专题29 特殊的平行四边形-2021年广东地区中考数学真题与模拟试题精选汇编【含答案】

1、专题29：特殊的平行四边形-2021年广东地区中考数学真题试卷与模拟试题精选汇编一、单选题1（2021广东广州市中考真题试卷）下列命题中，为真命题的是（ ）（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形（2）对角线互相垂直的四边形是菱形（3）对角线相等的平行四边形是菱形（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形A（1）（2）B（1）（4）C（2）（4）D（3）（4）B正确的命题叫真命题，根据定义解答解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故（1）是真命题；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故（2）不是真命题；对角线相等的平行四边形是矩形，故（3）不是真命题；有一个角是直角的平行四边形是矩形，故（4）是真

2、命题；故选：B【点评】此题考查真命题的定义，熟记定义并正确掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键2（2021广州市第十六中学九年级二模）如图，把菱形沿折叠，使点落在上的点处，若，则的大小为（ ）ABCDA根据菱形的性质，已知菱形的对角相等，故推出，从而得出又因为，故，易得解解：根据菱形的对角相等得，根据折叠得，故选：A【点评】此题要熟练运用菱形的性质得到有关角和边之间的关系在计算的过程中，综合运用了等边对等角、三角形的内角和定理以及平行线的性质注意：折叠的过程中，重合的边和重合的角相等3（2021广东广州市中考真题试卷）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C

3、在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（ ）ABCDA构造K字形相似，由面积比得出相似比为2，从而得出A点坐标与C点坐标关系，而P是矩形对角线交点，故P是AC、BO的中点，由坐标中点公式列方程即可求解解：过C点作CEx轴，过A点作AFx轴，点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，CEx轴，在矩形OABC中，设点A坐标为，则点B坐标为，连接AC、BO交于点P，则P为AC、BO的中点，解得：，（不合题意，舍去），点A坐标为，故选A【点评】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，关键是构造相似三角形，根据反比例函数的系数k的几何意义，由面积比得到相似三角形的相似比，从而确定点A与点C的坐标关

4、系4（2021广东九年级一模）菱形的对角线，相交于点，且，则四边形是（ ）A梯形B矩形C菱形D正方形B根据平行四边形的判定定理得到四边形OCED是平行四边形，根据菱形的性质得出ACBD，根据矩形的判定定理证明即可解：DEAC，CEDB，四边形OCED是平行四边形，四边形ABCD为菱形，ACBD，COD90，四边形OCED是矩形，故选：B【点评】本题考查的是平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质，掌握有一个角是直角的平行四边行是矩形是解题的关键5（2021广东九年级其他模拟）如图，在矩形中，为边上一点，将沿直线翻折，使得点的对应点落在边上若，则的长度是（ ）ABCD1B根据折叠性质得到AF=A

5、D=4，DAE=FAE=15，D=AFE=90，进而得到AFB=30，解RtABF，求出，进而求出CF=，求出EFC=60，解RtCEF，即可求解解：四边形ABCD是矩形，DAB=B=C=D=90，AD=BC=4，由折叠可知，AF=AD=4，DAE=FAE=15，D=AFE=90，BAF=BAD-DAEFAE=60，B=90，AFB=30，,CF=BC-BF=，AFB=30，AFE=90，EFC=60，在RtCEF中，故选：B【点评】本题考查了矩形与折叠问题，解直角三角形等知识，理解矩形与折叠性质，根据特殊角三角形函数值解直角三角形是解题关键6（2021广东九年级二模）如图，正方形的边，和 都

6、是以为半径的圆弧，阴影两部分的面积分别记为和，则- 等于（ ）ABCDA图中、图形的面积和为正方形的面积，扇形的面积，因此两个扇形的面积的和正方形的面积，即解：如图示则可得： 正方形的面积；两个扇形的面积；，得：故选：A【点评】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键7（2021广东汕头市九年级一模）如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处折痕为；再将，分别沿，折叠，此时点，落在上的同一点处下面结论：是的中点；当四边形是平行四边形时，其中正确的个数为（ ）A1B2C3D4C由折叠的性质可得DMMN，CMMN，即M是C

7、D的中点；故正确；BAMP，DAMMAPPAB，DMAAMN，CMPPMN，DANM，CMNP，由平角的性质可得D+C180，AMP90，可证ADBC，由平行线的性质可得DAB90，由平行四边形和折叠的性质可得ANPN，由直角三角形的性质可得ABPBMN解：由折叠的性质可得：DMMN，CMMN，DMCM，即M是CD的中点；故正确；由折叠的性质可得：BAMP，DAMMAPPAB，DMAAMN，CMPPMN，DANM，CMNP，MNA+MNP180，D+C180，ADBC，故正确；B+DAB180，DMN+CMN180，DMA+CMP90，AMP90，BAMP90，DAB90，若MNAP，则ADM

8、MNAC90，则四边形ABCD为矩形及ABCD，而题目中无条件证明此结论，故不正确；DAB90，DAMMAPPAB30，由折叠的性质可得：ADAN，CPPN，四边形APCD是平行四边形，ADPC，ANPN，又AMP90，MNAP，PAB30，B90，PBAP，PBMNABPBMN，故正确；故选：C【点评】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质及直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点并灵活运用这些性质是解题的关键8（2021广东九年级二模）如图，四边形为正方形，的平分线交于点，将绕点顺时针旋转90得到，延长交于点，连接，与相交于点有下列结论：；其中正确的是（ ）ABCDD由旋转的性质得，可得；

9、由正方形的性质得，即，进而可得；先证明（SAS），可得，根据，AE平分可得进而可得；先证明，可得，即，故可求解四边形ABCD为正方形，ABCB，ABCCBF90， AGCF，AGF90，GAFF90，BCFF90，GAFBCF，ABECBF（ASA），故此小题结论正确；由正方形的性质得，AE平分，；故此小题结论正确；CBF90，FGCG，BGCG，CBGBCG，ABCDCB90，ABGDCG，ABDC，ABGDCG（SAS），AE平分故此小题结论正确；ABGDCG，CDGBAGCAG，DCHACE，DCHACE，故此小题结论正确；由上可知，正确的结论是，故选D【点评】本题主要是正方形的一个综合

10、题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判断，角平分线的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，涉及的知识点多，综合性强，难度较大灵活运用这些知识解题是关键9（2021广东九年级二模）如图，在正方形中，是边上的一点，将正方形边沿折叠到，延长交于点，连接，如下4个结论：；为中点；其中正确结论的有（ ）A1个B2个C3个D4个D正确证明GCF=GCB，ECD=ECF即可；正确可以证明BG=GA=FG；正确证明AFBF，CGBF即可；正确证明EF:EG=2:5，求出AFE的面积即可解：如图，连接BF四边形ABCD是正方形，AB=AD=BC=CD，GAE=CBG=

11、CDE=BCD=90，由翻折可知：CD=CF，CDE=CFE=CFG=90，DE=EF=4，DCE=ECF，CFG=CBG=90，CG=CG，CB=CF，RtCGBRtCGF（HL），BG=FG，GCF=GCB，设BG=FG =x，ECG=ECF+GCF=（DCF+BCF）=45，故正确，在RtEAG中，EG2=EA2+AG2，(4+x)2=82+(12-x)2，x=6，AB=AD=AE+ED=12，AG=BG=6，G为AB中点，故正确，GF=GA=GB，AFB=90，AFBF，CB=CF，GB=GF，CG是线段BF的垂直平分线，即CGBF，AFCG，故正确，SAEG=68=24，EF:FG

12、=4:6=2:3，EF:EG=2:5，SAFE=24=，故正确，故选：D【点评】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案10（2021广东九年级二模）如图，正方形的边，对角线和交于点，是边上靠近点的三等分点，连接，分别交，于点，连接有下列结论：；其中正确的是（ ）ABCDD由正方形的性质可得， ，通过证明 ，可得，即可求 ，由平行线分线段成比例可求的长，即可求， ，可判断，由勾股定理可求的长，由三角形的面积关系可求，即可求

13、解解：四边形是正方形，且正方形的边长为3， ，是边上靠近点的三等分点，且，故正确；， ，故正确；在中，故正确；，且 ，故正确；故选：【点评】本题是相似综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用相似三角形的性质和勾股定理求出线段的长度是本题的关键二、填空题11（2021广东九年级一模）如图，是将菱形以点O为中心按顺时针方向分别旋转，后形成的图形若，则图中阴影部分的面积为_连接AC，CE，EF，FA，根据旋转可知，四边形为正方形，则阴影部分的面积正方形的面积菱形的面积，利用菱形的性质即可求解解：连接AC，CE，EF，FA，根据旋转可知，四边形为正方形，阴影部分的面积正

14、方形的面积菱形的面积，在菱形中，ABD为等边三角形，菱形的面积，正方形面积，阴影部分的面积正方形的面积菱形的面积【点评】本题考查割补法求面积，掌握菱形的性质和面积公式是解题的关键12（2021东莞市东莞中学初中部九年级一模）如图，在矩形ABCD中，AB3，AD5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则CE_由折叠求出BF和CF，再设CFx，在CEF中用勾股定理列方程即可得答案解：矩形ABCD沿AE折叠，AB3，AD5，AFAD5，BC90，DEEF，BF4，CFBCBF1，设CEx，则EFDE3x，在RtCEF中，CE2CF2EF2，x212（3x）2，解得x

15、，CE故【点评】本题考查矩形性质及勾股定理应用等知识，解题的关键是在RtCEF中用勾股定理列方程13（2021广东九年级三模）如图，已知在正方形中，对角线与相交于点，分别是与的平分线，的延长线与相交于点，下列结论：；其中正确的结论是_（填序号）由正方形的性质和角平分线，可得OAE+EDG22.5,利用和三个角对应相等，即可判断的正误；证明AGFAGD（ASA），可知AG垂直平分DF，即EDEF，即EFDEDFCDF，则EFCD，即可判断的正误；由AGFAGD得AFAD，即可判断的正误；证明EFED，再利用等腰，即可判断的正误解：四边形ABCD是正方形,OADODC45,AOE=90AE，DF分

16、别是OAD与ODC的平分线,DAECDF=22.5,AEO=DEG,在和中AOE=DGE90,AGD90,即AGDF,故结论正确；在AGF和AGD中,；AGFAGD（ASA）,GFGD,垂直平分EFED,EFDEDFCDF,EFCDAB,故正确；AGFAGD（ASA）,ADAFAB,故正确；EFCD,OEFODC45,COD90,EFED,EFED是等腰直角三角形ABAD,故错误故选：C【点评】本题主要考查正方形的性质和应用、垂线平分线的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质，属于几何综合题，中等难度解题的关键是熟练掌握正方形的性质14（2021广东广州市九年级二模）如图，在矩形中

17、，是边的中点，将沿所在的直线折叠得到，延长交于点，已知，则的长是_先根据矩形的性质可得，设，则，再利用勾股定理可得，然后根据翻折的性质可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理求解即可得解：，四边形是矩形，是边的中点，设，则，在中，在中，由翻折的性质得：，在中，即，解得或（舍去）或（舍去），经检验：是原方程的解，且符合题意，则，故【点评】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、利用平方根解方程等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键15（2021广东九年级二模）如图，点E是矩形边上一点，于点F，若，则的长为_ 6根据矩形的性质和解直角三角形即可得到结论解：在矩形中，故答案为6【点评】本题考查了矩形的性质

18、,三角函数的综合,熟练掌握矩形的性质,灵活选择三角函数计算是解题的关键16（2021广东九年级二模）如图，将正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，点的对应点落在正方形的对角线上，若，则的长为_连接，根据正方形的性质得出，求出、三点共线，、三点共线，求出，再根据弧长公式求出答案即可解：连接，四边形是正方形，由勾股定理得：，将正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，点的对应点落在正方形的对角线上，、三点共线，、三点共线，的长是，故【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，弧长公式等知识点，能求出长和旋转角的度数是解此题的关键，注意：一条弧所对的圆心角是，半径为，那么这条弧的长度是17（2021广

19、东九年级二模）如图，某高为60米的大楼旁边的山坡上有一个“5G”基站，从大楼顶端测得基站顶端的俯角为，山坡坡长米，坡度，大楼底端到山坡底端的距离米，则该基站的高度_米如图（见解析），先根据坡度的定义、勾股定理求出的长，从而可得的长，再根据解直角三角形可得的长，然后根据可得的长，从而可得的长，最后根据即可得解：如图，延长相交于点，过点作于点，则四边形是矩形，坡度，设米，则米，在中，解得，米，米，米，米，由题意得：，在中，米，米，米，米，故【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、坡度等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键18（2021广东九年级一模）如图，在矩形纸片中

20、，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，则线段的最小值是_.以点为圆心，长度为半径作圆，连接，当点在线段上时，的长取最小值，根据折叠的性质可知，在中利用勾股定理可求出的长度，用即可求出结论解：如图，以点为圆心，长度为半径作圆，连接，当点在线段上时，的长取最小值，由折叠可知，在中，由勾股定理可得，的最小值，故【点评】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出AC取最小值时点A的位置是解题的关键19（2021广东佛山市九年级一模）如图，点A1，A2，A3，A4，A5，在射线ON上，点B1，B2，B3，B4，在射线OM上，点C1，C2，C3，分别在线段A2B2，A3

21、B3，A4B4，上，且四边形A1B1C1A2，四边形A2B2C2A3，四边形A3B3C3A4，均为正方形，若OA14，A1B12，则正方形A2021B2021C2021D2022的边长为_21.52020根据题意确定出第一个，第二个，第三个正方形的边长，进而以此类推得到一般性规律，即可确定出第2021个正方形的边长解：OA14，A1B12，在RtOA1B1中，tanO，在RtOA2B2中，tanO，B2C11，A2B23，在RtOA3B3中，tanO，B3C21.5，A3B34.5，在RtOA4B4中，tanO，B4C32.25，A4B46.75，正方形边长的变化规律为：AnBn=21.5（n

22、1），正方形A2021B2021C2021D2022的边长为21.5（20211）21.52020故21.52020【点评】本题考查求规律探究问题，锐角三角函数值，利用锐角三角函数值求边长，正方形性质，掌握规律探究方法，求锐角三角函数值方法，利用锐角三角函数值求正方形边长的应用是解题关键，20（2021广东广州市中考真题试卷）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H并与交于点K，连结HG、CH给出下列四个结论（1）H是FK的中点；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有_（填写所有正确结论的序号）（1）（3

23、）（4）由正方形的性质可证明，则可推出，利用垂径定理即可证明结论（1）正确；过点H作交BC于N，交AD于M，由三角形面积计算公式求出，再利用矩形的判定与性质证得，并根据相似三角形的判定与性质分别求出，则最后利用锐角三角函数证明，即可证明结论（2）错误；根据（2）中结论并利用相似三角形的性质求得，即可证明结论（3）正确；利用（1）所得结论并由勾股定理求出FH，再求得DK，即可证明结论（4）正确解：（1）四边形ABCD是正方形，又，即H是FK的中点；故结论（1）正确；（2）过点H作交BC于N，交AD于M，由（1）得，则，四边形ABCD是正方形，四边形ABNM是矩形，即，即解得则，与不全等，故结论（

24、2）错误；（3），即解得由（2）得，；故结论（3）正确；（4）由（1）得，H是FK的中点，由勾股定理得；故结论（4）正确故（1）（3）（4）【点评】本题考查了正方形的综合问题，掌握特殊四边形、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键三、解答题21（2021广东东莞市九年级其他模拟）如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A（6，0），C（0，2），将矩形OABC绕点O逆时针旋转得到矩形ODEF，使得点A的对应点D恰好落在对角线OB上，OE交BC于点G（1）求证：BGO是等腰三角形；（2）求点E的坐标；（3）如图2，矩形ODEF从点O出发，沿OB方向移动，得到矩形ODEF，

25、当移动到点O与点B重合时，停止运动，设矩形ODEF与OBC重叠部分的面积为y，OOx，求y关于x的函数关系式（1）见解析；（2）E点坐标为（2，6）；（3）当0 x6，y6x2，当46x，y6x2，当，y（1）根据题意易证GOB=GBO=30，即GO=GB，从而证明BGO是等腰三角形；（2）作EHx轴于点H，求得OH和EH的长度，即可得到点E的坐标；（3）由直角三角形面积公式求得SOMOx2，SNDB，SOCB6，再分情况讨论，即可得出答案解：（1）由题意知：tanCBO，CBO30，AOBC，BOACBO30，根据旋转的性质得， GOBGBO30，GOGB，BGO是等腰三角形；（2）在RtB

26、CO中，OC2，BCOA6，OBOE4，作EHx轴于点H，BOAEOB30，EOHBOA+EOB60，在RtEOH中，OE4，OH2，EH6，故E点坐标为（2，6）；（3）OOx，OD6，DB4x6，D与B点重合时，则有DB0，4x6=0，解得x =46 令FO与CO交点为点M，ED与CB交点为点N，如图2，SOMOx2，SNDB，SOCB6，当0 x6，y6x2，当46x，y6x2，当，y【点评】本题是主要考查四边形的综合题目，熟知矩形的性质，等腰三角形和直角三角形的性质是解题的关键22（2021广东深圳市九年级二模）如图，在四边形ABCD中，ABAD，DAB90，AC平分DAB，作DE/B

27、C交AC于点E，连接BE（1）求证：四边形DEBC是菱形；（2）若CDE2EDA，CE2，求AD的长；（1）见解析；（2）（1）连接BD交AC于点G根据题意结合等腰三角形的“三线合一”性质可得AGBD，且DG=GB，即AG垂直平分BD根据角平分线性质可得DE=EB，即利用“ASA”易证BGCBGE，可得CG=EG，即CE、BD互相垂直平分，即可得四边形DEBC是菱形；（2）由CAD=45可知GDA是等腰直角三角形，要求AD长，只需求AG长由CE=2，可得CG=GE=，故只需求AE长即可由CAD=45，必构等腰直角三角形，故需作EQAD于点Q由CDE=2EDA，CDE=2GDE，可得EDA=GD

28、E，则由“AAS”可证DEGDEQ，可得GE=EQ=，则可得AE=2，AG=+2，则AD=AG=2+2（1）如图，连接BD交AC于点G，AB=AD，AC平分DAB，AGBD，且DG=GB由AC平分DAB，可得BAC=DAC，又AB=AD，AE=AE，ADEABE， ，在和中， ，综上可知线段CE和线段BD互相垂直平分，即四边形DECB是菱形（2）作EQAD于点Q，四边形DECB是菱形，CDE=2GDECDE=2EDA，EDA=GDE在DEG和DEQ中，AC平分DAB，和为等腰直角三角形， ，【点评】本题为四边形综合题，考查角平分线的性质、平行线的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、

29、等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理正确的作出辅助线是解答本题的关键23（2021广东九年级二模）已知，如图，是菱形的一条对角线，分别是的中点，求证：见解析根据菱形的性质知，根据中点可得，利用全等三角形的判定可得，即可得证明：连接AC,菱形，分别是的中点，是菱形的一条对角线，在和中，【点评】本题考查了菱形的性质,三角形全等的判定和性质,熟练运用菱形的性质和三角形全等判定和性质是解题的关键24（2021深圳市九年级二模）如图，在中，为中点，且（1）求证：四边形是矩形；（2）连接交于点，若，求的长（1）见解析；（2）（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断（2）证明，推出，由此即可解决

30、问题解：（1）证明：，四边形是平行四边形，为的中点，四边形是矩形（2）四边形是矩形，【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型25（2021广东南山学校九年级一模）阅读理解：我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：_，_（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点），请你画出以格点为顶点，为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形（3）如图2，将绕顶点B按顺时针方向旋转60，得

31、到，连接，写出线段，的数量关系为_，并证明（1）矩形，正方形；（2）见详解；（3）DC2BC2AC2，理由见详解（1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可；（2）根据题意画出图形即可；（3）首先证明ABCDBE，得出ACDE，BCBE，连接CE，进一步得出BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出DCE是直角三角形，问题得解解：（1）学过的特殊四边形中是勾股四边形的有矩形，正方形；故矩形，正方形；（2）如图，（3）线段DC，AC，BC的数量关系为：DC2BC2AC2证明：如图2，连接CE，由旋转得：ABCDBE，ACDE，BCBE，又CBE60，CBE为等边

32、三角形，BCCE，BCE60，DCB30，DCEDCBBCE306090，DC2EC2DE2，DC2BC2AC2故DC2BC2AC2【点评】本题考查四边形综合题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题26（2021深圳市南山外国语学校（集团）九年级一模）如图，在等边中，于点，点是上一点，延长至点，使（1）求证：四边形是菱形；（2）若四边形是正方形，求的长（1）见解析；（2）（1）利用等边三角形三线合一可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再利用垂直平分线的判定与性质可得，即

33、可得证；（2）利用正方形的性质可得为等腰直角三角形，解直角三角形即可求解（1）证明：在等边中，又，四边形是平行四边形，在上，四边形是菱形；（2）若四边形是正方形，则，又，为等腰直角三角形，在等边中，的长为【点评】本题考查菱形的判定与性质、正方形的性质等内容，掌握特殊四边形的判定与性质定理是解题的关键27（2021广东九年级其他模拟）如图，是正方形对角线上一点，连接，并延长交于点（1）求证：；（2）若，求的度数（1）见解析；（2）（1）由“SAS”可证ABECBE；（2）由全等三角形的性质可求CEB=70，由三角形的外角的性质可求解（1）证明：四边形ABCD是正方形，AB=CB，ABC=ADC=

34、90，ABE=CBE=ADB=90=45，在ABE和CBE中，ABECBE（SAS）；（2）ABECBE，AEB=CEB，又AEC=140，CEB=70，DEC+CEB=180，DEC=180-CEB=110，DFE+ADB=DEC，DFE=DEC-ADB=110-45=65【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是本题的关键28（2021广东揭阳市九年级一模）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别与边和边的延长线交于点，与边交于点，垂足为点，连接、（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求出的长（1）见解析；（2）（1）通过三角形全等，求证出四边相等进而得出四边形

35、是菱形（2）方法一：连接CE，设AE=CE=x，则DE=6-x，再根据勾股定理进行计算，即可得到AE的长方法二：通过求证，利用对应边成比例进而求出AE的长（1）证明：是的垂直平分线，四边形是矩形，；，四边形是菱形（2）解法一：连接，在的垂直平分线上，设，则，四边形是矩形，中，即，解得，即的长为解法二：四边形是矩形，中，是的垂直平分线，垂足为点，即，解得【点评】本题主要考查了矩形的性质以及菱形的判定、相似三角形对应边成比例解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等29（2021广东九年级一模）已知平行四边形，若M，N是BD上点，且，求证：四边形是矩形见解析根据平行四边形的对角线

36、互相平分，证明OA=OC,OM=ON，故MN=2MO，结合已知，证明AC=MN，从而利用对角线互相平分且相等的三角形是矩形，证明即可证明：四边形是平行四边形，即，四边形是平行四边形，四边形是矩形【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质，灵活选择矩形的判定定理证明是解题的关键30（2021广东深圳市九年级二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OAOB，过点B作BEAC于点E（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）若AD4，cosABE，求AC的长（1）见解析；（2）10（1）由ABCD可得OAOC，OBOD，由OAOB，则OAOBOCO

37、D，即ACBD，依“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得ABCD是矩形；（2）在RtABC中有数学典型模型“双垂模型”，则ABEBCA，则cosABEcosCAD，则AC10证明：（1）四边形是平行四边形，是矩形；（2）是矩形，在中，【点评】本题考查矩形的判定与性质、锐角三角函数的应用，掌握上述性质定理是解题的关键31（2021广东广州市九年级二模）如图1，己知正方形的边长为，点在边上，连接，点、分别为、边上的点，且（1）求点到的距离；（2）如图2，连接，当、二点共线时，求的面积；（3）如图3，过点作于点，过点作于点，求的最小值（1）1；（2）；（3）42（1）如图1中，过点E作EHBF于H解

38、直角三角形求出EH即可（2）过点F作AD的垂线分别交AD，BC于点M，N（如图1）设MFMDa，证明AMFFNE，推出MFEN，构建方程求出a即可解决问题（3）如图3中，设CGy，MFx可得MN= MF+ FN= x +3xy=3+y，利用相似三角形的性质构建一元二次方程，利用判别式0，轨迹不等式求出y的最小值，进而可得结论解：（1）如图1中，过点E作EHBF于H四边形ABCD是正方形，DBC45，EHBD，EHBEsin45=，点E到BD的距离为1；（2）如图2中，过点F作AD的垂线分别交AD，BC于点M，NA，F，G共线，EFG90，AFE90，ADF45设MFMDa，且ADMN，AMFN

39、，NFEAFMAFMMAF，NFEMAF，AMFFNE（AAS），MFEN，即a3a，a=，FMDG，DG=，SDFG；（3）如图3中，设CGy，MFx四边形ABCD是正方形，CBDCDB45，CBCD4，BDBC8，DG4-y，EMBD，GNBD，EMFEFGGNF90，DNNG4y，BE，BMEM1，FN7x（4y）3xy，MFEGFN90GFNFGN90，MFEFGN，EMFFNG，整理得：x2（3y）x4y0，0，（3y）24（4y）0，解得y45或y54（舍弃），y的最小值为45，MN= MF+ FN= x +3xy=3+y，当CG的值最小时，MN的值最小，MN的最小值3+4542【

40、点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的判别式等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题32（2021广东九年级二模）如图，矩形中，点E是边上的一点，点F是边延长线上的一点，且连接，交于点O，过E作，垂足为P（1）求证：；（2）求证：长为定值；（3）记与的交点为Q，当时，直接写出此时的长（1）见解析；（2）见解析；（3）（1）根据两边的比相等且夹角相等，证明：；（2）如图1，作辅助线，构建相似三角形，得，列比例式，再根据勾股定理得的长，根据等角的正切

41、相等可知：，即，得，设，则，代入比例式可得，从而得结论；（3）证明，列比例式可得结论（1）证明：在矩形中，；（2）证明：如图1，过点E作，交于点G，在中，即，设，则，所以是一个定值；（3）如图2，由（2）知：，解得：，【点评】本题考查了矩形的性质,三角形相似的判断和性质,三角函数,熟练掌握三角形相似的判定定理,灵活运用三角函数的定义是解题的关键33（2021广东珠海市）如图1，在正方形中，点在边上，连接，过的中点作，交于点，于点（1）猜想线段与的数量关系并加以证明；（2）如图2，连接，交于点，连接，求证：；（1），见解析；（2）见解析，见解析（1）过点作，垂足为根据证明即可得到结论；（2）连接，过点分别作，根据证明可证明，再证明是等腰直角三角形即可得到结论；，是中点，证明可得结论（1）解：，理由如下：如图1，过点作，垂足为，在正方形中，四边形是矩形，（2）证明：如图2，连接，过点分别作，正方形中，为对角线，是中垂线，即，垂直平分，是等腰直角三角形，是中点，【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键34（2021广东中考真题试卷）如图，边长为1的正方形中，点E为的中点连接，将沿折叠得到交于点G，求的长根据题意，延长交于H连，通过证明、得到，再由得到，进而即可求得的长解：延长交于H连，由沿折叠得到，