圆锥曲线焦点三角形推导_第1页
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文档简介

1、212 # 解：在PFF中，设,FPF=a，12121=r，1|PF|=r，由余弦定理得即rr122b21cosa椭圆焦点三角形1椭圆焦点三角形定义及面积公式推导（1）定义：如图1,椭圆上一点与椭圆的两个焦点F,F构成的三角形PFF1212称之为椭圆焦点三角形（2）面积公式推导PFrrcosa=2b2rr1212212 # #212 1.12b2.7sinayaS=rrsina=xxsina=b2=b2tanPF1F221221cosa1+cosa2例1焦点为F1，F2的椭圆4924=1上有一m，若MF1-MF2=0，求MF1F2的面积解:/MF-MF=0,12SMF1F2b2tana24ta

2、j9=24r2212例2.在椭圆的乂兰=1（ab0）中，F,F是它的两个焦点，B是短轴的a2b2一个端点，M是椭圆上异于顶点的点，求证：，FBF,FMF.1212证明：如图2，设M的纵坐标为y，0SBF1F2b2tanFBFFMFi2b2tan1222FBFFMF艮卩tani缶tani2,22又LFBF，-FMF都是锐角,212212故丄FBF丄FMF2122120从而有FBFFMF12122双曲线焦点三角形定义及面积公式推导（1）定义：如图3,双曲线上一点P与双曲线的两个焦点F,F构成的三角12形PFF称之为双曲线焦点三角形.12解：在PFF中，设FPF_a,PF_r,|PF|_r,由余弦定

3、理得121211I2丨2PF2+PF2FF2r2+r2(2c)2COS_1212_13rrcosa_rr2b21212即rr122b21cosSPF1F2.12b2.7sin7_rrsin二一xxsina_b2=b2cot.1221cos1cos2例3、已知双曲线16x29y2_144，设F,F是双曲线得两个焦点.点P在12双曲线上，PF-PF_32,求FPF的大小.（2）面积公式推导：212 # #212 # #解：双曲线的标准方程为壬-話_212 S=1PFI，IPFIsinZFPF=132sinZFPF=16sinZFPF,PF22121221212从而有16sinZFPF=16cot，件2=16sinZ件2,1221一cosZFPF1一cosZFPF12cosZFPF=0,12ZFPF=90。12例4：椭圆扌+冷=1与双曲线彳-y2=1的公共焦点为F1,F2，p是两曲线的一个交点，求cosZFPF的值.12解：在椭圆和双曲线中异算PFF面积12T2tan=S2a1tan2=，22PF1F2a=1cot,2cosa二a11tan212=_2=11+tan21+1322开拓：从上例我们不难发现，若椭圆工+卷=吧b0）和双曲线1a21X21=1(a0,b0)有公共的焦点F,F和公共点P，那么PFF的面积a2b222

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