高中数学必修二 2 第2课时正弦定理

1、第2课时正弦定理考点学习目标核心素养正弦定理通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法逻辑推理 问题导学预习教材P45P48的内容，思考以下问题：1在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？2正弦定理的内容是什么？1正弦定理条件在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c结论eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)文字叙述在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等名师点拨 对正弦定理的理解(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式(3)揭示规律：正弦定理指出

2、的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系2正弦定理的变形若R为ABC外接圆的半径，则(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin Aeq f(a,2R)，sin Beq f(b,2R)，sin Ceq f(c,2R)；(3)sin Asin Bsin Cabc；(4)eq f(abc,sin Asin Bsin C)2R. 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)正弦定理不适用于直角三角形()(2)在ABC中必有asin Absin B()(3)在ABC中，若ab，则必有sin Asin B()(4)在ABC中，若si

3、n Asin B，则必有AB.()答案：(1)(2)(3)(4) 在ABC中，a3，b5，sin Aeq f(1,3)，则sin B()A.eq f(1,5)B.eq f(5,9)C.eq f(r(5),3) D.1解析：选B.因为a3，b5，sin Aeq f(1,3)，所以由正弦定理得sin Beq f(bsin A,a)eq f(5f(1,3),3)eq f(5,9). 在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A105，B45，b2eq r(2)，则c()A.eq f(r(2),2) B.1C.eq r(2) D.2解析：选D.由三角形内角和定理得，C180(AB)180(1

4、0545)30.由正弦定理得，ceq f(bsin C,sin B)eq f(2r(2)sin 30,sin 45)2. 在ABC中，若eq f(sin A,a)eq f(cos B,b)，则B的度数为_解析：根据正弦定理知，eq f(sin A,a)eq f(sin B,b)，结合已知条件可得sin Bcos B，又0B180，所以B45.答案：45已知两角及一边解三角形在ABC中，已知c10，A45，C30，解这个三角形【解】因为A45，C30，所以B180(AC)105.由eq f(a,sin A)eq f(c,sin C)得aeq f(csin A,sin C)10eq f(sin 4

5、5,sin 30)10eq r(2).因为sin 75sin(3045)sin 30cos 45cos 30sin 45eq f(r(2)r(6),4)，所以beq f(csin B, sin C)eq f(10sin（AC）,sin 30)20eq f(r(2)r(6),4)5eq r(2)5eq r(6).eq avs4al()已知三角形的两角和任一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边 1在ABC中，已知a8，B60，C75，则

6、b()A4eq r(2)B4eq r(3)C4eq r(6) Deq f(32,3)解析：选C.A180BC45，由正弦定理eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，得beq f(asin B,sin A)eq f(8sin 60,sin 45)4eq r(6).2在ABC中，A60，sin Beq f(1,2)，a3，求三角形中其他边与角的大小解：因为sin Beq f(1,2)，所以B30或150，当B30时，由A60得C90；当B150时，不合题意，舍去所以由正弦定理eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)eq f(a,sin A)，得beq f(sin B,si

7、n A)aeq f(sin 30,sin 60)3eq r(3)，ceq f(sin C,sin A)aeq f(sin 90,sin 60)32eq r(3).已知两边及其中一边的对角解三角形已知ABC中的下列条件，解三角形：(1)a10，b20，A60；(2)a2，ceq r(6)，Ceq f(,3).【解】(1)因为eq f(b,sin B)eq f(a,sin A)，所以sin Beq f(bsin A,a)eq f(20sin 60,10)eq r(3)1，所以三角形无解(2)因为eq f(a,sin A)eq f(c,sin C)，所以sin Aeq f(asin C,c)eq f

8、(r(2),2).因为ca，所以CA.所以Aeq f(,4).所以Beq f(5,12)，b eq f(csin B,sin C)eq f(r(6)sinf(5,12),sinf(,3)eq r(3)1.变条件若本例(2)中Ceq f(,3)改为Aeq f(,4)，其他条件不变，求C，B, b.解：因为eq f(a,sin A)eq f(c,sin C)，所以sin Ceq f(csin A,a)eq f(r(3),2).所以Ceq f(,3)或eq f(2,3).当Ceq f(,3)时，Beq f(5,12)，beq f(asin B,sin A)eq r(3)1.当Ceq f(2,3)时，

9、Beq f(,12)，beq f(asin B,sin A)eq r(3)1.eq avs4al()(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的思路首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论(2)已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；在ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共

10、点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：A为钝角A为直角A为锐角ab一解一解一解ab无解无解一解absin A两解absin A一解a2 Bx2C2x2eq r(2) D2x2eq r(3)解析：选C.由asin Bba，得eq f(r(2),2)x2x，所以2x2eq r(2).判断三角形的形状已知在ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acos Bbcos A，则ABC一定是()A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D等腰直角三角形【解析】由正弦定理得：acos Bbcos Asin Acos Bsin Bcos Asin(AB)0，由于AB，故必有AB0，AB，即ABC为等腰三

11、角形【答案】A变条件若把本例条件变为“bsin Bcsin C”，试判断ABC的形状解：由bsin Bcsin C可得sin2Bsin2C，因为三角形内角和为180，所以sin Bsin C所以BC.故ABC为等腰三角形eq avs4al()判断三角形形状的两种途径注意在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解 已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，满足eq f(a,cos A)eq f(b,cos B)eq f(c,cos C)，则ABC的形状是()A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析：选C.由正弦定理得eq f(a,si

12、n A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)，又eq f(a,cos A)eq f(b,cos B)eq f(c,cos C)，得eq f(sin A,cos A)eq f(sin B,cos B)eq f(sin C,cos C)，即tan Atan Btan C，所以ABC，即ABC为等边三角形1(2019辽宁沈阳铁路实验中学期中考试)在ABC中，AB2，AC3，B60，则cos C()A.eq f(r(3),3)B.eq f(r(6),3)C.eq f(r(3),2) D.eq f(r(6),2)解析：选B.由正弦定理，得eq f(AB,sin C)eq f(AC,sin

13、 B)，即eq f(2,sin C)eq f(3,sin 60)，解得sin Ceq f(r(3),3).因为ABAC，所以CB，所以cos Ceq r(1sin2C)eq f(r(6),3).2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ABC123，则abc()A123 B321C2eq r(3)1 D1eq r(3)2解析：选D.在ABC中，因为ABC123，所以B2A，C3A，又ABC180，所以A30，B60，C90，所以abcsin Asin Bsin Csin 30sin 60sin 901eq r(3)2.3在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cacos B

14、(2ab)cos A，则ABC的形状是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形解析：选D.已知cacos B(2ab)cos A，由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，所以sin(AB)sin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，化简得cos A(sin Bsin A)0，所以cos A0或sin Bsin A0，则A90或AB，故ABC为等腰三角形或直角三角形A基础达标1在ABC中，一定成立的式子是()Aasin Absin BBacos Abcos BCasin Bbsin A Dacos

15、Bbcos A解析：选C.由正弦定理eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)，得asin Bbsin A.2在ABC中，若eq r(3)a2bsin A，则B()A.eq f(,3) B.eq f(,6)C.eq f(,3)或eq f(2,3) D.eq f(,6)或eq f(5,6)解析：选C.由正弦定理，得eq r(3)sin A2sin Bsin A，所以sin A(2sin Beq r(3)0.因为0A，0B，所以sin A0，sin Beq f(r(3),2)，所以Beq f(,3)或eq f(2,3).3(2019济南检测)已知a，b，c分别是

16、ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A60，c6，a6，则此三角形有()A两解 B一解C无解 D无穷多解解析：选B.由等边对等角可得CA60，由三角形的内角和可得B60，所以此三角形为正三角形，有唯一解4在ABC中，若ceq r(3)，C60，则eq f(abc,sin Asin Bsin C)()A6 B2eq r(3)C2 Deq r(3)解析：选C.利用正弦定理的推论，得eq f(abc,sin Asin Bsin C)eq f(c,sin C)eq f(r(3),sin 60)2.5在ABC中，已知a2tan Bb2tan A，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角

17、形 D等腰三角形或直角三角形解析：选D.将a2Rsin A，b2Rsin B(R为ABC外接圆的半径)代入已知条件，得sin2Atan Bsin2Btan A，则eq f(sin2Asin B,cos B)eq f(sin Asin2B,cos A).因为sin Asin B0，所以eq f(sin A,cos B)eq f(sin B,cos A)，所以sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，所以AB或ABeq f(,2)，故ABC为等腰三角形或直角三角形6在ABC中，若a3，cos Aeq f(1,2)，则ABC的外接圆的半径为_解析：由cos Aeq f(1,2)，得sin A

18、eq r(1cos2A)eq f(r(3),2)，设ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理，有2Req f(a,sin A)2eq r(3)，即ABC的外接圆的半径为eq r(3).答案：eq r(3)7在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a3，B2A，cos Aeq f(r(6),3)，则b_解析：因为cos Aeq f(r(6),3)，所以sin Aeq f(r(3),3)，因为B2A，所以sin Bsin 2A2sin Acos Aeq f(2r(2),3)，又eq f(b,sin B)eq f(a,sin A)，所以b2eq r(6).答案：2eq r(6)8在ABC中，若

19、Beq f(,4)，beq r(2)a，则C_解析：在ABC中，由正弦定理eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，得eq f(a,sin A)eq f(r(2)a,sinf(,4)eq f(r(2)a,f(r(2),2)2a，所以sin Aeq f(1,2)，所以Aeq f(,6)或eq f(5,6).因为beq r(2)aa，所以BA，即Aeq f(,4)，所以Aeq f(,6)，所以CABeq f(,6)eq f(,4)eq f(7,12).答案：eq f(7,12)9(2019浙江温州月考)在ABC中，A30，C45，ceq r(2)，求a，b及cos B.解：因为A30，

20、C45，ceq r(2)，所以由正弦定理，得aeq f(csin A,sin C)eq f(r(2)sin 30,sin 45)1.又B180(3045)105，所以cos Bcos 105cos(4560)eq f(r(2)r(6),4)，beq f(csin B,sin C)eq f(r(2)sin 105,sin 45)2sin 1052sin(4560)eq f(r(6)r(2),2).10如图所示，ABBC，CD33，ACB30，BCD75，BDC45，求AB的长解：在BCD中，DBC180754560，由正弦定理知，eq f(33,sin 60)eq f(BC,sin 45)，可得

21、BC11eq r(6)，在RtABC中，ABBCtanACB11eq r(6)tan 3011eq r(2).B能力提升11在ABC中，已知B60，最大边与最小边的比为eq f(r(3)1,2)，则三角形的最大角为()A60 B75C90 D115解析：选B.不妨设a为最大边，c为最小边，由题意有eq f(a,c)eq f(sin A,sin C)eq f(r(3)1,2)，即eq f(sin A,sin（120A）)eq f(r(3)1,2)，整理，得(3eq r(3)sin A(3eq r(3)cos A所以tan A2eq r(3)，所以A75，故选B.12在ABC中，角A，B，C的对边

22、分别为a，b，c，已知bcos Ceq r(3)bsin Cac0，则角B_解析：由正弦定理知，sin Bcos Ceq r(3)sin Bsin Csin Asin C0.(*)因为sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，代入(*)式得eq r(3)sin Bsin Ccos Bsin Csin C0.因为sin C0，所以eq r(3)sin Bcos B10，所以2sineq blc(rc)(avs4alco1(Bf(,6)1，即sineq blc(rc)(avs4alco1( Bf(,6)eq f(1,2).因为B(0，)，所以Beq f(,3).答案：eq

23、f(,3)13在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，Beq f(2,3)，若a2c24ac，则eq f(sin（AC）,sin Asin C)_解析：因为eq f(a2c2,ac)eq f(b22accos B,ac)4，Beq f(2,3)，所以b25ac.由正弦定理得sin2B5sin Asin Ceq f(3,4)，所以sin Asin Ceq f(3,20)，所以eq f(sin（AC）,sin Asin C)eq f(sin B,sin Asin C)eq f(10r(3),3).答案：eq f(10r(3),3)14已知ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac

24、os Ceq f(r(3),2)cb.(1)求角A的大小；(2)若a1，beq r(3)，求c的值解：(1)由acos Ceq f(r(3),2)cb，得sin Acos Ceq f(r(3),2)sin Csin B.因为sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以eq f(r(3),2)sin Ccos Asin C.因为sin C0，所以cos Aeq f(r(3),2).因为0A，所以Aeq f(,6).(2)由正弦定理，得sin Beq f(bsin A,a)eq f(r(3),2).所以Beq f(,3)或eq f(2,3).当Beq f(,3)时，由Aeq f(,6)，得Ceq f(,2)，所以c2；当Beq f(2,3)时