高中数学必修二 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示学案

1、 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示【学习目标】素 养 目 标学 科 素 养1. 掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积。（重点）2. 能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直。（重点）1.数学运算;2.逻辑推理【自主学习】一两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a(x1，y1)，b(x2，y2)数量积两个向量的数量积等于它们 ，即ab 向量垂直ab 注意：公式ab|a|b|cosa，b与abx1x2y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导二与向量的模、夹角相关的三个重要公式1.向量的模：设a(

2、x，y)，则|a| .2.两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq o(AB,sup6()| .3.向量的夹角公式：设两非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则cos eq f(ab,|a|b|) .注意：由三角函数值cos 求角时，应注意角的取值范围是0.【小试牛刀】思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和( )(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.( )(3)若两个非零向量的夹角满足cos 0，则a，b的夹角为锐角( )(5)若ab|a|b|，则a，b共线( )【经典例题】题型一 数量

3、积的坐标运算点拨：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算 例1 已知向量a(1,3)，b(2,5)，求ab，(ab)(2ab)【跟踪训练】1已知向量a(1，1)，b(2，x)若ab1，则x( )A1 Beq f(1,2)C.eq f(1,2) D1题型二 平面向量的模点拨：求向量的模的两种方法：1.字母表示下的运算，利用|a|2a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示下的运算，若a(x，y)，则aaa2|a|2x2y2，于是有|a| eq r(x2y2). 例2 已知平面向量a(2,4)，b(1,2)，若ca(

4、ab)b，则|c|等于()A4eq r(2) B2eq r(5)C8 D8eq r(2)【跟踪训练】2 已知点A(0，1)，B(1，2)，向量eq o(AC,sup6()(4，1)，则|eq o(BC,sup6()|_题型三 平面向量的夹角和垂直问题点拨：解决向量夹角问题的方法1.先利用平面向量的坐标求出这两个向量的数量积ab以及|a|，|b|，再由cos eq f(ab,|a|b|)，求出cos ，也可由cos eq f(x1x2y1y2,r(xoal(2,1)yoal(2,1) )r(xoal(2,2)yoal(2,2)直接求出cos .由三角函数值cos 求角时，应注意角的取值范围是0.

5、2.由于0，所以利用cos eq f(ab,|a|b|)来判断角时，要注意cos 0也有两种情况：一是为锐角，二是0.例3 已知a(4，3)，b(1，2)(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若(ab)(2ab)，求实数的值【跟踪训练】3已知向量a(2，1)，b(，1)，且a与b的夹角为钝角，试求实数的取值范围【当堂达标】1.向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a(C)A1 B0 C1D22.已知向量a(2,1)，ab10，|ab|5eq r(2)，则|b|()Aeq r(5) Beq r(10) C5 D253.已知向量a(1，eq r(3)，b(3，m)若向量a，b的夹角为eq f(,

6、6)，则实数m()A2eq r(3)B.eq r(3) C0 Deq r(3)4.已知A(2，1)，B(6，3)，C(0，5)，则ABC的形状是()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D等边三角形5.已知向量a(1,2)，b(m,1)若向量ab与a垂直，则m_.6.已知向量a与b同向，b(1,2)，ab10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c(2，1)，求(ac)b.【课堂小结】3个公式1.数量积：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.2.模长：若a(x，y)，则aaa2|a|2x2y2，于是有|a|eq r(x2y2).3.夹角：若a(x1，y1)，b(x2，y2

7、)，a与b的夹角为，可由cos eq f(x1x2y1y2,r(xoal(2,1)yoal(2,1)r(xoal(2,2)yoal(2,2)直接求出cos .由三角函数值cos 求角时，应注意角的取值范围是0.【参考答案】【自主学习】对应坐标的乘积之和 x1x2y1y2 x1x2y1y20 eq r(x2y2) x1-x22+y1-y22eq f(x1x2y1y2,r(xoal(2,1)yoal(2,1) r(xoal(2,2)yoal(2,2)【小试牛刀】(1) (2) (3) (4) (5) 【经典例题】例1 解ab123517.ab(3,8)，2a(2,6)，2ab(2,6)(2,5)(

8、0,1)，(ab)(2ab)30818.【跟踪训练】1 D 解析：(1)ab2x1，解得x1.故选D.例2 D 解析：易得ab2(1)426，所以c(2,4)6(1,2)(8，8)，所以|c|82+-828eq r(2).【跟踪训练】2 eq r(13) 解析：设C(x，y)，因为点A(0，1)，向量eq o(AC,sup6()(4，1)，所以eq o(AC,sup6()(x，y1)(4，1)，所以eq blc(avs4alco1(x4，,y11，)解得x4，y0，所以C(4，0)，所以eq o(BC,sup6()(3，2)，|eq o(BC,sup6()|eq r(94)eq r(13).例

9、3解 (1)因为ab4(1)322，|a|eq r(4232)5，|b|eq r(（1）222)eq r(5)，设a与b的夹角为，所以cos eq f(ab,|a|b|)eq f(2,5r(5)eq f(2r(5),25).(2)因为ab(4，32)，2ab(7，8)，又(ab)(2ab)，所以7(4)8(32)0，所以eq f(52,9).【跟踪训练】3 解a与b的夹角为钝角，ab0，即(2，1)(，1)21eq f(1,2).又当a与b反向时，夹角为180，即ab|a|b|，则21eq r(5)eq r(21)，解得2.由于a与b的夹角为钝角，故应排除a与b反向共线的情况，即排除2，则实数

10、的取值范围为eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，2)(2，)【当堂达标】1.C解析：a(1，1)，b(1,2)，(2ab)a(1,0)(1，1)1.2.C 解析：|ab|5eq r(2)，|ab|2a22abb25210b2(5eq r(2)2，|b|5，故选C3.B 解析：因为a(1，eq r(3)，b(3，m)所以|a|2，|b|eq r(9m2)，ab3eq r(3)m，又a，b的夹角为eq f(,6)，所以eq f(ab,|a|b|)cos eq f(,6)，即eq f(3r(3)m,2r(9m2)eq f(r(3),2)，所以eq r(3)meq r(9m2)，解得meq r(3).4.A 解析：选A.由题设知eq o(AB,sup6()(8，4)，eq o(AC,sup6()(2，4)，eq o(BC,sup6()(6，8)，所以eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()28(4)4