（精品）上海高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)

1、上海市杨浦区高二上学期数学期中试卷(含答案)一、选择题1.如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部 分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 ( )A. B. C. D.2.如图所示，墙上挂有边长为 a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为 的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是( )A. B. C. D.与 a 的值有关联3.已知某样本的容量为 50，平均数为 70，方差为 75.现发现在收集这些数据时，其中的两个

2、数 据记录有误，一个错将 80 记录为 60，另一个错将 70 记录为 90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为 ，方差为 ，则A. B.1C. D.4.一个盒子里装有大小相同的 10 个黑球、 12 个红球、 4 个白球,从中任取 2 个,其中白球的个数记为 X,则下列概率等于 的是( )A.P(0X2) B.P(X1) C.P(X=1) D.P(X=2)5.设样本数据 的均值和方差分别为 1 和 4，若 为非零常数，则 的均值和方差分别为( )A. B. C. D.6.从区间 随机抽取 个数 ， 构成 个数对， ， ， ，其中两数的平方和小于 的数对有 个，则用随机模拟的方法

3、得到的圆周率疋的近似值为( )A. B. C. D.7.某学校 位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织 位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给 位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为( )A. B. C. D.8.将 20 名学生任意分成甲、乙两组，每组 10 人，其中2 名学生干部恰好被分在不同组内的概 率为( )A. B. C. D.29.我国明朝数学家程大位著的算法统宗里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大 僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？ ”.如右图所示的程序

4、框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出 的值为( )A. B. C. D.10.下列说法正确的是( )A.若残差平方和越小，则相关指数 越小B.将一组数据中每一个数据都加上或减去同一常数，方差不变C.若 的观测值越大，则判断两个分类变量有关系的把握程度越小D.若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数11.某产品的广告费用x 与销售额 y 的统计数据如下表：广告费用 (万元) 4 2 3 53销售额 (万元)49 263954根据上表可得回归方程 中的 为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为A.63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元12.已知

5、P 是 ABC 所在平面内点， ，现将一粒黄豆随机撒在 ABC内，则黄豆落在 PBC 内的概率是( )A. B. C. D.二、填空题13.有一批产品，其中有 件次品和 件正品，从中任取 件，至少有 件次品的概率为_ .14.运行如图所示的流程图，则输出的结果 S 为_.15.在长为 的线段 上任取一点 ，并以线段 为边作正方形，这个正方形的面积介于 与 之间的概率为_.416.为了防止职业病，某企业采用系统抽样方法，从该企业全体 名员工中抽 名员工做体检，现从的是 ，则从名员工从 到 进行编号，在 中随机抽取一个数，如果抽到这 个数中应抽取的数是_.17.假设在 5 秒内的任何时刻，两条不相

6、关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信 进入手机的时间之差小于 2 秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为_18.为了在运行下面的程序之后得到输出 y25，键盘输入 x 应该是_.INPUT xIF x0 THENy=(x+1)*(x+1)ELSEy=(x-1)*(x-1)END IFPRINT yEND19.某学生每次投篮的命中概率都为 .现采用随机模拟的方法求事件的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间的整数值随机数，制定 1 、2 、3 、4 表示命中， 5 、6 、7 、8 、9 、0 表示不命中； 再以每 3 个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生如下 20

7、组随机数： 989 537 113 730 488 556 027 393 257 431 683 569 458 812 932 271 925 191 966 907，据此统计，该学生 三次投篮中恰有一次命中的概率约为_.20.已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数 的取值范围为_；三、解答题521.某中学从高三男生中随机抽取 100 名学生，将他们的身高数据进行整理，得到下侧的频率 分布表.组号 分组 频率第 1 组 160 ，165) 0.05第 2 组 0.35第 3 组 0.3第 4 组 0.2第 5 组 0.1合计 1.00( )为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第

8、3 ，4 ，5 组中用分层抽样的方法抽取6 名学生进行体能测试，问第 3 ，4 ，5 组每组各应抽取多少名学生进行测试；() 在 ( ) 的前提下，学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生进行引体向上测试，求第3 组中至少有一名学生被抽中的概率；()试估计该中学高三年级男生身高的中位数位于第几组中，并说明理由.22.画出解关于 的不等式 的程序框图，并用语句描述.23.为检验 两条生产线的优品率，现从两条生产线上各抽取 件产品进行检测评分，用茎叶图的形式记录，并规定高于 分为优品.前 件的评分记录如下，第 件暂不公布.67(1)求所抽取的 生产线上的 个产品的总分小于 生产线上的第 个产品

9、的总分的概率；(2)已知 生产线的第 件产品的评分分别为 .从 生产线的 件产品里面随机抽取 件，设非优品的件数为 ，求 的分布列和数学期 望；以所抽取的样本优品率来估计 生产线的优品率，从 生产线上随机抽取 件产品，记优品的件数为 ，求 的数学期望.24.(1)从区间1 ，10内任意选取一个实数 ，求(2)从区间1 ，12内任意选取一个整数 ，求的概率；的概率.8)25.某药厂为了了解某新药的销售情况，将今年 2 至 6 月份的销售额整理得到如下图表：(1)根据 2 至 6 月份的数据，求出每月的销售额 关于月份 的线性回归方程 ；(2)根据所求线性回归方程预测该药厂今年第三季度(7,8,9

10、 月份)这种新药的销售总额.(参考公式： ，26.某“双一流 类”大学就业部从该校 2018 年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了 100 人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币 1.65 万元到 2.35 万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：(1)将同一组数据用该区间的中点值作代表，求这 100 人月薪收入的样本平均数 ；9(2)该校在某地区就业的 2018 届本科毕业生共 50 人，决定于 2019 国庆长假期间举办一次同 学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：方案一：设区间 ，月薪落在区间 左侧的每人收取400 元，月薪

11、落在区间内的每人收取 600 元，月薪落在区间 右侧的每人收取 800 元；方案二：每人按月薪收入的样本平均数的 收取；用该校就业部统计的这 100 人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的 费用？10【参考答案】一、选择题1.B解析： B【解析】设正方形边长为 ，则圆的半径为 ，正方形的面积为 ，圆的面积为 . 由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半. 由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是 ，选 B.点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域(长度、面积、体积或时间)，其次计算基本事件区域的几何度量和事件 A

12、 区域的几何度量，最后计算 .2.C解析： C【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为考点：几何概型，圆的面积公式3.A解析： A【解析】【分析】的值，即可得到答案分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得【详解】由题意，根据平均数的计算公式，可得.，1，设收集的 48 个准确数据分别记为则，故 .选 A.【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方 差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题4.B解析： B【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型，由古典概型公式分别求得 P (X=1)和 P (X=

13、0)，即 可判断等式表示的意义【详解】由题意可知，故选 B表示选 1 个白球或者一个白球都没有取得即 P (X1)，12【点睛】本题是一个古典概型问题，这种问题在高考时可以作为文科的一道解答题，古典概型 要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以用组合数表示出所有事件数5.A解析： A【解析】试题分析：因为样本数据 的平均数是 ,所以( 为非零常数， )，以及数据的方差为 ，综上故选 A.考点：样本数据的方差和平均数6.B解析： B【解析】的平均数是；根据的方差为 可知数据【分析】根据随机模拟试验的的性质以及几何概型概率公式列方程求解即可.【详解】如下图：由题意，从区间 随机抽取的 个数

14、对 ， ， ， ，落在面积为 4 的正方形内，两数的平方和小于 对应的区域为半径为 2 的圆内，满足条件的区域面积为 ，所以由几何概型可知 ，所以 .故选： B13【点睛】本题主要考查几何概型，属于中档题.7.C解析： C【解析】【分析】甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师 的信息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概 率【详解】设甲同学收到李老师的信息为事件 A，收到张老师的信息为事件 B ，A 、B 相互独立，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为.故选 C【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查对立事

15、件的概率在求两个事件中至少有一个发 生的概率时一般先求其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率这样可减少计算，保 证正确8.A解析： A【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型，先求出事件发生的总个数，再求出满足要求的事件个 数，再根据古典概型的概率公式即可得出结果.【详解】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是 20 名学生平均分成两组共有 种结果，而满足条件的事件是 2 名学生干部恰好被分在不同组内共有 中结果，根据古典概型的概率公式得 .14故选： A.【点睛】本题主要考查古典概型和组合问题，属于基础题.9.B解析： B【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定

16、的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的 的值.【详解】输出 ；，退出循环，输出 ，故选 B.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注 意以下几点： (1)不要混淆处理框和输入框； (2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结 构； (3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构； (4)处理循环结构的问题时一定要正确控制 循环次数； (5)要注意各个框的顺序, (6) 在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序 框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.B解析： B【解析】15【分析】由残差平方和越小，模型的拟合效果越好，可

17、判断 ；由方差的性质可判断 ；由的随机变量 的观测值的大小可判断 ；由相关系数 的绝对值趋近于 1，相关性越强，可判断 .【详解】对于 ，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，相关指数 越大，故 错误；对于 ，将一组数据的每一个数据都加上或减去同一常数后，由方差的性质可得方差不变，故 正确；对于 ，对分类变量 与 ，它们的随机变量 的观测值越大，“ 与 有关系”的把握程度越大，故 错误；对于 ，若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数 ，故 错误.故选： B.【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、样本数 据的特征值和模型的拟

18、合度，考查判断能力，属于基础题11.B解析： B【解析】【分析】【详解】试题分析： ， 数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程 中的 为 9.4， 42=9.43.5+a，16 =9.1， 线性回归方程是 y=9.4x+9.1， 广告费用为 6 万元时销售额为 9.46+9.1=65.5考点：线性回归方程12.B解析： B【解析】【分析】推导出点 P 到 BC 的距离等于 A 到 BC 的距离的 .从而 S PBC= S ABC. 由此能求出将一粒黄豆随机撒在 ABC 内，黄豆落在 PBC 内的概率【详解】以 PB 、PC 为邻边作平行四边形 PBDC，则 = ， ， ， ， P 是 AB

19、C 边 BC 上的中线 AO 的中点， 点 P 到 BC 的距离等于 A 到 BC 的距离的 . S PBC= S ABC. 将一粒黄豆随机撒在 ABC 内，黄豆落在 PBC 内的概率为：P= = .故选 B.17【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化 思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题二、填空题13. 【解析】【分析】利用古典概型概率公式求出事件至少有件次品的对立事件全都是次品的 概率再利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率【详解】记事件至少有件次品则其对 立事件为全都是次品由古典概型的概率公式解析： .【解析】【分析】利

20、用古典概型概率公式求出事件“至少有 件次品”的对立事件“全都是次品”的概率， 再利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】记事件 至少有 件次品，则其对立事件为 全都是次品，由古典概型的概率公式可得 ， .因此，至少有 件次品的概率为 ，故答案为 .【点睛】本题考查古典概型概率公式以及对立事件概率的计算，在求事件的概率时，若问题中 涉及“至少”，可利用对立事件的概率进行计算，可简化分类讨论，考查分析问题的能力和计 算能力，属于中等题.14. 【解析】【分析】【详解】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知当则执行运算;继 续运行:;继续运行:;当时;应填答案解析：【解析】18【详解

21、】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知当 ,则执行运算;继续运行: ;继续运行: ;当 时; ,应填答案 .15. 【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对 应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为：解析：【解析】若以线段 为边的正方形的面积介于 与 之间，则线段 的长介于 与 之间，满足条件的 点对应的线段长为 ，而线段 的总长度为 ，故正方形的面积介于 与 之间的概率 .故答案为： .16.52 【解析】由题意可知抽取的人数编号组成一个首项为 7 公差为 15 的等差数列则从这个数 中应抽取的数是：故答案为 52解析： 5

22、2【解析】由题意可知，抽取的人数编号组成一个首项为 7，公差为 15 的等差数列，则从 这 个数中应抽取的数是： .19故答案为 52.17. 【解析】【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的测度即可得到结论【详解】分别设两个互相独立的短信收到的时间为 x y 则所有事件集可表示为 0 x50y5由题目得如果手机受则到干扰的事件发生必有|x解析：【解析】【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的测度，即可得到结论分别设两个互相独立的短信收到的时间为 x ，y则所有事件集可表示为 0 x5 ，0y5 由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x-y|2三个不等式联立，则该事件即为 x-y=2

23、和 y-x=2 在 0 x5 ，0y5 的正方形中围起来的图形即图 中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积 52=25，阴影部分的面积，所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为 .【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，分别求出对应区域的面积是解决本题的关键，比较基 础18.-6 或 6 【解析】当 x0 时 25= (x+1) 2 解得： x= 6 或 x=4 (舍去)当 x0 时 25= (x 1) 2 解得： x=6 或 x= 4 (舍去)即输入的 x 值为6 故答案为： 6 或 6 点睛：根据流程图(或伪 代码)写解析： -6 或 6【解析】当 x0 时，25= (

24、x+1) 2，解得： x= 6，或 x=4 (舍去)20当 x0 时，25= (x 1) 2，解得： x=6，或 x= 4 (舍去)即输入的 x 值为6故答案为： 6 或 6.点睛：根据流程图 (或伪代码) 写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方 法是： 分析流程图(或伪代码)，从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理)建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模19.【解析】这 20 组随机数中该学生三次投篮中恰有一次命中的有 537 730 488 027 257 683 4

25、58 925 共 8 组则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为故填解析：【解析】这 20 组随机数中,该学生三次投篮中恰有一次命中的有 537,730,488,027,257,683,458,925 共 8 组,则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为,故填 .20. 【解析】为单独递增函数所以点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两 点： (1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的； (2)分段函数的单 调性除注意各段的单调性外还要注意解析：【解析】为单独递增函数，所以21点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点： (1)若函数在区间 上单调

26、，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的； (2)分段函数的单调性，除注意各段的单 调性外，还要注意衔接点的取值；(3)复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围三、解答题21. (1) 3 人， 2 人， 1 人. (2) 0.8. (3)第 3 组【解析】分析： ( )由分层抽样方法可得第 组： 人；第 组： 人；第 组： 人；()利用列举法可得 个人抽取两人共有 中不同的结果，其中第 组的 两位同学至少有一位同学被选中的情况有 种，利用古典概型概率公式可得结果；()由 前两组频率和为 ，中位数可得在第 组.详解： ( ) 因为第 3 ，4

27、，5 组共有 60 名学生，所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学 生，每组学生人数分别为：第 3 组： 3 人；第4 组： 2 人；第 5 组： 1 人. 所以第 3 ，4 ，5 组分别抽取 3 人， 2 人， 1 人. ()设第 3 组 3 位同学为 A1 ，A2 ，A3，第 4 组 2 位同学为 B1 ，B2，第 5 组 1 位同学为 C1， 则从 6 位同学中抽两位同学的情况分别为： (A1 ，A2) ， (A1 ，A3) ， (A1 ，B1) ， (A1 ，B2) ， (A1 ，C1) ， (A2 ，A3) ， (A2 ，B1) ， (A2 ，B2) ， (A2 ，C1)

28、， (A3 ，B1) ， (A3 ，B2) ， (A3 ，C1) ， (B1 ，B2) ， (B1 ，C1) ， (B2 ，C1) .共有 15 种. 其中第 4 组的两位同学至少有一位同学被选中的情况分别为： (A1 ，A2) ， (A1 ，A3) ， (A1 ，B1) ， (A1 ，B2) ， (A1 ，C1) ， (A2 ，A3) ， (A2 ，B1) ， (A2 ，B2)，(A2 ，C1)，(A3 ，B1)，(A3 ，B2)，(A3 ，C1)，共有 12 种可能. 所以，第 4 组中至少有一名学生被抽中的概率为 0.8.答：第 4 组中至少有一名学生被抽中的概率为 0.8.2()第 3

29、 组点睛：本题主要考查分层抽样以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率 公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给 定的基本事件个数较少且易一一列举出的； (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先 ， . ，再 ， . 依次 . 这样才能避免多写、漏写现象的发生.22.见解析【解析】【分析】【详解】解：流程图如下：程序如下：INPUT a ，bIF a0 THENIF b0 THEN23PRINT “任意实数”ELSEPRINT “无解”ELSEIF a0 THENPRINT“x

30、“； b/aELSEPRINT“x“； b/aENDIFENDIFENDIFEND点睛：解决算法问题的关键是读懂程序框图，明晰顺序结构、条件结构、循环结构的真正含 义，本题巧妙而自然地将算法、不等式、交汇在一起，用条件结构来进行考查.这类问题可能 出现的错误： 读不懂程序框图； 条件出错； 计算出错.23. (1) ；(2) 详见解析； 2.【解析】【分析】(1)根据 生产线前 件的总分为 ， 生产线前 件的总分为 ；则要使制取的 生产线上的 个产品的总分小于 生产线上的 个产品的总分，则第 件产品的差要超过 7.(2) 可能取值为 ，根据超几何分布求解概率，列出分布列，再求期望.由样品估计总

31、体，优品的概率为 ， 可取 且 ，代入公式求解.24；【详解】(1) 生产线前 件的总分为生产线前 件的总分为要使制取的 生产线上的 个产品的总分小于生产线上的，个产品的总分，则第 件产品的评分分别可以是 ， ， ，故所求概率为 .(2) 可能取值为 ， ， ，随机变量 的分布列为：.由样品估计总体，优品的概率为 ， 可取 且 ，故.【点睛】本题主要考查茎叶图，离散型随机变量的分布列和期望，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.2524.(1) ；(2) .【解析】【分析】(1)求解不等式 可得 的范围，由测度比为长度比求得 的 概率；(2)求解对数不等式可得满足 的 的范围，得

32、到整数个数，再由古典概型概率公式求得答案【详解】解：(1) ， ，又故由几何概型可知，所求概率为(2) ，.，则在区间 内满足 的整数为 3,4,5,6,7,8,9 共有 7 个，故由古典概型可知，所求概率为 .【点睛】本题考查古典概型与几何概型概率的求法，正确理解题意是关键，是基础题25. (1) ；(2) 万元.【解析】【分析】26(1)先计算出，代入公式求出 ，结合线性回归方程的表达式求出结果(2)由线性回归方程计算出 、 、 时 的值，然后计算出结果【详解】(1)由题意得： ， ，故每月的销售额 关于月份 的线性回归方程(2)因为每月的销售额 关于月份 的线性回归方程所以当 时， ；当

33、 时， ；当 时， ，.，27则该药企今年第三季度这种新药的销售总额预计为 万元.【点睛】本题考查了线性回归方程的实际应用，结合公式求出回归方程是本题关键，较为基础26.(1)2 ；(2)方案一能收到更多的费用.【解析】【分析】(1)每个区间的中点值乘以相应的频率，然后相加；(2)分别计算两方案收取的费用，然后比较即可【详解】(1)这 100 人月薪收入的样本平均数 是.(2)方案一：月薪落在区间 左侧收活动费用约为(万元)；(万月薪落在区间 收活动费用约为元)；(万月薪落在区间 右侧收活动费用约为元)；因此方案一，这 50 人共收活动费用约为 3.01 (万元)；方案二：这 50 人共收活动

34、费用约为 (万元)；故方案一能收到更多的费用.【点睛】本题考查频率分布直方图及其应用，属于基础题上海市嘉定区高二上学期期中考试试卷数学试题考试时间: 120 分钟满分: 150 分一 填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分,第 1-6 题每题 4 分,第 7-12 题每题 5 分)1. lim = _. x)w n21+ 3n22.已知a = (1,k ), b = (2,3), 若a与b 平行，则 k=_.(2x + y = 13.方程组l3x - y = 0 对应的增广矩阵为_.4.在等差数列a 中, 己知n则该数列前 11 项和S = _.115.若A = |(2 4)| ，B =

35、 |( 3 -3)| , 则 2A-B=_.( 1 3) (-1 2 )6.已知 f (n) = 1+ 1 + 1 + 1 + + 1 + 1 , 则 f(n+1)-f(n)= _.2 3 4 2n - 1 2n7.已知ABC 是边长为 1 的等边三角形, p 为边 BC 上一点,满足PC = 2BP, 则BA . AP = _.8.已知数列a 的前 n 项和为 S , 且S = n2 + 4, n 从 N* . 则a = _.n n n n9.设无穷等比数列a 的公比是 q，若a = lim(a + a + + a ), 则q = _.n 1 x)w 3 4 n2829110.已知点P =

36、(1,1), P = (7, 4), 点 P 分向量 PP 的比是 , 则向量 PP 在向量方向上的投影为1 2 1 2 2 1_ .11.在ABC 中, CB = a, CA = b , ACB=120 .若点 D 为ABC 所在平面内一点,且满足条件: CD = 入CB + (1- 入)CA(入 = R), CD (bCB + CA), 则| CD |= _.(用 a, b 表示)12. 设数列a 的前 n 项和为S , 若存在实数 A,使得对任意的1n = N* , 都有| S | 0, 公差 d0; n 1若a 是等比数列, 且公比 q 满足|q| HB . HC ,则()AABC=

37、90 B. BAC= 90 C.AB= AC D.AC= BC三 解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分)解答时必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(本题 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分)已知 A(2,1), B=(3,2), D=(-1,4)(1)若四边形 A BCD 是矩形,试确定点 C 的坐标 ;(2)已知 O 为坐标原点,求OA.OB OC.31n l_10n + 470, n 之 4 n18.(本题 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分)已知向量x , y 满| x |= 1, | y |= 2 ,且(x _ 2y)f (2 _ v

38、)= 5 .x(1)求x 与 y 的夹角；(2)若(x _ my )y ,求实数 m 的值.19.(本题 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分)根据预测,疫情期间,某医院第 n (nN*)天口罩供应量和消耗量分别为a 和b (单位:个),其中n na = , b = n + 5 ,第 n 天末的口罩保有量是前 n 天的累计供应量与消耗量的差.(5n4 +15,1 施 n 施 3(1)求该医院第 4 天末的口罩保有量;(2)已知该医院口罩仓库在第 n 天末的口罩容纳量S = _4 (p _ 46)2 + 8800 (单位:个). n设在某天末, 口罩保有量达到最大, 问该保有量是

39、否超出了此时仓库的口罩容纳量?3220.(本题 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分)在直角坐标平面 xOy 上的一列点A (1,a ), A (1,a ) , A (1,a ),简记为A .若由1 1 2 2 n n nbn = An An+1 . j 构成的数列 bn 满足bn+1 bn , n = 1,2,. ,其 j = (0,1),则称An 为“M 点列”(1)判断A (1,1), A (2,1), A (3,1), A (n,1), 是否为“M 点列”,并说明理由; 1 2 3 n(2)判断A1 (1,1), A2 (|(2, )| , A3

40、(|(3, )| , An (|(n, )| 是否为“M 点列”,请说明理由,并求出此时列n n .b 的前 n 项和T(3)若An 为“M 点列”,且点A2 在 A1的右上方,任取其中连续三点Ak , Ak +l , 4k +2 ,判断 Ak Ak +1Ak +2的形状(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形),并予以证明.21.(本题 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分)已知数列a 中, 已知a = 1, a = d , a = k (a + a )对任意n=N* 都成立,数列a 的前 n 项和n 1 2 n+1 n n+2 n为 Sn.(1)若a 是等

41、差数列,求 k 的值; n1(2)若a = 1 , k = - ,求 S ;2 n3(3)是否存在实数 k,使数列a 是公比个为 1 的等比数列,且任意相邻三项a , x , a 按某顺序 n m m+1 m+2排列后成等差数列?若存在,求出所有 k 的值;若不存在,请说明理由.34353637383940上海市高二上学期期中考试数学试卷一、填空题1. 已知A = (|( )| ，B = (|( )| ，则 2A+ B = _.2. 若 a 是等差数列，且a = 3 ，a + a = 18 ，则 a = _. n 1 3 5 73. 设等差数列 a 的前n 项为S ，若 a = 3a ，则 S

42、6 = _. n n 5 3 S44. 行列式 2 1 3 中元素 3 的代数余子式的值为_. -1 -3 1(0 1 ) (1 8) 1 0 -1(2 0) (0 1)5. 已知A = | | ，B = | |，则 AB = _.6. 在无穷等比数列 a 中，若lim(a + a + + a )= 1 ，则 a 的取值范围为_. n n)w 1 2 n 3 17. 若数列 a 满足， a = ，a = 2 ，则数列 a 前 2022 项的积等于_. n n+1 1- a 1 nn8. 已知数列log (a - 1)为等差数列，且a = 3 ，a = 5 ，则2 n 1 2( 1 1lim |

43、 + + 1 )| = _.n)w ( a - a a - an+1 n2 1 3 2a - a )n n n + 1 n 1009. 已知数列 a 的通项公式是a = 2n+ 3 ，若 n N 时，恒有 a - 2 1 + 1 + n a an1 2正整数n 的取值范围为_.12. 已知数列 a 满足： a = 2 ，a - a =a , a , , a (n =N* )，记数列 a 的前n 项和为 n 1 n+1 n 1 2 n nS ，若对所有满足条件的列数 a ， S 的最大值为M ，最小值为 m ，则 M+ m = _.n n 10二、选择题13. 已知列数 a 为等比数列，则“公比

44、q 1 ”是“a 为递增数列”的( )n nA. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件14. 算法统宗中有一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六 朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，问第二天走了( )A. 192 里 B. 96 里 C. 48 里 D. 24 里n + 1 n + 2 n + n 1415. 用数学归纳法证明不等式： 1 + 1 + + 1 13 ，从k 到k +1 ，不等式左边需要( )1 1 12(k +1) 2k + 1 、 2(k +1)A. 增加一项 B. 增加两项1 1C. 增加 ，且减

45、少一项2(k +1) k + 11 1 1D. 增加 、 ，且减少一项2k + 1 2(k +1) k + 142+ a100 ，则实数t 一310016. 已知集合M = 0,2 ，无穷数列 a 满足a = M ，设 t = a1 + a2 + a3 + n n 3 32 33定不属于( )A. 0,1)C. )|D. B. (0,1三、解答题lx + ay = a +117. 已知关于x 、 y 的二元一次方程组(ax + y = 2a +1(a =R).(1)写出系数矩阵和增广矩阵；(2)讨论解的情况.118. 如图， P 是一块直径为 2 的半圆形纸板，在P 的左下端剪去一个半径为 的

46、半圆后得到图1 1 2形P ，然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得到图形 P ，2P ，43P ，记纸板 P 的面积和周长分别为S 、L ，求：n n n n(1) lim S ；n)w n43n)w ( )(2) lim Ln)w n .19. 我们要计算由抛物线 y = x2 、x 轴以及直线x = 1 所围成的曲边区域的面积S ，可用 x 轴上的分点 0 、 1 、 2 、 n - 1 、1 将区间0,1 成n 个小区间，在每一个小区间上作一个小矩n n n形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线 y = x2 上，这么矩形的高分别为 0 、(|()|2 、(|()

47、|2 、 (|(n 1)|2 、1，矩形的底边长都是 ，设所有这些矩形面积的总和为 Sn ，就无限趋近于 S ，即 S = lim Sn)w n .(1)求数列 S 的通项公式，并求出已知S ； n(可以利用公式12 + 22 + 32 + + n2 = n(n +1)(2n +1) )6(2)利用上述方法，探求有函数 y = ex 、x 轴、 y 轴以及直线x = 1 和所围成的区域的面积T .(可以利用公式： lim n |en - 1 | = 1)( 1 )20. 在列数 a 中， a = 0 ，且对任意的m = N* ，a 、a 、a 构成2m 为公差的等差数 n 1 2m-1 2m

48、2m+1列.421. 给正有理数 i 、 nnj (i 丰 j ，i, j = N* ，m , n , m , n = N* ，且 m = m 和n = n 不同时成ja(1)求证： a 、a 、a 成等比数列； 4 5 6(2)求数列a 的通项公式； n+ n2 ，试问当 n ) w 时，数列S _ 2n是否在极限？若存在，求出其nn(3)设 S = + + n a a2 322 32值，若不存在，请说明理由.mimi i j j i j i j立)，按以下规则排列：若m + n m + n ，则 mi 排在 mj 前面；若m + n = m + n ，i i j j n n i i j j

49、i j且n n ，则 mi 排在 mj 的前面，按此规则排列得到数列a (例如 1 ，i j n n n 1i j2 ， 11 ) .2(1)依次写出数列a 的前 8 项； n(2)对数列a 中小于 1 的各项，按以下规则排在前面：各项不做约分运算；分母小的 n项排在前面；分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列b ，求数列b 的前 10n n项的和S ，前 2021 项的和S ；10 2021(3)对数列a 中所有整数项，由小到大取前 2021 个互不相等的整数项构成集合 nA = c , c , c , c ， A 的子集B 满足：对任意的x, y = B ，有 x + y 茫 B ，

50、求集合 B 中元素个1 2 3 2021数的最大值.45a2 - a - 1=a2 - 1 .y一、填空题1. (|( )| 2.15 3. 6. (|(0, )| )| 7. -6 8. 111. 1,2,3,4,5,6 12. 1078二、选择题13. D 14. B 15. D 16. C三、解答题参考答案1 )4. 316)|(25. (|0499. 99 10. 2(117. (1)系数矩阵(|a1 ) (a 1a)|，增广矩阵 |( 1 a2a +1)a + 1 )| ；(2) a = 士1，无解； a 丰 士1 ，有唯一解x = 2a2 - 1 ， a2 - 118. (1) ；

51、(2) 2 .319. (1) S = (n +1)(2n +1) ，S = 1 ；(2) e - 1 . n 6n2 3( n2 - 1| 2 20. (1)证明略；(2) an =| n2|l 221. (1) ， ， ， ， ， ，1 2 1 3 2 11 1 2 1 2 3n为奇数 ；(3)存在，极限为n为偶数12 .4 3 ， ；(2) S = 5 ， 1 2 103S = 1008 ；(3) 1011.2021 13461上海市高二上学期期中考试数学试卷一、填空题1已知向量a = (2,1),b = (-4, x) ，若 a / /b ，则 x = _2直线x + 3y - a =

52、 0 的倾斜角为_1 2 a3在行列式 0 - 1 1 中，元素 a 的代数余子式的值是_ 2 1 3(2 3 7 ) (x = 2(0 1 m) ly = 14若增广矩阵为 | |的线性方程组的解为 ，则实数 m = _5已知 ABC 中，顶点A(1,1)、B(4,2) 、C(-4,6) ，则 ABC 的面积为_6已知过点 M(-2,a) 、N(a,4) 的直线的斜率为- ，则| MN | 等于_ 27已知直线 l 经过点(2,1)，且和直线x - 3y - 3 = 0 的夹角等于 30，则直线 l 的方程是_8如图，边长为 2 的正方形ABCD 中， P 为对角线上一动点，则AP . AC

53、 = _47AC 1 = 29已知点 P 是直线 l 上的一点，将直线 l 绕点P 逆时针方向旋转角a (|(0 a 1，则点 M、N 在直线 l 的同侧且直线 l 与线段MN 的延长线相交；11已知 A(1,0) ，B(0,1) ，O 为坐标原点， t =0,1，则| tAB _ AO | + 3 BO _ (1_ t)BA 的最小 4值为_12设k =N* ，已知平面向量a , a , b , b , , b ，两两不同， a _ a = 1 ，且对任意的 i = 1 ，2 1 2 1 2 k 1 2以及 j = 1,2, , k ，都有|a _ b =1,2,3，则 k 的最大值为_i

54、j二、选择题13直线 l : a x + b y + c = 0 ，l : a x + b y + c = 0 ，若 l 与l 只有一个公共点，则( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2a1a2b2b1= 0 Ba1a2b1b2丰 0a ab b1 2a aD 1 丰 2b b1 214已知 O 是平面上一定点， A、B、C 是该平面上不共线的 3 个点，一动点 P 满足：OP = OA + 入 (AB+ AC) ，入 =(0,+w) ，则直线 AP 一定通过 ABC 的( )48A外心 B内心 C重心 D垂心15下列结论中正确的是( )(2 _4) (1 _2)A | | = 2 |

55、|(3 1 ) (3 HYPERLINK l _bookmark1 1 )B起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量C任意两个矩阵都可以相乘D若 l 的一个方向向量d = (a, b) 且过点(m, n) ，则其点方向式方程为 x _ m = y _ na b16如图，在平面四边形 ABCD 中， AB BC ，AD CD ，三BAD = 120o ，AB = AD = 1，若点 E 为CD 上的动点，则AE . BE 的最小值为( )21A 163B 225C 16D 3三、解答题17已知向量a = (1,_1) ，| b |= 2 ，且(2a + b) . b = 4 (1)求向

56、量a 与b 的夹角；(2)求|a + b |的值4918为了绿化城市，准备在如图所示的区域 ABCDE 内修建一个矩形PQRD 的草坪，其中三AED = 三EDC = 三DCB = 90O，点 Q 在AB 上，且PQ / /CD ，QR CD ，经测量 BC = 70m ，CD = 80m ，DE = 100m ，AE = 60m (1)如图建立直角坐标系，求线段 AB 所在直线的方程；(2)在(1)的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点 Q 的坐标并求出此最大面积(精确到1m 2 )19如图，在正 ABC 中， AB = 2 ，P E 分别是BC CA边上一点，并且CA =

57、 3EA ，设BP = tBC ，AP 与线段BE (包含端点)相交于 F(1)试用 AB AC 表示AP；(2)求 AP . BE 的取值范围5020数学家欧拉在 1765 年提出：三角形的外心、重心位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，若 ABC 的顶点A(2,0) ，B(0,4) ，且 ABC 的欧拉线的方程为 x y + 2 = 0 (1)求线段 AB 的垂直平分线方程；(2)求 ABC 外心 F (外接圆圆心)的坐标；(3)求顶点 C 的坐标21已知点 P 和非零实数入 ，若两条不同的直线 l 、l 均过点 P，且斜率之积为入 ，则称直线1 21l 、 l 是一组“ P

58、 共轭线对”，如直线l : y = 2x 和l : y = x 是一组“O 共轭线对”，其1 2 入 1 2 2 1中 O 是坐标原点(1)已知 l 、l 是一组“ O 共轭线对”，求l 、l 的夹角的最小值； 1 2 3 1 2(2)已知点 A(0,1) 、点 B(1,0) 和点C(1,0) 分别是三条直线PQ 、QR 、RP 上的点(A、B、C与 P、Q、R 均不重合)，且直线PR 、PQ 是“ P 共轭线对”，直线QP 、QR 是“Q 共轭线1 4对”，直线RP 、RQ 是“R 共轭线对”，求点 P 的坐标；9(3)已知点 M(1, 2) ，直线 l 、l 是“ M 共轭线对”，当l 的

59、斜率变化时，求原点 O 到1 2 2 1直线l 、l 距离之积的取值范围1 251( 3 )高二期中数学试卷参考答案2020.11一、填空题1【答案】 -2 2【答案】 150 3【答案】 2 4【答案】 15【答案】 10 6【答案】 6 5 7【答案】 y = 1 或 3x - y - 2 3 + 1 = 08【答案】 49【答案】直线 l 的方程是 y +1 = 1 (x - 1) ，即 x - 2y - 3 = 0 2510【答案】 11【答案】 12【答案】 10 4二、选择题13【答案】 B 14【答案】 C 15【答案】 B 16【答案】 A三、解答题17【答案】(1) ；(2)

60、 6 318(1)由题意得OA = 20,OB = 30 ，所以线段 AB 所在直线的方程为 x + y = 1 ，即 y = 20 - 2 x ；30 20 3(2)设Q |x,20 - | ，( 2x )52则草坪的占地面积S = (100 一 x)80 一 (|(20 一 ) = 一 x2 + x + 6000= 一 2 (x 一 5)2 + 6000 + 50 (0 共 x 共 30) 3 3故当x = 5, y = 时， Smax 6017 ，此时Q(|(5, ) 19(1)因为 BP = tBC ，所以 AP 一 AB = t . (AC 一 AB) ，所以AP = (1一 t)A