圆锥曲线的综合经典例题

1、经典例题精析类型一：求曲线的标准方程截得的弦AB的中点横a1.求中心在原点，一个焦点为且被直线坐标为的椭圆标准方程.选择相应的标准方程，再利用思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位）,待定系数法确定、（定量）.解析：方法一：因为有焦点为，所以设椭圆方程为，由，消去得所以解得故椭圆标准方程为方法二：设椭圆方程，因为弦AB中点，所以,（点差法）所以故椭圆标准方程为方笳.举一反三：【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为求该椭圆的标准方程.TOC o 1-5 h z【答案】依题意设椭圆标准方程为()，并有，解之得，椭圆标准方程为2根据下列

2、条件，求双曲线的标准方程.与双曲线有共同的渐近线，且过点；与双曲线有公共焦点，且过点解析：(1)解法一：设双曲线的方程为由题意，得，解得，所以双曲线的方程为解法二：设所求双曲线方程为)，将点局代入得，TOC o 1-5 h z所以双曲线方程为即(2)解法一：设双曲线方程为一=1由题意易求又双曲线过点，又T,故所求双曲线的方程为解法二：设双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置(定位)，选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、在第(1)小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便第(2)小题实轴、虚轴没有唯一给出故应答两

3、个标准方程.求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素(、及准线)之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为().举一反三：【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.(1)一渐近线方程为，且双曲线过点(2)虚轴长与实轴长的比为乳4,焦距为10.【答案】(1)依题意知双曲线两渐近线的方程是，故设双曲线方程为，点在双曲线上,，解得所求双曲线方程为(2)由已知设，依题意双曲线方程为 HYPERLINK l bookmark0，则()，解得或.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程:(1)过点；(2)焦点

4、在直线：上思路点拨：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析,般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论解析：(1)7点在第二象限，抛物线开口方向上或者向左当抛物线开口方向左时，设所求的抛物线方程为)，过点当抛物线开口方向上时，TOC o 1-5 h z设所求的抛物线方程为只(),过点，,所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，(2)令得，令得，抛物线的焦点为或当焦点为时，：，此时抛物线方程；焦点为时，：，此时抛物线方程为所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，总结升华：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的

5、标准方程后求解，以致失去一解求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.举一反三：【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.焦点为F(4,0)；准线为；焦点到原点的距离为1；过点(1,2)；(5)焦点在直线x-3y+6=0上.【答案】所求抛物线的方程为y2=16x；所求抛物线的标准方程为x2=2y；所求抛物线的方程y2=4x或x2=4y；所求抛物线的方程为宀处或；所求抛物线的标准方程为y2=24x或x2=8y.【变式2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴负半轴上，过顶点且倾角为的弦长为，求抛物线的方程.【答案】设抛物线方程为()，又弦所在直线方

6、程为由，解得两交点坐标，:，解得.抛物线方程为类型二：圆锥曲线的焦点三角形已知、是椭圆()的两焦点，P是椭圆上一点，且，求的面积.思路点拨：如图求的面积应利用，即.关键是求由椭圆第一定义有，由余弦定理有，易求之.解析：设，依题意有【变式3】已知椭圆的焦点是，直线是椭圆的一条准线.【变式3】已知椭圆的焦点是，直线是椭圆的一条准线.(1)2-(2)得轲(1+口二4(/),举一反三：【变式1】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若,则的面积为（）TOC o 1-5 h zA.B.C.D.【答案】依据双曲线的定义有，由得、，又，贝y，即，所以，故选A.【变式2】已知双曲线实轴长6,过左焦点的弦交

7、左半支于、两点，且，设右焦点，求的周长.【答案】：由双曲线的定义有：，两式左、右分别相加得（即故的周长(2)(2)求椭圆的方程;设点p在椭圆上,且用卜训二1，求【答案】.设则,又【变式4】已知双曲线的方程是求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且的大小【答案】(1)由得，渐近线方程,.焦点、，离心率思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.36+64-10064【变式5】中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点和TOC o 1-5 h z，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4,离心率之比.（1）求椭圆与双曲线的方程；（2）

8、若为这两曲线的一个交点，求的余弦值.【答案】（1）设椭圆方程为（），双曲线方程，则，解得 HYPERLINK l bookmark12故所求椭圆方程为，双曲线方程为（2）由对称性不妨设交点在第一象限设、由椭圆、双曲线的定义有：解得由余弦定理有类型三：离心率已知椭圆上的点和左焦点，椭圆的右顶点和上顶点，当（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.?尹2+y=1TOC o 1-5 h z解析：设椭圆方程为。心(),贝y，即,即,.又,总结升华：求椭圆的离心率，即求的比值，则可由如下方法求可直接求出、；在不好直接求出、的情况下，找到一个关于、的齐次等式或、用同一个量表示；若求的取值范围，则想办法找不等关系

9、.举一反三：【变式1】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.【答案】连接吒，贝y是直角三角形，且令，贝y,即，所以，故选D.【变式2】已知椭圆()与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，F点是左焦点，且，求椭圆的离心率.思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.TOC o 1-5 h z法一：,又，代入上式，得，利用代入，消得，即由，解得，,.法二：在AA

10、BF中，即下略)【变式3】如图，椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过其右焦点F作斜率为1的直线,交椭圆于A、B两点，若椭圆上存在一点C，使.求椭圆的离心率.【答案】设椭圆的方程为(),焦距为则直线1的方程为:由，消去得TOC o 1-5 h z设点、，则*+,.c点坐标为C点在椭圆上,又【变式4】设、为椭圆的两个焦点，点是以为直径的圆与椭圆的交点，若，则椭圆离心率为.【答案】如图，点满足，且在中，有：严尹TOC o 1-5 h z令此椭圆方程为门卜则由椭圆的定义有，又,，即.求此椭已知、为椭圆的两个焦点，为此椭圆上一点，且圆离心率的取值范围；解析：如图，令，则在中，由正弦定理，令此椭圆方程为()

11、，则)，22思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.口+Q二-7T3，且为三角形内角,即此椭圆离心率的取值范围为举一反三:【变式1】已知椭圆,F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P,，求其离心率的取值范围.【答案】F1PF2中，已知，IFF2I=2c,IPFI+IPF2I=2a,由余弦定理：4c2=IPF1I2+IPF2I2-2IPF1IIPF2Icos120。又IPF1I+IPF2I=2a联立得4c2=4a2-IPF1IIPF2l,【变式2】椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别A.，若B.，则该椭圆离心率的取值范围是（）C.D.22思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次

12、方程，使问题得以解决.22思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.解得【答案】由思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.所以选D.TOC o 1-5 h z故离心率2【变式3】椭圆中心在坐标系原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆P、Q两点，且OP丄OQ,求其离心率e的取值范围.【答案】e,1)【变式4】双曲线(a1,b0)的焦距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和s三c.求双曲线的离心率e的取值范围.【答案】直线的方程为bx

13、+ay-ab=0.由点到直线的距离公式，且a1,得到点(1,0)到直线的距离.同理得到点(-1,0)到直线的距离由S三C,得三c,即5a三2c2.于是得5三2e2.即4e4-25e2+25W0.解不等式，得We2W5.由于e1,所以e的取值范围是类型五：轨迹方程如7.已知中，为动点，若、边上两中线长的和为定值15.求动点的轨迹方程.思路点拨：充分利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一应给以重视解法一：设动点，且，则、边上两中点、的坐标分别为即从上式知，动点到两定点故动点的轨迹是以，圆，挖去点动点的轨迹方程是解法二：设的重心，则点的轨迹是以， HYPERLINK l bookmark30且，其

14、方程为(又，代入上式，得,的距离之和为常数30，为焦点且，的椭()，动点，且，为焦点的椭圆(挖去点)，)()为所求.思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.总结升华：求动点的轨迹，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便法一：设，动圆半径，动圆与直线切于点，点思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.于反映这种联系的坐标形式，建立等式，利用直接法或间接法得到轨迹方程.举一反三：【变式1】求过定点血且和圆：相切的动圆圆心的轨迹方程.【答案】设动圆圆心,动圆半径为，(1)动圆与圆外切时，(2)动圆与圆内切时，由(1)、(2)有动圆圆心M的轨迹是以、为焦点的双曲线，且，故动圆圆心的轨迹方程为【变式3】已知圆的圆心为M,圆的圆心为M2,