山东大学电气学院电路：十五章

1、第十五章 电路方程的矩阵形式本章重点：1. 电路的计算机辅助分析2. 电路的关联性质和基尔霍夫定律的矩阵表示3. 结点电压方程的矩阵形式4. 状态方程i1i2i3i1i2i3i1i2i3抽象i = 0抽象支路+-一. 图的基本概念R2CLuSR1抽象抽象无向图有向图关于图的有关概念的复习 +-连通图图不连通图+-抽象连通图抽象不连通图1. 图G=支路，节点允许孤立节点存在二 . 名词和定义2.子图 路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达 另一节点所经过的支路构成路经。3. 连通图图G的任意两节点间至少有一条路经时称G为连通图。4.有向图图中的方向表示原电路中支路电压和电流关联参考方

2、向。回路、树一. 回路(1)连通；(2)每个节点关联支路数恰好为2。12345678253127584回路不是回路回路L是连通图G的一个子图。具有下述性质树不唯一树支：组成树的支路连支：属于G而不属于T的支路二 . 树 (Tree)树T是连通图G的一个子图，具有下述性质：(1)连通；(2)包含G的所有节点和部分支路；(3)不包含回路。16个树是连接全部结点所需最少支路的集合。树支数 bt= n-1连支数 bl=b-(n-1)单连支回路（基本回路）1234567145树支数 4连支数 3单连支回路独立回路15-1 割集 定义：连通图G的一个割集是G 的一个支路集合，把这些支路 移去将使G 分离成

3、两部分，但是若少移去一条支路图G 仍是连通的，常用Q表示。例： 2 4 5 6 1 3 4 5 6 2 1 3 2 4 5 6 1 3 G Q1(1,3,6) Q2(4,5,6) 支路集合Q ： a) 这些支路移去将使G 分离成两部分; b) 但是若少移去一条支路图G仍是连通的。 1. 割集的概念 5 6 3 移去支路集合(3,5,6) 2 4 1 G ，图G虽被分为两个部分，但少移去支路3图G仍被分为两个部分。所以支路 (3,4,5,6)非割集。 ，图G未被分为两个部分， 所以支路(3,5,6)非割集。移去支路集合(3,4,5,6) 3 4 6 5 2 1 G 属于同一割集的所有支路电流应满

4、足KCL，故可用割集写出电路的KCL方程。 在G上作闭合面确定割集 KCL适用于割集 2 4 5 6 1 3 G 一般方法：作一闭合面，包围G的某些结点，若把与闭合面相切割的所有支路移去，G被分成两个部分，则这一组支路集合构成一个割集 。割集 Q1(4,5,6) （这是第点的自然结果） 割集 Q2(1,2,5,6) 3 4 5 这样得到n-1个割集，每一割集对应一条树支，故称单树支割集。 2. 独立割集组 独立割集组 对应一组线性独立的KCL方程的割集。 单树支割集(基本割集)： a) 选一个树T; b) 移去T的一条树支，T被分成两个部分T1和T2; c) 连接T1、T2的所有连支加上移去的

5、这条树支便构成了一割集。2 6 1 例1： 2 4 5 6 1 3 G 割集Q1(1,3,6)割集Q2(1,2,4)割集Q3(1,2,5,6)Q1 Q2 Q3 选支路(4,5,6)构成树T例2： 1 2 3 4 5678981 3 4 62 579Q1 Q4 Q2 Q3 单树支割集是独立割集 对应一组线性独立的KCL方程。 Q1 (1,2,3,4) Q2 (3,5,6,8) Q3 (4,6,7,8) Q4 (4,6,9) 选支路(2,5,7,9)构成树T 图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式：图的矩阵表示结点支路关联矩阵回路支路回路矩阵割集支路割集

6、矩阵15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵一.关联矩阵A：描述支路与结点之间的关联关系关联：支路k 与节点j 相连，则称支路k与节点j关联，否则为非关联。Aa的任一元素ajk定义如下：ajk1支路k与节点 j 关联，方向离开节点。ajk-1支路k与节点 j 关联，方向指向节点。ajk0支路k与节点 j 非关联。Aa=n b支路b结点 n每一行对应一个结点，每一列对应一条支路。注意1234 1 2 3 4 5 64321154326例：特点每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1，Aa的每一列元素之和为零。矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1行是独立的。故可用(n-1)b阶矩

7、阵A表示，称为降阶关联矩阵，简称关联矩阵。Aa=12341 2 3 4 5 6 支结-1 -1 1 0 0 00 0 -1 -1 0 11 0 0 1 1 00 1 0 0 -1 -1Aa=(n-1) b支路b结点n-1 A的某些列只具有一个+1或一个1，这样的列对应与划去结点相关联的一条支路。被划去的行对应的结点可以当作参考结点。特点关联矩阵A的作用用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程；设b条支路电流列向量为：则：即矩阵形式的KCL：Ai=0 (1)4321154326用矩阵AT表示矩阵形式的KVL方程。设b条支路电压列向量为：(n-1)个节点电压列向量：即有：(2)支路电压用节点电压表示出

8、来，自动满足KVL，故(2)式是用A表出的KVL矩阵方程。4321154326解：43211543261234 1 2 3 4 5 6例：已知关联矩阵A，求有向拓扑图。可见A与图建立了一 一对应关系，A可表征电路的拓扑性质。逆问题：给出A，画出图G二. 回路矩阵B: 描述支路与回路之间的关联性质。设有向图的独立回路数为l，支路数为b，且所有的回路与支路均加以编号，则回路矩阵B是一个l b阶矩阵.B的任一元素bjk定义如下：bjk1支路k与回路j 关联(在回路上)，且方向一致。bjk-1支路k与回路j 关联(在回路上) ，方向相反。bjk0支路k与回路j 非关联（即不在回路上）。B=l b支路b

9、独立回路 l注意每一行对应一个独立回路，每一列对应一条支路。123 1 2 3 4 5 64321154326123例： 给定B可以画出对应的有向图。注意 独立回路、对应一个树的单连枝回路得基本回路矩阵Bf基本回路矩阵4321153246231123 1 2 3 4 5 6lt一般应有支路排列顺序为先连支后树支，回路顺序与连支顺序一致。 连支电流方向为回路电流方向；连支编 号为回路编号。规定根据回路矩阵的定义应有：(3)回路矩阵B的作用用回路矩阵B表示矩阵形式的KVL方程；设b条支路电压列向量为： B u =1 0 0 -1 -1 00 1 0 1 0 10 0 1 0 -1 1 Bf u =

10、 0ul+Btut=0ul= - Btut连支电压可以用树支电压表示。用回路矩阵BT表示矩阵形式的KCL方程注意设l个独立回路电流的列向量：则支路电流列向量(4)支路电流用回路电流表示自动满足KCL。4321154326123Bf= Bt 1 用连支电流表示树支电流注意树支电流可以用连支电流表出。三、 割集矩阵Q: 描述支路与割集的关联性质。设有向图的节点数为n，支路数为b，则独立割集数为(n-1)。为每个割集编号并指定一个方向，于是割集矩阵Q为(n-1) b阶矩阵，行对应割集，列对应支路。Q的任一元素qjk定义如下：支路k与割集j 关联（在割集中），且方向一致。支路k与割集j 关联，且方向相

11、反。qjk0支路k与割集j 非关联（不在割集中）。qjk1qjk-1Q=(n-1)b支路b割集数注意每一行对应一个基本割集,每一列对应一条支路.123 1 2 3 4 5 6例：n13 独立割集数15432642Q23Q31Q1若选树T，按先树支后连支的顺序编号，且以树支方向和编号为割集的方向和编号，则单树支割集为：123 1 2 3 4 5 6tl42651343Q32Q21Q1显然基本割集矩阵Qf的作用用基本割集矩阵Qf表示矩阵形式的KCL方程。根据割集矩阵的定义应有：(5)设是支路电流列向量 Qf i =1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 -1 -1 0 0 1 1 0 -11设(n

12、-1)个树支电压列向量：定义树支电压为相应割集的割集电压，则支路电压列向量(6)例：42651343Q32Q21Q1用QfT表示矩阵形式的KVL方程回路矩阵表示时 Qi =0 可写成 回路矩阵和割集矩阵的关系注意树支电流可以用连支电流表出。矩阵形式的KVLQfTut=u连支电压可以用树支电压表示。注意QQi=0QTut=u小结：ul = - BtutABAi=0BTil=iKCLKVLATun=uBu=0 15-5 节点电压方程的矩阵形式 1. 支路方程的矩阵形式 写支路约束，必须涉及到支路的具体结构和内容。为此定义较具代表性的复合支路，又可称为一般支路。 前已导出矩阵形式的拓扑约束，为导出节

13、点方程的矩阵形式，还需要将支路约束矩阵化。i ) 一般支路的定义 +Zk 说明: a. Zk为Rk, jLk 或 /jCk ；b. 不允许存在受控电压源;c. 不允许存在无伴电压源;d. 受控电流源的控制变量是另 一支路中无源元件的电压或 电流。 无受控源，即；电感间无互感（M=0）记Yk=1/Zk ii ) 支路方程的矩阵形式+Zk 对整个电路有： 即 支路电流、电压，支路电流源、电压源列向量： 其中，Y 是对角阵 ，即 注：实际分析中，复合支路中的电压源、电流源其极性和方向可 能与一般支路中的相反，此时在 和 中应填负号。例：写出图(a) 、(b)所示电路支路方程中的各矩阵。 对图(a)，

14、作出它的有向图为： 支路方程及其各矩阵为： 1 3 6 5 4 2 0 +R3C6uS6iS4R5R4L1L2iS3(a) 0 1 3 6 5 4 2 0 对图(b)，作出它的有向图为： 支路方程的各矩阵为： +R3C6uS6iS4R5R4L1L2iS5+uS4(b) 0 M*+-+-*+-+- 无受控源，即；电感之间有互感 设第1支路至第g支路间均有互感，则 其中，Zi=jLi，i=1,2,g。 互感电压前的正负号取决于各电感的同名端和电流的参考方向，且M12=M21; M13=M31；说明：即 注意到 ，支路方程可写为： 其中：Y=Z1 ，Z为支路阻抗矩阵，其主对角线元素是各支路阻抗，非对

15、角线元素是相应支路间的互感阻抗，Z不是对称阵，故Y亦非对角阵。a. 具有互感支路应连续编号，使Z中与这些支路有关的元素 集中在一个子矩阵中，这样求逆方便； j k jk j k jk式中 注意：( Y=Z1 ) b. 若互感成对出现时，应把每对这样的互感支路编成相邻支路。设 j，k为相邻支路，电流的进端为同名端，则有子矩阵Y中相应有子矩阵 例：写出图示电路支路方程中的各矩阵。 1 3 6 5 4 2 0 R3C6iS4R5R4L1L2iS3(a) 0 M12 作出有向图 支路方程的各矩阵为： jL1jL2jM12jM21R3 R4 R5 Z = 1/jC6 0 0 G3 G4 G5 Y=Z1

16、= jC6 0 0 jL1jL2jM12jM21R3 R4 R5 Z = 1/jC6 0 0 支路中有受控电流源，但无互感 注意到 +Zk 其中， Y=Z1 。由于 有 由式(1),(2), 得到 若k支路存在受j支路元件电压或电流控制的受控源，则D的元素dkj非零，且有：有 Y=Y +D 注意到Y = diagY1,Y2,Yb以及D的元素形成原理，则对于Y：对角线上的元素为支路导纳。非对角线上， 如果k支路存在受j支路元件电压或电流控制的受控源，则如果无受控源，则Ykj=0 。Y=Y +D 设+Yk_+Yj_+对第k条支路：写成矩阵形式：注意：支路方向与（控制量）方向一致，此时为正，否则为负

17、。式中例：电路中,id2=g21u1，id4=46i6， 写出支路方程的各矩阵。 +R1C3uS2iS4R20L5L6id2+uS4C4id4iS1+u10 5 1 3 2 4 6 解：G1 g21 Y= jC3 0 0 jC4 G2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 电压源向量与电流源向量为： 支路导纳矩阵为 归纳起来，四种情形下支路方程均有如下形式：Y = 无受控源，无互感： Y = diagY1,Y2,Yb 无受控源，有互感： Y=Z1 ，Z可直接列写； 有受控电流源，但无互感： Y=Y +D ， Y=Z1 ，Y可以直接列写； 有受控电流源，有互感：Y=Y +D ， Y=Z1 。

18、支路中有受控电流源，含有互感 可以导出： Y=Y +D Y=Z1 以及 2. 矩阵形式的节点电压方程拓扑约束 KCL:(1)KVL:(2)支路约束: (3)(3)式代入(1)式，得：(4)又将(2)式代入(4)式，有 (5)(5)式即结点电压方程的矩阵形式。令(5)式变为：注入节点的电流列向量节点导纳矩阵例：电路如图，图中元件的数字下标代表支路编号。在下列两种情况下写出结点方程的矩阵形式. (1) M12=0 ;(2) M120.R3C6iS4R5R4L1L2iS3 0 M12 0 1 3 6 5 4 2 解：电压源向量与电流源向量为： 关联矩阵为： 支路导纳矩阵为 (1) M12=0，由公式

19、 有 = Yn 右边：所以 ，结点电压方程成为：比较 ：R3C6iS4R5R4L1L2iS3 0 M12 与手写的一致 (2) M12 0 G3 G4 G5 Y=Z1 = jC6 0 0 jL1jL2jM12jM21R3 R4 R5 Z = 1/jC6 0 0 G3 G4 G5 jC6 0 0 即得 所以 ，结点电压方程成为：说明： 有互感时不能手写节点方程，但可用上述方法通过矩阵运算求得节点电压方程。Yn中各项不能通过观察写出。结点分析法的步骤第一步：把电路抽象为有向图5V13A1A+-0.550.521小结123456第二步：形成矩阵A123A=1 2 3 4 5 6 1 1 0 0 0

20、1 0 -1 1 1 0 0 0 0 -1 0 1 -1123456第三步：形成矩阵Y第四步：形成US、ISUS= -5 0 0 0 0 0 TIS=0 0 0 -1 3 0 T第五步：用矩阵乘法求得结点方程例 15V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A1234561. 画有向图2. 3. 1234565V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A1234564. 5. 6.得 12345例2+US5R5R1L2L3C4IS1MY=Z-1其中5243130例3：iS5guauaG5C3G4+ -*ML2L15243130iS5guauaG5C3G4+ -*ML2L1代入作业：写出节点电压的矩

21、阵形式158 状态方程一、状态变量：表征电路状态的一组最少数目的变量。若已知状态变量在t0时刻的值（一组最少的信息量，或称初始条件）及t 0后的外施激励，则可唯一地确定t 0后电路在任意时刻的性状（可解得状态变量，并由此导出任意元件上的电压电流）从微分方程看，必须知道变量的初始条件；从运算电路看，必须知道电路的附加电源，这就是一组最少信息量的涵义。电路分析中一般选取电容电压uc 和电感电流iL为状态变量。二、状态方程：用状态变量列写的一组独立的一阶微分方程。K(t=0)iLC+uCLR+us在RLC时域分析中，由KVL:高阶微分方程等价于一阶微分方程组。若选uc和iL为变量写成矩阵形式若已知uc(0+)和iL(0+)，可求得uc(t)和iL(t)，继而确定uL(t)和uR(t)，所以上式即为描述动态电路的状态方程。若令x1=uc， x2=iL ，系数矩阵：则状态方程的标准形式:三、状态方程的直观写法编写思路：1. 对只接有一个电容的割集（或节点）写KCL列出duc/dt项，应含有尽量少的非状态变量。2. 对只包含一个电感的回路列写KVL列出diL/dt 项，应含有尽量少的非状态变量。