中考数学压轴题 《简单的四点共圆》

1、简单的四点共圆解题方法如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称之为四个点共圆一般简称为”四点共圆”四点共圆常用的判定方法有：一若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆如图，若OAOBOCOD，则A，B，C，D四点在以点O为圆心、OA为半径的圆上AODBC【答案】（1）略；（2）AB，CD相交成90时，MN取最大值，最大值是2【提示】（1）如图，连结OP，取其中点O，显然点M，N在以OP为直径的O上，连结NO并延长，交O于点Q，连结QM，则QMN90，QNOP2，而MQN180BOC60，所以可求得MN的长为定值PCQMONBOAD（2）由（1）知，四边形PMON内接于O，且直径OP2，而M

2、N为O的一条弦，故MN为O的直径时，其长取最大值，最大值为2，此时MON90二若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆如图，在四边形ABCD中，若AC180（或BD180）则A，B，C，D四点在同一个圆上ADBC【答案】（1）略；（2）AD33DE；（3）ADDEtan【提示】（1）证A，D，B，E四点共圆，从而AEDABD45，所以ADDE1（2）同（1），可得A，D，B，E四点共圆，AEDABD30，所以ADDEtan30，即AD33DE三若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆如图，在四边形ABCD中，CDE为外角，若BCDE，则A，B，C，D四点在同一

3、个圆上ADBCE【答案】略四若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆如图，点A，D在线段BC的同侧，若AD，则A，B，C，D四点在同一个圆上AGDBC【答案】略诸多几何问题，若以四点共圆作桥梁，就能与圆内的等量关系有机地结合起来利用四点共圆，可证线段相等、角相等、两线平行或垂直，还可以证线段成比例，求定值等例题讲解例1如图，在ABC中，过点A作ADBC与点D，过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分别为E，F求证：B，E，F，C四点共圆AAEEBFDCBFDC证明因为DEAB，DFAC，所以AEDAFD180，即A，E，D，F四点共圆2连

4、结EF，则AEFADF因为ADBC，DFAC，所以FCDADFAEF，所以B，E，F，C四点共圆例2在锐角ABC中，ABAC，AD为BC边上的高，E为AC的中点若M为线段BD上的动点（点M与点D不重合），过点C作CNAM与点N，射线EN与AB相交于点P，证明：APE2MADAAEEPNPNBMDCBMDC证明如图，连结DE因为ADBC，CNAM，E为AC的中点，所以DEAECENE，从而A，N，D，C在以点E为圆心、AC为直径的圆上，所以DEN2DAN由题意可得D为BC的中点，所以EDAB，所以APEDEP2MAD进阶训练1已知O的半径为2，AB，CD是O的直径，P是BC上任意一点，过点P分别

5、作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M（1）如图1，若直径AB与CD相交成120角，当点P（不与B，C重合）从B运动到C的过程中，证明MN的长为定值；（2）如图2，求当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值PPCBCMONBMONADAD图1图2答案：（1）略（2）AB，CD相交成90时，MN取最大值，最大值为2【提示】（1）如图，连接OP，取其中点O，显然点M，N在以OP为直径的O上连结NO并延长，交O于点Q，连结QM，则QMN90，QNOP2而MQN180BOC60，所以可求得MN的长为定值3CQPOBMNOAD图1（2）由（1）知，四边形PMON内接于O，且直径OP2而MN为O的一条弦，故MN为O的直径时，其长取最大值，最大值为2，此时QMN90D2在RtABC中，BAC90，过点B的直线MNAC，为BC边上一点，连结AD，作DEAD交MN于点E，连结AE（1）如图1，当ABC45时，求证：ADDE；（2）如图2，当ABC30时，线段AD与DE有何数量关系？请说明理由；（3）当ABC时，请直接写出线段AD与DE的数量关系（用含的三角函数表示）FAMAEEBDCBDCNG图1图2答案：（略）；（2）AD33DE；（3）ADDEt