北师大版数学初三上册期末全部教案

1、北师大版数学九年级上册全部教案 1. 你能证明它们吗（一） 本章总体设计介绍 本章是八年级下册第六章证明（一） 的连续,教科书第一给出四条公 理,这四条公理与证明（一）中给出的两条公理一起作为这一章连续对命题 进行证明的规律基础；在这之前,同学已经对图形的性质及其相互关系进行了 大量的探究,探究的同时也经受过一些简洁的推理过程,已经具备了确定的推 理才能,树立了初步的推理意识,从而为本章进一步严格证明三角形有关定理 打下了基础 .本章所证明的命题都和等腰三角形,直角三角形有关,主要包括： 1.等腰三角形的性质和判定定理； 2.直角三角形的性质定理和判定定理； 3.线段的垂直平分线性质和判定定理

2、； 4.角平分线性质定理和判定定理； 本章教学建议 对于已有命题的证明,教学过程中要留意引导同学回忆过去的探究,说理 过程,从中猎取严格证明的思路；对于新增命题,教学过程中要重视同学的探 索,证明过程,关注该命题与其他已有命题之间的关系；对于整章的命题,注 意关注将这些命题纳入一个命题系统,关注命题之间的关系,从而形成对相关 图形整体的熟识； 对于证明的方法, 除了留意启示和回忆, 仍应留意关注证明方法的多样性, 力图通过同学的自主探究, 获得多样的证明方法, 并在比较中挑选适当的方法； 证明过程中留意揭示包蕴其中的数学思想方法,如转化,归纳,类比等； 作为中学阶段几何证明的最终阶段,教学中应

3、要求同学把握综合法和分析 法 证明命题的基本要求,把握规范的证明表述过程,达成课程标准对证明表述 的要求； 1. 你能证明它们吗（一） 一,同学学问状况分析 在八年级下册第六章证明（一） ,同学已经感受了证明的必要性,并通 过平行线有关命题的证明过程,习得了一些基本的证明方法和基本规范,积存 了确定的证明体会；在七年级下,同学也已经探究得到了有关三角形全等和等 腰三角形的有关命题,这些都为证明本节有关命题做了很好的铺垫； 二,教学任务分析 本节将进一步回忆和证明全等三角形的有关定理, 并进一步利用这些定理, 公理证明等腰三角形的有关定理, 由于具备了上面所说的活动体会和认知基础, 为此,本节可

4、以让同学在回忆的基础上,自主地寻求命题的证明,为此,确定 本节课的教学目标如下： 第 1 页,共 194 页1学问目标： 懂得作为证明基础的几条公理的内容,应用这些公理证明等腰三角形的性 质定理； 在证明过程中,进一步感受证明过程,把握推理证明的基本要求,明确条 件和结论,能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判 定定理； 熟识证明的基本步骤和书写格式； 2才能目标： 经受 “探究发觉猜想证明 ”的过程,让同学进一步体会证明是探究活 动的自然连续和必要进展,进展同学的初步的演绎规律推理的才能； 鼓励同学在沟通探究中发觉证明方法的多样性,提高规律思维水平； 3情感与价值目标 启

5、示引导同学体会探究结论和证明结论,及合情推理与演绎的相互依靠和 相互补充的辩证关系； 培养同学合作沟通的才能,以及独立摸索的良好学习习惯 . 4教学重,难点 重点：探究证明等腰三角形性质定理的思路与方法, 把握证明的基本要求和 方法； 难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论, 能否用数学语言正确表 达等； 三,教学过程分析 同学课前预备：一张等腰三角形纸片（供上课折叠试验用） ； 老师课前预备：制作好的几何画板课件 . 本节课设计了六个教学环节： 第一环节： 回忆旧知 导出公理； 其次环节： 折纸活动 探究新知；第三环节：明晰结论和证明过程； 第四环节：随堂练习 巩 固新知；第五环节：课

6、堂小结；第六环节：布置作业； 第一环节：回忆旧知 导出公理 活动内容： 提请同学回忆并整理证明（一） 中列出的六条公理： 1.两直线被第三条直线所截 ,假犹如位角相等 ,那么这两条直线平行； 2.两条平行线被第三条直线所截 ,同位角相等； 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（ SAS）； 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ ASA ）； 5.三边对应相等的两个三角形全等（ SSS）； 6.全等三角形的对应边相等 ,对应角相等； 在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件： （推论）两角及其中一角的对 边对应相等的两个三角形全等 证明； （AAS ）,并要求同学利用前面所提到的公理进行 活

7、动目的： 经过一个暑假,同学难免有所遗忘,因此,在第一课时,回忆 有关内容,既是对前面学习内容的一个简洁梳理,也为后续有关证明做了学问 第 2 页,共 194 页预备；证明这个推论,可以让同学熟识证明的基本要求和步骤,为后面的其他 证明做好预备； 活动成效与留意事项 ：由于有了前面的铺垫,同学一般都能得到该推论的 证明思路, 但由于有了一个暑假的遗忘, 可能部分同学的表述未必严谨, 规范, 教学中留意提请同学分析条件和结论,画出简图,写出已知和求证,并规范地 写出证明过程；详细证明如下： 已知：如图, A= D,B=E,BC=EF. 求证： ABC DEF. B A CE DF 证明： A=

8、D,B=E（已知）, 又A+ B+C=180,D+E+ F=180（三角形内角 和等于 180）, C=180- A+B, F=180-D+E, C=F（等量代换）； 又 BC=EF（已知）, ABC DEF（ ASA ）；其次环节：折纸活动 探究新知 活动内容： 在提问：“等腰三角形有哪些性质？以前是如何探究这些性 质的,你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？并依据折纸过程,得到这 些性质的证明吗？”的基础上,让同学经受这些定理的活动验证和证明过 程；详细操作中,可以让同学先独自折纸观看,探究并写出等腰三角形的 性质,然后再以六人为小组进行沟通,相互补偿不足； B A C B CA B C A

9、 DDD活动目的 ：通过折纸活动过程,获得有关命题的证明思路,并通过进一步 的整理,再次感受证明是探究的自然延长和进展,熟识证明的基本步骤和书写 格式； 活动成效与留意事项 ：由于有了老师引导下同学的活动,以及详细的折纸 操作,同学一般都能得到有关等腰三角形的性质定理,当然,可能部分同学得 到的定理并不全面,在同学小组的沟通中,通过同伴的相互补充,一般都可以 得到全部性质定理；当然,在教学过程中,老师应留意小组的巡察,提示同学 摸索多种证明思路,摸索不同的帮忙线之间的关系从而得到“三线合一” ； 第三环节：明晰结论和证明过程 活动内容： 1,在同学小组合作的基础上,老师通过分析,提问,和同学一

10、 起完成以上两个个性质定理的证明, 留意最好让两至三个同学板演证明 ,其余学 第 3 页,共 194 页生挑选其一证明 .其后,老师通过课件汇总各小组的结果以及详细证明方法,给 同学明晰证明过程； （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形顶角的平分线,底边中线,底边上高三条线重合 2,提请同学在上面等要三角形性质定理的基础上, 摸索等边三角形的特殊 性质,从而得到：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于 60. 活动目的 ：和同学一起完成性质定理的证明,可以让同学自主经受命题的 证明过程；明晰证明过程,意图给同学明晰确定的规范,起到一种引领作用； 活动 2,就是前面命题的直接推论

11、,力图让同学形成拓广命题的意识,同时也 是一个很好的巩固练习； 活动成效 ：同学一般都能得到这些定理的证明,能规范地写出对于“等边 三角形三个内角都相等并且每个内角都等于 60”的证明过程： 已知：如图, ABC 中, AB=BC=AC 求证： A= B= C=60. 证明：在 ABC 中, AB=AC , B= C等边对等 角 同理： C= A, A= B= C（等量代换） 又 A+ B+ C180 （三角形内角和定理） , A= B= C60 第四环节：随堂练习 巩固新知 活动内容： 同学自主完成 P4 第 2 题：如图（图略） ,在ABD 中,C 是 BD 上的一点,且 ACBD, AC

12、=BC=CD , （1）求证： ABD 是等腰三角形； （2）求 BAD 的度数； 活动目的： 巩固全等三角形判定公理的应用,复习等腰三角形“等边对等 角”的用法； 第五环节：课堂小结 活动内容： 让同学畅谈收成,包括详细结论以及其中的思想方法等； 活动目的： 形成准时总结语反思的意识与习惯,提高同学才能； 活动成效与留意事项： 老师留意对同学的感想进行适当的引导,并在同学 沟通的基础上,明晰部分收成供同学共享,如： 1,详细有关性质定理； 2,通过折纸活动获得三个定理, 均赐予了严格的证明, 为今后解决有关等 腰三角形的问题供应了丰富的理论依据 3,体会了证明一个命题的严格的要求,体会了证明

13、的必要性 第六环节：布置作业 P5 习题 1,2. 四,教学反思 本节关注同学已有活动体会的回忆过程, 关注了 “探究发觉猜想证 第 4 页,共 194 页明”的活动过程,关注了同学自主探究过程,同学学习的主体性发挥较好,应 该说取得了较好的教学成效；当然,在详细活动中,如何在同学活动与规范表 达之间形成一个恰当的平稳,详细各部分时间比例的支配可能仍需要依据班级 同学详细状况进行适度的调整； 第一章 证明（二） 1. 你能证明它们吗（二） 一,同学学问状况分析 在八年级下册第六章证明（一） ,同学已经感受了证明的必要性,并通 过平行线有关命题的证明过程,习得了一些基本的证明方法和基本规范,积存

14、 了 确定的证明体会；在七年级下,同学也已经探究得到了有关三角形全等和等 腰三 角形的有关命题；而前一课时,同学刚刚证明白等腰三角形的性质,这为 本课时 拓展等腰三角形的性质, 争论等要三角形的判定定理都做了很好的铺垫； 二,教学任务分析 本节将利用前一课时所证明的等腰三角形的性质定理,进一步争论等腰三 角形的一些特殊性质,以及等腰三角形的判定定理,前者是性质定理的直接运 用与拓广,后者就是前者的逆命题,可以进展同学的逆向思维才能,同时后者 的证明过程中,需要借助反证法,因而反证法的学习与运用也成为本课时的教 学任务之一,为此,确定本节课的教学目标如下： 1学问目标： 探究发觉猜想证明等腰三角

15、形中相等的线段,证明等腰三 角形的判定定理, 进一步熟识证明的基本步骤和书写格式, 体会证明的必要性； 初步明白反证法的含义,并能利用反证法证明简洁的命题； 2才能目标： 经受“探究发觉猜想证明”的过程,让同学进一步体会证明是探 索活动的自然连续和必要进展,进展同学的初步的演绎规律推理的才能； 在命题的变式中,进展同学提出问题的才能,拓展命题的才能,从而提 高同学的学习才能和思维才能,提高同学学习的主体性； 在图形的观看中,揭示等腰三角形的本质：对称性,进展同学的几何直 觉； 引导同学体会包蕴在问题解决过程中的思想方法,如归纳,类比,反证 法等； 3情感与价值观要求 鼓励同学积极参加数学活动,

16、激发同学的古怪心和求知欲 体验数学活动中的探究与制造,感受数学的严谨性 4教学重,难 点 重点：经受“探究发觉一一猜想证明”的过程,能够用综合法 证 明有关三角形和等腰三角形的一些结论结合实例体会反证法的含 义 难点：由一般结论归纳出特殊结论 第 5 页,共 194 页探求证明思路,特殊是反证法的思路含义 三,教学过程分析 本节课设计了八个教学环节：第一环节：提出问题,引入新课；其次环节： 自主探究；第三环节：经典例题 变式练习；第四环节：逆向摸索,导出反证 法；第五环节：适时提问 导出反证法；第六环节：准时巩固 随堂练习；第 七环节：探讨收成 课时小结；第八环节：布置作业； 第一环节：提出问

17、题,引入新课 活动内容： 在回忆上节课等腰三角形性质的基础上,提出问题： 在等腰三角形中作出一些线段 如角平分线,中线,高等 ,你能发觉其中 一些相等的线段吗 .你能证明你的结论吗 . 活动目的： 回忆性质,既为后续争论判定供应了基础；同时,直接提出新 的问题,过渡自然,引入本课争论内容,而新的问题是原有性质的一个自然拓 广,有助于提高同学提出问题的才能； 其次环节：自主探究 活动内容： 在等腰三角形中自主作出一些线段 观看其中有哪些相等的线段,并尝试给出证明； 如角平分线, 中线,高等 , 活动目的： 让同学再次经受“探究发觉猜想证明”的过程, 进一步体会证明的必要性,并进行证明,从中进一步

18、体会证明过程,感受证明 方法的多样性； 活动成效与留意事项： 提出问题： 活动中,老师应留意赐予适度的引导,如可以渐次 你可能得到哪些相等的线段？ 你如何验证你的估计？ 你能证明你的估计吗？试作图,写出 已知,求证和证明过程； 仍可以有哪些证明方法？ 通过同学的自主探究和同伴的沟通,同学一般都能在直观估计,测量验证 的基础上探究出： 等腰三角形两个底角的平分线相等； 等腰三角形腰上的高相等； 等腰三 角形腰上的中线相等 并对这些命 题赐予多样的证明； 如对于“等腰三角形两底角的平分线相等” ,同学得到了下面的证明方法： 已知：如图,在 ABC中, AB=AC, BD,CE 是 ABC的角平分A

19、 D线 求证： BD=C证法 1： AB=AC, ABC=ACB等边对等角 1 1 1=ABC, 2= 2 2ABC, E 3 1第 6 页,B共 194 4 2页 1=2 在BDC 和 CEB 中, ACB=ABC, BC=CB, 1=2 BDC CEBASABD=CE全 等三角形的对应边相 等 证法 2：证明： AB=AC, ABC=ACB 又 3=4 在ABC 和 ACE 中, 3=4, AB=AC, A=A ABD ACEASABD=CE全 等三角形的对应边相等 在证明过程中,同学思路一般仍较为清楚,但究竟严格证明表述体会尚显 不足,因此,教学中老师应留意对证明规范提出确定的要求,因此

20、,留意请学 生板书其中部分证明过程,借助课件出现部分证明过程；可能部分同学仍有一 些困难,留意对有困难的同学赐予帮忙和指导； 第三环节：经典例题 变式练习 活动内容 ：提请同学摸索,除了角平分线,中线,高等特殊的线段外,仍 可以有哪些线段相等？并在同学摸索的基础上,争论课本“议一议” ： 在课本图 14 的等腰三角形 ABC1 中, 11 假如 ABD= ABC,ACE= ACB 呢.由此,你能得到一个什么结论 . 3 41 1 1 12假如 AD= AC,AE= AB,那么 BD=CE吗.假如 AD= AC,AE= AB 呢 .由 2 2 3 3此你得到什么结论 . 活动目的： 提高同学变式

21、才能,问题拓广才能,进展同学学习的自主性； 活动留意事项与成效 ：教学中应留意对同学的引导,由于同学从前这样的 体会比较少,可能同学一时不知如何争论问题,老师可以引导同学摸索：把底 角二等份的线段相等 假如是三等份, 四等份 议”； 结果如何呢 .从而引出“议一 由于课堂时间有限,假犹如学全部解决上述问题,时间不够,可以在引导 同学提出上述这些问题的基础上,让同学证明其中部分问题,而将其余问题作 为课外作业,延长到课外；当然,也可以对不同的同学提出不同的要求,如普 通同学仅仅证明其中部分问题,而要求部分学优生解决全部的问题,甚至要求 这部分学优生摸索“仍可以提出哪些类似问题,你是如何想到这些问

22、题的” ； 在同学解决问题的基础上,老师仍应留意揭示包蕴其中的思想方法； 下面是同学的课堂表现： 1 生 在等腰三角形 ABC中,假如 ABD= ABC,那么 BD=C3 E 这和证明等 腰三角形两底角的角平分线相等类似证明如下： 第 7 页,共 194 页AB=AC, ABC=ACB等边对等角 1 1又 ABD= ABC, ACE= ACB, 3 3ABD=ACE 在BDC 和 CEB 中, ABD=ACE,BC=CB, ACB=ABC, BDC CEBASABD=CE全 等三角形的对应边相 等 1 1 生 假如在 ABC 中, AB=AC, ABD= ABC, ACE= ACB,那么 4

23、4BD=CE 也是成立的由AB=AC,所以 ABC=ACB,利用等量代换便可得到 ABD=ACE, BDC与 CEB全等的条件就能中意,也就能得 BD=CE由此我 到 们可以发觉： 1 1在ABC 中, AB=AC, ABD= ABC, ACE= ACB,就确定有 BD=CE n n成立 生 也可以更直接地说：在 ABC中, AB=AC, ABD=ACE,那么 师 这两位同学都由特殊结论猜想出了一般结论 请同学们把一般结论的 BD=C证明过程完整地书写出来 老师可巡察指导 下面我们来争论第 2 问,请小组 代表发言 1 1 生 在 ABC中,AB=AC,假如 AD= AC,AE= AB,那么

24、BD=C；AD= 2 2 E 假如 1 AC,AE= AB,那么 BD=C3 E 由此我们得到了一个更一般的结论：在 ABC中, 1 1 AB=AC, AD= AC, AE= AB,那么 BD=Cn n E 证明如下： AB=AC 1 1 又AD= AC,AE= AB, n nAD=AE1 3在ADB 和 AEC 中, AB=AC, A=A,AD=AE, ADB AECSASBD=CE全 等三角形的对应边相 等 生 一般结论也可更简洁地表达为：在 么 BD=CABC中,假如 AB=AC,AD=AE,那 师 这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论,这是我们争论数 学问题常用的一种思想方法,

25、它会使我们得到意想不到的成效例如通过对这 两个问题的争论,我们可以发觉等腰三角形中,相等的线段有许多组这和等 腰三角形是轴对称图形这个性质是密不行分的 第 8 页,共 194 页第四环节：逆向摸索,导出反证法 活动过程与成效： 老师：上面,我们转变问题条件,得出了许多类似的 结论,这是争论问题 的一种常用方法,除此之外,我们仍可以“反过来”摸索问题,这也是获得数 学结论的一条途径例如“等边对等角” ,反过来成立吗 .也就是：有两个角相 A C等的三角形是等腰三角形吗 . 生 如图,在 ABC 中, B=C,要想证AB=AC,只要构造两 个全等的三角形,使 AB 与 AC 成为对应边就可以 明

26、师 你是如何想到的 . 了 生 由前面定理的证明获得启示,比如作 BC 的中线,或作 A 的分线,或作 BC 上的高,都可以把 ABC 分成两个全等的三角形 平 师 很好同学们可在练习本上尝试一下是否如此,然后分组讨 论 B 生 我们组发觉,假如作 BC 的中线,虽然把 ABC 分成了两个三角形,无法用公理和已证明的定理证明它们全等由于我们得到的条件是两个三角形 但 对应两边及其一边的对角分别相等,是不能够判定两个三角形全等的后两种 方法是可行的 师 那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来 老师 可让两个同学在黑板上演示,并对推理证明过程讲评 证明略 师 我们用“反过来”摸索问

27、题,获得并证明白一个特殊重要的定理 等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形这确定理可以 简洁表达为：等角对等边我们不仅发觉了几何图形的对称美,也发觉了数学 语言的对称美 第五环节：适时提问 导出反证法 我们类比归纳获得一个数学结论, “反过来” 摸索问题也获得了一个数学结 论假如否定命题的条件, 是否也可获得一个数学结论吗 .我们一起来“想一想”： 小明说,在一个三角形中,假如两个角不相等,那么这两个角所对的边也 不相等你认为这个结论成立吗 .假如成立,你能证明它吗 .有同学提出：“我认为这个结论是成立的由于我画了几个三角形,观看并 测量发觉,假如两个角不相等,它们所对的边也不

28、相等但要像证明“等角对 等边”那样却很难证明,由于它的条件和结论都是否定的 ” A 的确如此 像这种从正面人手很难证明的结论, 我们有没有 别的证明思路和方法呢 .我们来看一位同学的想法： 如图,在 ABC 中,已知 B C,此时 AB 与 Ac 要么相 等, 要么不相等 假设 AB=AC,那么依据“等边对等角”定理可得 C=B, B C但已知条件是 B C“ C=B”与已知条件“ B C” 第 9 页,共 194 页相冲突,因此 ABAC 你能懂得他的推理过程吗 .再例如,我们要证明 ABC 中不行能有两个直角,也可以接受这位同学的 证法,假设有两个角是直角, 不妨设 A=90,B=90,可

29、得 A+B=180, 但 ABC 中 A+B+C=180 , “A+B=180” 与 “A+B+C=180”相冲突,因此 ABC中不行能有两个直角 引导同学摸索：上一道面的证法有什么共同的特点呢 .引出反证法； 都是先假设命题的结论不成立,然后由此推导出了与已知或公理或已证明 过的定理相冲突, 从而证明命题的结论确定成立 我们把它叫做反证法 第六环节：准时巩固 随堂练习 这也是证明命题的一种方法, 已知：如图, CAE 是 ABC 的外角, ADBC 且 1=2 求证： AB=AC 证 明： ADBC, 1=B两直线平行,同位角相等 , 2=C两直线平行,内错角相等 A 1 2 D 又 1=2

30、, B=C AB=AC等 角对等边 第七环节：探讨收成 课时小结 B C 本节课我们通过观看探究,发觉并证明白等腰三角形中相等的线段,并由 特殊结论归纳出一般结论,接着用“反过来”摸索问题的方法获得并证明白等 腰三角形的判定定理“等角对等边”,最终结合实例明白了反证法的含义 第八环节：布置作业 课本 P9 习题 1 2 第 2,3 题 四,教学反思 本节课关注了问题的变式与拓广,实际上引领同学经受了提出问题,解决 问题的过程,因而较好地提高了同学的争论才能,自主学习才能,但也应留意 依据同学的情形进行适度的调整,由于同学从前这样的体会较少,因而对一些 班级同学而言,完成全部这些教学任务,可能时

31、间偏紧,为此,教学中可以适 当削减一些内容,将部分内容延长到课外,当然,也可以设计为两个课时,将 争论过程进一步开放； 第一章 证明（二） 1. 你能证明它们吗（三） 一,同学学问状况分析 在前两节课,同学已经经受了独立探究发觉定理的过程,并能基本规范地 证明相关命题,这些都为本节课进一步探究发觉相关定理供应了较好的学问基 第 10 页,共 194 页础和活动体会基础； 二,教学任务分析 本节课,同学将探究等边三角形判定定理和含 30角的直角三角形的性质 定理,应当说,这两个定理的证明和探究相对而言,并不复杂,更多的是前面 定理的直接运用,因此,本节课可以更多地让同学自主探究；但第一个定理证

32、明中,需要分类争论,因此留意揭示其中的分类思想；第 2 个定理结论比较特 殊,直接从定理条件动身,同学一般难能得到这个结论,因此,教科书中设计 了一个同学活动,在活动的基础上“无意”中发觉了其特殊的结论,这实际上 也是一种数学发觉的方法,因此也应留意让同学体会；为此,确定本节课的教 学目标： 1学问目标： 30o 角的直角三角形性质 懂得等边三角形的判别条件及其证明,懂得含有 及其证明,并能利用这两个定懂得决一些简洁的问题； 2才能目标： 经受运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符 号感,进展抽象思维 经受实际操作,探究含有 30o 角的直角三角形性质及其推理证明过程, 进

33、展合情推理才能和初步的演绎推理的才能； 在详细问题的证明过程中,有意识地渗透分类争论,逆向思维的思想, 提高同学的才能； 3情感与价值观要求 积极参加数学学习活动,对数学有古怪心和求知欲 在数学活动中获得成功的体验,锤炼克服困难的意志,建立自信心 教学重点 . 等边三角形判定定理的发觉与证明 . 含 30角的直角三角形的性质定理的发觉与证明 4教学难点 . 含 30角的直角三角形性质定理的探究与证明 . 引导同学全面,周到地摸索问题 . 三,教学过程分析 学具预备： 两个带 30 度角的三角板； 本节课设计了六个教学环节： 其次环节：自主探究；第三环节：实际操作 提 出问题；第四环节：变式训练

34、 巩固新知；第五环节：畅谈收成 课时小结； 第六环节：布置作业； 第一环节：提问问题,引入新课 活动内容 ：老师回忆前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上,直接提 出问题：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形,具有哪些性质呢？又如何判 别一个三角形是等腰三角形呢？从而引入新课； 第 11 页,共 194 页活动目的 ：开门见山,引入新课,同时回忆,也为后续探究供应了铺垫； 活动成效 ：在老师的引导下,一般同学都能得出等边三角形的性质；对于 等 边三角形的判别, 同学可能会显现多种情形, 如直接从等边三角形性质动身, 当然也可能有同学考虑分步进行,现确定它是等腰三角形,再增补条件,确定 它 是等边

35、三角形；这是老师可以适时提出问题：假如已知一个三角形是等边三 角形 的基础上,如何确定它是等边三角形呢？ 下面是实际教学中的部分师生活动实况： 生 等腰三角形已经有两边分别相等, 角形就成了等边三角形 所以我认为只要腰和底相等, 等腰三 生 等边三角形的三个内角都相等, 且分别都等于 60我认为等腰三角形 的三个内角都等于 60 ,等腰三角形就是等边三角形了 此时,部分同学同意此生的看法,部分同学不同意此生的看法,引起猛烈 地争论老师可让同学代表充分发表自己的看法 生 我不同意这位同学的看法 由于任何一个三角形中意这个条件都是等边 三角形依据等角对等边, 三个内角都是 60,所以它们所对的边确

36、定相等 但 这一问题中 “已知是等腰三角形, 中意什么条件时便是等边三角形” ,我觉得他 给的条件太多,铺张 . 师 给三个角都是 60,这个条件的确有点铺张, 那么给什么条件不铺张呢 .下面同学们可在小组内沟通自己的看法 2你认为有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形吗 .你能证明你的结 论吗 .把你的证明思路与同伴沟通 老师应给同学自主探究,摸索的时间 其次环节：自主探究 活动内容 ：同学自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件,并沟通汇报 各自的结论,老师适时要求同学给出相对规范的证明,概括出等边三角形的判 别条件,并引导同学总结出下表： 等腰三角形 性质 判定的条件 等边对等角 等角

37、对等边 （含等边三 “三 线 合一 ”即等腰 有一角是 60 角形） 三角形顶角平分线, 底边上的中线, 高互 相重合 等 边三角 形 三个角 三个角都相等的三 都相等, 且每个角都 角形是等边三角形 是 60 活动目的： 经受定理的探究过程,即明确有关定理,同时提高同学的自主 第 12 页,共 194 页探究才能； 活动留意事项与成效： 由于有了第 1 环节的铺垫,同学多能探究出： 顶角是 60的等腰三角形是等边三角形； 底角是 60的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形； 三条边都相等的三角形是等边三角形； 对于前两个定理的形式相近,老师可以进一步提出要求：能否用更简捷

38、的 语言描述这个结论吗 .从而引导同学得出：有一个角是 三角形； 60的等腰三角形是等边 在同学得出这些结论的基础上,老师留意引导同学说明道理,给出证明的 思路,挑选部分命题,给与严格的证明,由于“有一个角是 60的等腰三角形 是等边三角形”的证明需要分类争论,因此,可以以此问题作为对同学证明的 要求,并与同伴沟通证明思路并要求同学摸索证明中的留意事项,从而点明 其中的分类思想,提请同学留意：摸索问题要全面,周到 第三环节：实际操作 提出问题 活动内容：老师直接提出问题：我们仍学习过直角三角形,今日我们争论 一个特殊的直角三角形：含 30角的直角三角形；拿出三角板,做一做： 用含 30角的两个

39、三角尺,你能拼成一个怎样的三角形 角形吗 . .能拼出一个等边三 在你所拼得的等边三角形中,有哪些线段存在相等关系,有哪些线段存在 倍数关系,你能得到什么结论？说说你的理由 活动目的： 让同学经受拼摆三角尺的活动,发觉结论：在直角三角形中, 假如一个锐角等于 30,那 A A 么它所对的直角边等于斜边 的一半 活动留意事项与成效 ： 同学一般可以得出下面两种 图形：其中第 1 个图形是等 B DCB DC边三角形,对于该图同学也 可以得出 BD= 1 AB ,从而 21 2 得出：在直角三角形中,假如一个锐角等于 30,那么它所对的直角边等于斜 边的一半 留意,教学过程中,老师应留意引导同学说

40、明为什么所得到的三角形是等 边三角形；详细的说明过程可以如下： 方法 1：由于 ABD ACD,所以 AB=AC 又由于 RtABD 中, BAD=60, 所以 ABD=60,有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形 方法 2：图 1中,B=C=60,BAC= BAD+ CAD=30+30=60,所 以 B=C=BAC=60,即 ABC 是等边三角形 假犹如学不能很快得出 30 度所对直角边是斜边一半, 老师可以在图上标出 各个字母,并要求同学摸索其中哪些线段直接存在倍数关系,并在将三角板分 第 13 页,共 194 页开,摸索从中可以得到什么结论；然后在同学得到该结论的基础上,再证明该 定理

41、； 定理：在直角三角形中, 假如一个锐角等于 斜边的一半 30,那么它所对的直角边等于 已知：如图,在 RtABC 中, C=90, BAC=30 求证： BC= 1 AB 2分析：从三角尺的拼摆过程中得到启示,延长 BC 至 D,使 CD=BC,连接 AD 证明：在 ABC 中, ACB=90, BAC=30B=60. 延长 BC 至 D,使 CD=BC ,连接 AD 如以下图 ACB=90 ACB=9AC=AC , ABC ADCSAS A AB=AD 全等三角形的对应边相等 ABD 是等边三角形 有一个角是是等边三角形 AB BC=1 21 BD= 2 60的等腰三角形 第四环节：变式训

42、练 巩固新知 B CD活动 1：直接提请同学摸索刚才命题的逆命题：在直角三角形中,假如一 条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于 30吗 .假如是,请 你证明它 在师生分析的基础上,给出证明： 1 已知：如图,在 RtABC 中, C=90,BC=2 AB 求证： BAC=3证明：延长 BC 至 D,使 CD=BC,连接 AD. ACB=90, ACD=9 B A A D又AC=AC ACB ACDSAS AB=AD CB CCD=BC , BC=1 BD 21 又BC= 2 AB ,AB=BD AB=AD=BD , 即ABD 是等边三角形 B=60 在 RtABC 中 , BA

43、C=30 留意事项： 该命题的证明中帮忙线较复杂,但恰有前面原命题探究活动过 程的铺垫,可以给同学一些启示,因此,教学中,老师可以引导同学摸索：从 前面定理证明的帮忙线的作法中能否得到启示？ 第 14 页,共 194 页活动 2 ：显现例题,在师生分析的基础上,运用所学的新定懂得答例题； 例题 等腰三角形的底角为 15,腰长为 RtADC 2a,求腰上的高 CD 的长 . DC分析：观看图形可以发觉在 中, AC=2a 而 DAC 是ABC 的一个外 角,而 DAC= 15=30,依据在直角三角形中, 30角所对的直角边是斜边的一 A 半,可求出 CD 解： ABC= ACB=1B DAC=

44、ABC+ ACB=15 +15=30 CD=1 21 AC= 22a= a在直角三角形中, 假如一个锐角等于30,那么它所 对的直角边等于斜边的一半 活动目的： 在例题求解中巩固新知； 第五环节：畅谈收成 课时小结 让同学对课堂学习进行小结,留意总结详细的学问,结论,以及解决问题 的方法和包蕴其中的思想,如分类争论思想,逆向思维等； 第六环节：布置作业 P12 习题 1,2,3； 四,教学反思 本节课,难点在于探究两个定理： “在三角形中,假如一条直角边等于斜边 的一半,那么这条直角边所对的锐角等于 30”和“直角三角形中, 30所对的 直角边等于斜边的一半” ,由于设计了三角板操作的实践活动

45、, 有效地突破了难 点,因而,课堂同学思维特殊灵敏,方法多样,取得较好的成效； 第一章 证明（二） 2直角三角形（一） 一,同学学问状况分析 直角三角形全等的条件和勾股定理及其逆定理在前面已由同学通过一些 直观的方法进行了探究,所以同学对这些结论已经有所明白,对于它们,教科 书努力将证明的思路出现出来例如以前我们曾用割补法验证过勾股定理,而 此处对勾股定理的证明应以我们认定的几条公理和由此推出的定理为依据进 行,虽然证明的方法有多种,但对同学来说,这些都有难度,因此教科书将其 两种证明方法放在 “读一读 中,供有爱好的同学阅读,不要求全部同学把握, 其逆定理的证明方法对同学来说也是有确定难度的

46、 二,教学任务分析 第 15 页,共 194 页本节课的教学目标是： 1学问目标： （1）经受和明白勾股定理及其逆定理的证明方法, 进一步懂得证明的必要 性. （2）结合详细例子明白逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道原命题 成立,其逆命题不愿定成立 2才能目标： 建立初 （1）进一步经受用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程, 步的符号感,进展抽象思维 （2）进一步把握推理证明的方法,进展演绎推理的才能 3情感与价值观要求 在数学活动中,获得成功的体验,锤炼克服困难的意志,建立自信心 积极参加数学活动,对数学命题的获得产生古怪心和求知欲 . 4教学重点,难点 重点 明白勾股定理及其逆定

47、理的证明方法 结合详细例子明白逆命题的概念,识别两个互逆命题,知道原命题 成立,其逆命题不愿定成立 难点 勾股定理及其逆定理的证明方法 对不是“假如 那么 ”形式的逆命题的表达 三,教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境,引入新课；其次环节： 表达新课；第三环节：议一议；第四环节：想一想；第五环节： 随堂练习；第 六环节：课时小结；第七环节：课后作业； 第一环节：创设情境,引入新课 通过问题 1,让同学在解决问题的同时,回忆直角三角形的一般性质； 问题 1一个直角三角形房梁如以下图, 其中 BCAC, BAC=30,AB=10 cm,CB1AB, B1CAC 1,垂足分别是

48、 呢. B1,C1,那么 BC 的长是多少 . B1 C1 解：在 RtABC 中, CAB=3 0, AB=10 cm, BC1 2 AB 105 cm 2 1B1 BCB1AB, B+ BCB 190 又 A+ B 90 BCB 1 A 30 1 1在 RtACB 1 中, BB12 BC 2 5 AB1 AB BB1107.5cm 5 2cm25 cmA C1 C在 RtC1AB 1 中, A30 第 16 页,共 194 页1 1B1C1 2 AB 1 2 3.75cm 解决这个问题,主要利用了上节课已经证明的“ 30角的直角三角形的性 质”由此提问：“一般的直角三角形具有什么样的性质

49、呢 .”从而引入勾股定理 及其证明； 教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理假如利用公理及 由其推导出的定理,能够证明勾股定理吗 .请同学们打开课本 P18,阅读 “读一读 ”,明白一下利用教科书给出的公理和 推导出的定理,证明勾股定理的方法 其次环节：表达新课 阅读完毕后,针对“读一读”中使用的两种证明方法,着重争论第一种, 其次种方法请有爱好的同学课后阅读 1勾股定理及其逆定理的证明 已知：如图,在 ABC 中, C90,BCa,AC b,AB c 求证： a2 +b2 c2 证明：延长 CB 至 D,使 BDb,作EBD A,并取 BE c,连接 ED, AE 如图 ,就 AB

50、C BED BDE90,ED a全等三角形的对应角相等, 对应边相等 A B 四边形 ACDE 是直角梯形 S 梯形 ACDE a+ba+b 1 1 2 2a+b2 ABE 180 ABC EBD 180 90 90, CAB BE 1 2SABE 2 c S 梯形 ACDE SABE +S ABC+SBED, A 1 2a+b 2 1 2c + 21 2ab + 1 2ab, bc E 2 即 2 a + ab + 1 a2 +b2c21 22 1b 2 2 c + ab, CaB D两干多年来,人们对勾股定理进行了大量的争论,给出了多达数百种的证 明方法假犹如学有爱好,鼓励他们查阅有关资料

51、,明白勾股定理的其他证明 方法 老师用多媒体显示勾股定理内容,用课件演示勾股定理的条件和结论,并 强调详细如下：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 反过来,假如在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,们曾用度量的方法得出 “这个三角形是直角三角形 ”的结论你能证明此结论吗 . 这对同学们来说也是具有确定难度的于是师生共同来完成 已知：如图：在 ABC 中, AB 2+AC 2BC2 求证： ABC 是直角三角形 A 分析：要从边的关系,推出 A 90是不简洁的,如 B第 17 页,共 194 页C果能借助于 ABC 与一个直角三角形全等,而得到 形的直角 相等,可证

52、A 与对应角 构造的三角 证明：作 Rt AB,C使 A90, ABAB ,AC,AC 如图, 就 AB2AC2.勾股定理 AB 2AC2BC2, ABAB ,AC C BC2BC2 BCBC ABC AB（CSSS） A A A90全等三角形的对应角相等 B 因此, ABC 是直角三角形 老师用多媒体显示定理内容： 定理：假如三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直 角三角形 2互逆命题和互逆定理 观看上面两个命题, 它们的条件和结论之间有怎样的关系 仍有类似的命题吗 . .在前面的学习中 通过观看,同学会发觉： 上面两个定理的条件和结论互换了位置,即勾股定理的条件是其次个定理

53、 的结论,结论是其次个定理的条件 这样的情形,在前面也曾遇到过例如 “两直线平行,内错角相等 ”,交换 条件和结论,就得到 “内错角相等,两直线平行 ”又如 “在直角三角形中,假如 一个锐角等于 30,那么它所对的直角边就等于斜边的一半 ”交换此定理的条 件和结论就可得“在直角三角形中,假如一条直角边等于斜边的一半,那么这 条直角边所对的锐角等于 30”； 第三环节：议一议： 活动内容： 观看下面三组命题：同学以分组争论形式进行,最终在老师的 引导下得出命题与逆命题的区分与联系； 活动目的： 让同学畅所欲言,体会逆命题与命题之间的区分与联系,要能 够清楚地分别出一个命题的题设和结论,能够将一个

54、命题写出“假如 ；那 么 ”的形式,以及能够写出一个命题的逆命题； 活动成效与留意事项： 活动中,老师应留意赐予适度的引导,同学如显现 语言上不严谨时,要先让这个疑问交给同学来剖析,然后再总结；活动时可以 先让同学观看下面三组命题： 假如两个角是对顶角,那么它们相等 假如两个角相等,那么它们是对顶角 假如小明患了肺炎,那么他确定发烧 假如小明发烧,那么他确定患了肺炎 三角形中相等的边所对的角相等 三角形中相等的角所对的边相等 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗 .与同伴沟通 不难发觉,每组其次个命题的条件是第一个命题的结论,其次个命题的结 第 18 页,共 194 页论是第一个命题

55、的条件 在两个命题中, 假如一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件, 那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题,相对 于逆命题来说,另一个就为原命题 再来看 “议一议 ”中的三组命题,它们就称为互逆命题,假如称每组的第一 个命题为原命题,另一个就为逆命题请同学们判定 命题呢 . i 每组原命题的真假逆 在第一组中,原命题是真命题,而逆命题是假命 题 在其次组中,原命题是真命题,而逆命题是假 命题 在第三组中,原命题和逆命题都是真命题 由此我们可以发觉：原命题是真命题,而逆命题不愿定是真命题 第四环节：想一想 要写出原命题的逆命题,需先弄清楚原命题的条件和结论,然后

56、把结论变 换成条件,条件变换成结论,就得到了逆命题 请同学写出命题 “假如两个有理数相等, 那么它们的平方相等 ”的逆命题吗 . 它们都是真命题吗？ 从而引导同学摸索： 原命题是真命题吗 .逆命题确定是真命题吗 . 并通过具 体的实例说明； 假如有些命题,原命题是真命题,逆命题也是真命题,那么我们称它们为 互逆定理 . 其中逆命题成为原命题 即原定理 的逆定理 能举例说出我们已学过的互逆定理 .如我们刚证过的勾股定理及其逆定理, “两直线平行,内错角相等 ”与 “内错 角相等,两直线平行 ”“全等三角形对应边相等 ”和 “三边对应相等的三角形全 等 ”,“等边对等角 ”和“等角对等边 ”等 第

57、五环节：随堂练习 说出以下命题的逆命题,并判定每对命题的真假 1四边形是多边形； 2两直线平行,内旁内角; 互补； 3假如 ab 0,那么 a0, b0 分析 互逆命题和互逆定理的概念,同学接受起来应不会有什么困难,尤 其是对以 “假如 那么 ”形式给出的命题,写出其逆命题较为简洁,但对 于那些不是以这种形式给出的命题,表达其逆命题有确定困难可先分析命题 的条件和结论,然后写出逆命题 解：1多边形是四边形原命题是真命题,而逆命题是假命题 2同旁内角互补,两直线平行原命题与逆命题同为正 3假如 a0,60,那么 ab0原命题是假命题,而逆命题是真命题 第六环节：课时小结 这节课我们明白了勾股定理

58、及逆定理的证明方法,并结合数学和生活中的 第 19 页,共 194 页例子明白逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道,原命题成立,其逆命题 不愿定成立,把握了证明方法,进一步进展了演绎推理才能 第七环节：课后作业 习题 1 4 第 1,3 题 四,教学反思 同学对于命题和逆命题中题设和结论分析和把握不是太准, 部分同学特殊 是在语言表述方面仍然有些欠缺,明显,作为老师要关注到同学的个体差异, 对于学习本节学问有困难的同学要赐予准时的帮忙和指导；使每一个同学都能 经受证明的过程,为他们供应充分地查找证明思路的时间,空间和方法,体会 证明的必要性另外同学对于命题成立的证明方法,锤炼他们的演绎推理才

59、能 离目标仍是有确定的差距；所以作为老师确定要重视这个事实,不能急躁,要 本着以同学为本的目的,留意同学个体差异,对学习证明有困难的同学赐予帮 助和指导 . 第一章 证明（二） 2直角三角形（二） 一,同学学问状况分析 同学在学习直角三角形全等判定定理“ HL ”之前已经接触过,只是原先 仅属于明白阶段；现在是要重新熟识这个定理,并且要把握这个定理的证明以 及利用这个定懂得决相关问题有一个较高的要求； 二,教学任务分析 本节课的教学目标是： 1学问目标： 能够证明直角三角形全等的 “HL”的判定定理,进一步懂得证明的必要性 利用“HL定懂得决实际问题 2才能目标： 进一步把握推理证明的方法,进

60、展演绎推理才能 初步学会从数学的角度提出问题,懂得问题,体验解决问题的多样性, 进展实践才能和创新精神 3情感与价值观要求 积极参加数学活动,对数学有古怪心 形成实事求是的态度以及进行质疑和独立摸索的习惯 4教学重点及难点 HL 定理的推导及应用 三,教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：第一环节：提问质疑；其次环节：引入新课； 第 20 页,共 194 页第三环节：做一做；第四环节：议一议；第五环节： 后作业； 第一环节：提问质疑 课时小结；第六环节：课 我们曾从折纸的过程中得到启示,作了等腰三角形底边上的中线或顶角的 角平分线,运用公理,证明三角形全等,从而得出 “等边对等角 ”；那么我