利用向量法求空间角经典教案 2

1、利用空间向量求空间角目标： 会用向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的方法；一、复习回忆向量的有关学问：（1）两向量数量积的定义：a b | a | b | cos a , b（ 2）两向量夹角公式：cos a , b a b| a | b |a 二、学问讲解与典例分析学问点 1：两直线所成的角（范畴： 0 , ）O 2 b （ 1）定义：过空间任意一点 o 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a与 b ,那么直线 a与 b 所成的锐角或直角,叫做异面直线 a 与 b 所成的角 . （ 2）用向量法求异面直线所成角,设两异面直线 a、b 的方向向量分别为 a 和 b ,a问题

2、1： 当 a 与 b 的夹角不大于 90 时,异面直线 a、b 所成 O的角 与 a 和 b 的夹角的关系？a, b bb问题 2： a 与 b 的夹角大于 90 时,异面直线 a、b 所成的角 aO与 a 和 b 的夹角的关系？a, b| m n |结论：异面直线 a、b 所成的角的余弦值为 cos | cos m , n | m | n |例 1 如图,正三棱柱 ABC A 1C 1 的底面边长为 a ,侧棱长为 2 a,求 AC 和 CB 所成的角 . 解法步骤： 1.写出异面直线的方向向量的坐标；2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角；解：如图建立空间直角坐标系Axyz,就A0 ,0

3、0,C13a ,1a,2a ,C3a ,1a,0 ,B 10 ,a,2a2222C 1AC13a,1a,2a,CB13a,1a ,2a22223x1A Z Cy 1B即cosAC1,CB 1|AC1|CB 1|3a21AC 和CB 所成的角为2ABa2AC 1CB132D总结 :（ 1）cosDF 1,BE 1与cosDF 1,E 1B相等吗？x （2）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区分？学问点 2、直线与平面所成的角（范畴：0 ,2）（图 2）. 摸索：设平面的法向量为 n ,就n,BA与的关系？AnAABOBO（图 1）BO2n,BAnn, BA2据图分析可得：结论：sin|cosn

4、 ,AB|n.AB|n|AB|AA 1B 1B所成角的正弦值例 2、如图, 正三棱柱ABCA 1C 1的底面边长为 a ,侧棱长为2a,求AC 和面分析： 直线与平面所成的角步骤：1. 求出平面的法向量2. 求出直线的方向向量3. 求以上两个向量的夹角, 锐角 其余角为所求角解：如图建立空间直角坐标系Axyz,就AA100,2a,ABy,0,a,0 ,A Z C 1B 1y AC 13a,1a ,2a 设平面AA 1nx ,z B 1B的法向量为22由nAA 102 az0y0取x1,n ,1 ,0 0 xADCBnAB00ay0z设AA 1B所成角为x AC 和面sin|cosAC1,n|A

5、C 1|n|3 2a2|1|AC1N3a22AC和面AA 1B所成角的正弦值1 . 2学问点 3：二面角 （范畴：0 ,）方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面 的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角；如图,设二面角l的大小为,其中ABl,AB,CDl,CD. B A 结论：coscosAB,CD|ABCD|l C D AB|CD法向量法1nl cosn1, n22n 1,n2|n 1, n 2|l n 1n2n 1, n 2n 1,n 2n 1,n2.n2|n结论：cosn 1.n2或coscosn 1n 1|n 2|n 1|n2归纳： 法向量的方向：一进一出,二面角等于法向

6、量夹角；同进同出,二面角等于法向量夹角的补角. 例 3、如图, ABCD 是始终角梯形,ABC90, SA面 ABCD ,SAABBC1,AD1 2,z求面 SCD 与面 SBA所成二面角的余弦值. S解：如图建立空间直角坐标系Axyz,就BCA00,0,C,1,10,D0 ,1,0 ,S0 ,0 1, xADy2易知面 SBA的法向量为n 1AD0,1,0 ,CD ,11,0 ,SD,01,1 2221 21, 设面 SCD 的法向量为n 2x ,y,z ,就有xy0,取z1,得x,1 y2,n21 ,2yz02cosn1,n2|n 1|n2|6即所求二面角的余弦值为6 . 3n1n23C

7、1的练习1： 如图,正三棱柱ABC ABC 的全部棱长都为2 , D 为CC 中点求二面角AA 1B余弦值；解：取B C 中点 1 1O ,以 O 为原点, OB ,1 OO ,OA的方向为 x 1, ,z轴的正方向建立空间直角坐标系设z 平面AA1B的法向量为nx, ,zAB0,1 ,3 ,0B A C D F 1AC 1y AA 10 2 0, nAB ,nAA 1n.AA 12y0O n.ABx3 z 1令z1,得平面A AD 的一个法向量n30, 1,BC 10 B 1x 设平面A 1BC 1的法向量为v a ,b ,c BA 1,1 ,23,2 , ,2vBA 1,vBC 1n.BA

8、 1a2 b3 c0n.BC 12 a2 b0令a1,得平面A 1BC 1的一个法向量v,1,13 AA 1BC 1的余弦值为15；cosn,vn.v2315, 所求的二面角nv2555练习 2: 如图 2,在底面是直角梯形的四棱锥SABCD 中, AD/BC , ABC=900,SA面 ABCD ,SA=1 ,2y AB=BC=1 , AD=1 ； 求侧面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的余弦值；2解：以 A 为原点如图建立空间直角坐标系,就S（0,0,1 ）, A 2D S z B （0, 0,0）, B（0,1,0）,C（1,1, 0）,D（1 ,0,0）,2SA 0,0,1,SB,0,11SD1,0,1,SC,1,11,A 22222明显平面SBA 的一个法向量为n =1 ,0,0,x C 设平面 SCD 的一个法向量为n =x,y,z,就n 平面 SCD 图 2 n2SD02xx2z00取z2,就n22,1 , 2yzn 2SC0就cosn 1,n 2|n 1|n2|122,n 1n 2133所以面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的余弦值为2