高中数学人教A版高中必修1第三章函数的应用-《方程的根与函数的零点》教学设计

1、 方程的根与函数的零点教学设计教学内容与内容解析1教材的地位和作用方程的根与函数的零点选自人教A版必修1第三章第一节，是新课程中新增的内容,首先，本课内容可以看作是函数概念的一个子概念，是函数概念外延的一次扩充；给出函数零点概念的目的是把函数与方程联系起来，把所有的中学代数问题都统一到函数的思想指导之下，从这个角度看本节课应承载建立函数与方程数学思想的任务。其次，本节课的主要教学内容是函数零点的定义和函数零点存在的判定依据，这两者显然是为“用二分法求方程近似解”这一“函数的应用”服务的；再长远点看，它是数学分析中的价值定理下放中学课程，为以后进一步学习高等数学打下基础。因此，从中学教材结构看具

2、有承上启下的作用。2.教学内容分析本节课教学的过程主要引导学生用联系的观点理解函数、方程、不等式等内容，让学生体会特殊到一般思想、函数与方程思想、化归与转化思想和数形结合思想。（1）特殊到一般的思想从方程的根与函数的零点知识点本身来讲，在这之前，学生已经能够求一些简单方程的根，例如：一元一次方程，一元二次方程，简单的指数、对数方程等.可从探究学生熟悉的一元二次方程、含指数方程与对应的一元二次函数、指数型函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为切入口，让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识和旧知识形成联系.最后上升到一般函数的零点问题.（2）函数与方程的思想教学的重点是让学生弄清楚方程的根

3、和函数的零点之间的联系和区别.让学生体会我们之所以要通过函数的零点求方程的根，是因为函数的图象和性质，为理解函数零点提供直观的认识，并为判断函数是否有零点、零点的个数以及用二分法求零点的近似值提供支持，这样就将方程的根和函数的零点形成紧密的联系，有利于分析问题的本质.（3）化归与转化思想将求方程根的个数，方程根的近似解转化为函数零点的个数，函数零点的近似值，再转化为两个函数交点的个数，两个函数交点的横坐标的近似值等，在学生的知识体系中形成通理通法.（4）数形结合思想通过观察函数的图象或者两个函数在同一直角坐标系中的图象，将函数的零点与方程的根能更好的结合来,使数学中的数与形联系在一起。并为后面

4、学习“用二分法求方程的近似解”等知识作铺垫.3.教学的重点和难点对于函数的零点，学生有三个认知上的困难：一是，既然函数的零点就是使的实数，那为什么还要学习函数的零点。这种思想上的转变对高一的学生来说比较困难.二是，对零点存在性定理的理解上，需要让学生体会若连续函数在区间上满足，则其在有零点这一结论，又要能够理解逆命题、否命题不一定成立这一结论.三是，理解零点存在性定理只能判断“有”零点，但不能确定零点的个数问题，要让同学们探讨怎样确定零点的个数问题的方法，这对高一的学生来说还很困难.根据以上分析和教学大纲的要求，本节课的重点和难点为：重点：函数零点与方程根之间的联系.难点 ：（1）理解函数零点

5、存在的判定条件；（2）理解求函数的零点个数可以转化为求两个函数交点的个数. 二、教学问题诊断1学情分析(1)知识储备本课在必修1中的最后一章内容，学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质，图像已经有了一个比较系统的认识与理解。特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用。（2）认知能力高一学生刚进人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生

6、置于主动参与的地位。（3）心理基础优势：方程的根已经学习过，函数的零点概念简单易懂，指对幂函数的图象及简单的平移、伸缩、翻折有一定的认识，这为本节课提供了良好的环境。劣势：在初中，学生大多是通过“背概念，做题”的模式学习，这就加大了独立思考知识的产生过程的难度，特别是对数学思想方法的形成是不利的。 2. 预期问题诊断（1）不能从本质上理解零点存在性定理的内涵和外延，滥用零点存在性定理。（2）不能选择适当的方法判断零点的个数问题。（3）不理解为什么要“多此一举”学习零点，对函数图象功能知之甚少。 三、目标与目标解析 根据本科教学内容的特点、大纲的要求及学生的认知水平，我确定了以下三围目标：1.知

7、识与技能(1) 结合熟悉函数的图象，掌握零点的概念，会求简单函数的零点。(2) 理解方程的根和函数零点的关系。(3) 理解函数零点存在的判定条件。2.过程与方法(1) 观察能力：观察函数图像来得出函数零点的存在的判定条件及零点个数的判断。(2) 归纳能力：从具体的例子中归纳一般的，共性的性质定理。3.情感态度与价值观从易到难，顺应学生的学习心理，学生能体会到学习数学的成功感。(2) 以学生为主体，通过学生解决不了的问题，营造主动学习氛围，让学生产生热爱学习数学的积极心理。四、教学支持条件分析1教学方法根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，主要采取启发式教学，以学案为载体，将本节课的学习分为课

8、前、课中、课后三个阶段，通过学生自主学习，小组合作学习和老师指导学习完成。教学过程中，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境，引发新问题的产生，让学生展示相应的数学思维过程，使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段，引导学生独立自主地开展思维活动，深入探究，最终形成概念，获得方法，培养能力。2教学手段教学中使用交互式电子白板辅助教学和实物投影仪。目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。3、教学策略由于学生层次的差异，在教学设计上，遵循“低起点，多层次，高要求”的基本思路。在教学过程中，充分用好举例、特别是图象，以此解决学生疑惑，降低学生学习

9、的困难。五、教学过程设计创设情景，引出新知 求下列方程的根： （设计意图：单刀直入点题）【思考】方程有根吗？如果有，是多少？（设计意图：学生现阶段无法解决这个问题，引起学生兴趣；同时，用数学史的相关知识告知学生答案，让学生知道，学习本节课的必要性，进一步引起学生兴趣.）（数学史相关知识：现在人们已经知道：一次方程、二次方程、三次方程、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程一般不能用公式求解，1824年才由阿贝尔（挪威）证明了五次及高于五次的一般代数方程没有的根式解，1828年伽罗瓦（法国）证明了存在不能用开方运算求解的具体方程，开辟了近世代数学的群论.人

10、们一直在研究方程的近似解方法，值得一提的是，早在十三世纪的中国，秦九韶等数学家就提出了高次方程数值解的解法）（二）研讨新知（这个阶段是在学生有导学案指导下，充分学习后结果的展示和遗漏点的补充.）带着以下问题阅读87页第8段到88页例1之前.探究1：零点的概念1、函数零点的概念：对于函数，我们把使 叫做函数的零点（zero point）.问题1：应用零点定义，回答：函数的零点为 ； 函数的零点为 .【思考】零点和通常意义下得点一样吗？（设计意图：让学生认识到零点不是直角坐标系下的点，而是一个实数.）问题2：已知函数的图像如下图所示，能求出零点吗？（设计意图：初步渗透数形结合思想，并为理解三者关系

11、做好铺垫.）问题3：方程的根，函数的零点，函数图像与x轴交点之间的关系是什么？（小组合作探究）提示：以二次函数为例.（设计意图：二次函数是学生最熟悉的函数，体现学生的思维过程：由特殊到一般的过程.）探究2：零点存在性定理问题4：根据下图，探讨函数在某区间上一定有零点的条件？ 0（填“、=”）；在区间上 零点； 在区间上 零点.（设计意图：先直观感知“连续”的含义，再研究定理.）【思考】1、上图说明若时，必须要求函数图像 才一定存在零点. 2、请自己画图像说明时连续函数不一定有零点.（设计意图：通过学生自己思考和相互合作，在老师用动画展示时充分理解零点存在性定理的两个要求：连续、端点值异号.）零

12、点存在性定理：如果函数在区间上的图象是 的一条曲线，并且有 ，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得 ，这个c也就是方程的根.例1 函数在哪个区间上有零点？（ ） 变式 函数在哪个区间上有零点？（ ） （设计意图：例1和变式主要是一个简单应用，主要考察直接运用零点存在性定理.）探究3：零点的个数问题问题6：若函数在区间上满足定理，则在区间内会是只有一个零点么?（设计意图：零点存在性定理只能用于判断函数有无零点，而无法判断零点的个数问题，培养学生的发散思维和应用意识.）问题7：若函数满足零点存在性定理，加一个什么条件可使函数在区间上只有唯一一个零点？（设计意图：问题6,7,这两个问题逐层递进，本

13、问题较难，需要通过小组合作和教师引导才能得到推论：单调函数至多一个零点，若存在零点，则有唯一一个零点.）问题8：函数在其定义域上有几个零点？（设计意图：针对问题8学以致用.）问题9：函数在其定义域上有几个零点？（设计意图：与问题8相比，此函数不单调，无法再直接运用单调性判断，从而让学生探讨其他方法，即将原函数分解成两个函数求交点的方法.）例2 判断下列函数零点的个数. 【思考】求函数零点个数的方法？（设计意图：通过例2是希望学生在掌握各种求零点个数的方法的基础上，能合理选择不同方法解题；强化对于基本初等函数可以直接求解，对于复杂函数需要转化成两个可画图的函数交点问题，强化转化思想.有的问题可以一题多解，培养学生的发散思维.）变式：求函数零点的个数.（设计意图，进一步强化求零点个数的方法.）3、小结：本节课主