案为【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体积公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.16.2【解析】【分析】根据条件利用余弦定理可建立关于c的方程即可解出c【详解】由余弦定理得即解得或（舍去）故填2【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边属于中档题解析：2【解析】

19、【分析】根据条件，利用余弦定理可建立关于c的方程，即可解出c.【详解】由余弦定理a2=b2+c2一2bccosA得3=1+c2一c，即c2一c一2=0，解得c=2或c=-1（舍去）故填2.【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边，属于中档题.17.-1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域由图形求出最优解再计算目标函数的最小值【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示由图形知当目标函数过点A时取得最小值由解得代入计算所以的最小值为故答案为解析：T【解析】【分析】1画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数z二-x+y的最小值.【详解】x-y-10表示的平面区域如图所

20、示，x0由图形知，当目标函数z二-X+y过点A时取得最小值，由x-y-)1二0，解得A(,一1)，代入计算z=0+(-1)=一1，所以z=-X+y的最小值为-1.故答案为-1.【点睛】本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题.18.1：8【解析】考查类比的方法所以体积比为1：8解析：1：8【解析】考查类比的方法，v3Sh13所以体积比为1:8.19【解析】【分析】根据所给的指数式化为对数式根据对数的换地公式写出倒数的值再根据对数式的性质得到结果【详解】则故答案为【点睛】本题是道有关代数式求值的问题解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质属于基解析：2【解析】【分析】根据

21、所给的指数式，化为对数式，根据对数的换地公式写出倒数的值，再根据对数式的性质，得到结果【详解】/4a=5b=100,a-logJOO,b-lo100,12=log4+2log5=log100=1,ab100100100则2故答案为2【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题，解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质，属于基础题20【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图解析：10171T解析】分析】先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形SAB的

22、外心分别作相应面的垂线交于O,即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积.【详解】由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，因为平面SAB丄平面ABCD,连接AC,BD交于E,过E作面ABCD的垂线与过三角形ABS的外心作面ABS的垂线交于0,即为球心，连接A0即为半径，2令为ASAB外接圆半径，在三角形SAB中，SA=SB=3,AB=4,则cosZSBA=3,sinZSBA旦-2r=3=9.厂亠又f=竺二1TOC o 1-5 h z.sinGBA-3，isinZSBAv5，-i2綁，乂21可得R2-r2+OF2，81101计算得，R2-+1-2020所以

23、S-4兀R2-罟兀【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心,属于较难题.三、解答题(I)B=(II)J2+14【解析】【分析】【详解】(1)a=bcosC+csinB由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB在三角形ABC中，-(B+C)sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC由和得sinBsinC=cosBsinC而CW(O,sinC#0sinB=cosB又B(0,二)，B=4=1.72(2)Sabc=2acsinB=4ac,兀J2由已知及余弦定理得：4W2-2accos72心2acx亍4整理得：ac-2讶，当且

24、仅当a=c时,等号成立,12x(2+抱)=j2+1.1迈4则ABC面积的最大值为x二-x=Mx222-迈2(1)x2-y2=4(y工0)(2)、；5【解析】(1)消去参数t得的普通方程l1:y=k(x-2)；消去参数m得l2的普通方程J：y=k(+2).设P(x,y)，由题设得Iy=k(x-2)_1(x+2)，消去k得x2-y2=4(y主0).y=kX+所以C的普通方程为X2-y2=4(y丰0).(2)C的极坐标方程为P2Cos2。-sin20)=4(0。2n,。丰n).p2(cos2。-sin2。)=4,()得cos。-sin。=2(cos。+sin。丿.p(cos。+sin。)-、2=01

25、故tan。二-3,TOC o 1-5 h z.1 HYPERLINK l bookmark183 o Current Document /从而cos2。,sin20.10代入p2(cos20-sin20)=4得p2=5,所以交点M的极径为春5.【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(1)见解析；(2)见证明【解析】【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即

26、可；，问题转化为只需证明当x(x0)，根据函数的单调问题转化为证ex-x2-xlnx-10，根据xlnxWx(x-l)0时，ex-2x2+x-10恒成立，令k(x)=ex-2x2+x-1,性证明即可.【详解】f(x)1lnx1(1)gd丄(X0),g(x)=2-lnxX当xe(0,e2),g(x)0,当xe(e2,+8),g(x)0，1V先证明lnxWx-1,取h(x)=lnx-x+1，则h(x)=，易知h(x)在(0,1)递增，在(1,+s)递减，故h(x)0时，ex-2x2+x-10恒成立，令k(x)=ex-2x2+x-1,(x20)，则kz(x)=ex-4x+1,令F(x)=k(x)，则

27、F(x)=ex-4,令F(x)=0,解得：x=21n2,VFz(x)递增，故xG(0,21n2时，F(x)W0,F(x)递减，即kz(x)递减，xG(21n2,+8)时，F(x)0,F(x)递增，即kz(x)递增，且k(21n2)=5-81n2V0,kz(0)=20,kz(2)=e2-8+10,由零点存在定理，可知3x1G(0,21n2),3x2G(21n2,2),使得k/(x1)=k/(x2)=0,故0Vxx2时，k(x)0,k(x)递增，当x1xx2时，kz(x)0,故x0时，k(x)0,原不等式成立.【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，

28、属于中档题.(4)24.(I)亍0；(II)m4k3丿【解析】试题分析：(1)当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求.(2)由二次函数y=x2+2x+3=(x+1)2+2在x=-1取得最小值2,f(x)在x=-1处取得最大值m-2,故有m-22，由此求得m的范围.试题解析：5+2x(x-1)(1)当m=5时，f(x)=3(1x1)由f(x)2得不等式的解集为x|(2)由二次函数y=x2+2x+3=(x+1)2+2,知函数在x=1取得最小值2,因为f(x)=在x=1处取得最大值m-2,m+2x(x1)m2(1x1)所以要是二次函数y=x2+2x+3