高中数学人教A版高中必修5第三章不等式-基本不等式

1、基本不等式：第1课时一、教学目标1知识与技能 1）掌握基本不等式及其推导，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等; 2）能用基本不等式证明一些简单的不等式及求某些函数的最值.2过程与方法经历从实际情境中抽象出基本不等式的过程，提高数学建模的能力；3情感、态度与价值观体会数学来源与生活实践，可以解决实际问题，感受数学公式的抽象美.二、教学重点、难点重点：探究并掌握基本不等式的推导过程和几何意义；难点：基本不等式等号成立条件及应用它求最值。三、教学方法 启发式，讲练结合四、教学过程（一）创设情景，导入课题如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的

2、会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系.（二）师生互动，探究新知1探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为a,b ,那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有.2得到结论：一般的，

3、如果思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 当所以，即4基本不等式的产生.特别的，如果a0,b0,对于，我们用分别、代替a、b ，可得.通常我们把上式写作： 1）指导同学自己完成这个基本不等式的代数证明用分析法证明：要证 (1)只要证 a+b (2)要证（2），只要证 a+b- 0 （3）要证（3），只要证 （ - ） 0 （4）显然，（4）是成立的. 当且仅当a=b时，（4）中的等号成立. 5. 基本不等式的几何意义探究：在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？师生共同讨论：

4、易证tADtDB，那么D2AB即D.这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立.因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”6. 基本不等式的其它解释或描述1）如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2）在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（三）概念辨析，应用举例例1. 求证证明：当且仅当a= 即a=1时，等号成立.当且仅当 即a=b时，等号成立.说明：用基本不等式证明要关注

5、等号成立的条件.例2 :(1) 若x0,求的最小值; (2)若x0和=36两个前提条件;(2)中x0来转化.解(1) 因为 x0 由基本不等式得,当且仅当即x=时, 取最小值12.(2)因为 x0, 由基本不等式得:,所以 .当且仅当即x=-时, 取得最大-12.利用不等式求最值的规律技巧总结 ：利用基本不等式求最值时,每个项必须为正数,若为负数,则添负号变正；注意检验等号。变式练习：若函数 ，求函数的最小值？解：当且仅当时，即x=3时取等号，函数的最小值为4（四）课堂练习：(选用)2.若函数 ，在处函数有最小值，求的值？3.已知的最大值？4.若实数满足，求的最小值？（五）课堂小结1. 两个基本不等式的推导及意义1）a2b22ab；2）（均值不等式）2. 利用基本不等式证明一些简单的不等式.3. 用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系可以求函数一些的最值。用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，所涉及到的各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，即不等式中“=”