自动化车床管理的最优解决方案

1、自动化车床床管理的最最优解决方方案摘要本文解决的的是自动化化车床管理理中检查间间隔和刀具具更换策略略的最优化化问题，我我们对题目目中所给数数据用Exxcel进进行了统计计分析，并并通过卡方方拟合检验验法进一步步验证出现现故障时生生产的零件件数服从正正态分布，为为此我们分分别对以下下三个问题题建立概率率模型来求求解。对于问题一一：该问题属于于优化问题题中的概率率数理统计计问题，通通过Exccel对表表格中的数数据进行数数据统计分分析，我们们发现故障障发生时所所完成的零零件数符合合正态分布布，因此我我们建立连连续型随机机事件模型型并用MAATLABB解出每个个零件损失失费用最小小值为 ，即换刀次次

2、数为3559件，检检查间隔为为18件时时为最优策策略。对于问题二二：分析得刀具具故障符合合正态分布布概率密度度曲线，因因此可以建建立一个随随机模型。在一个换换刀周期内内要么每次次抽到合格格品，要么么换刀之前前抽到次品品。每次抽抽到合格品品又可以分分两种情况况，即工序序正常时抽抽到98%的合格品品和工序故故障时抽到到40%的的合格品；换刀前抽抽到次品又又可分为两两种情况，即即工序故障障时抽到660%不合合格品和工工序正常时时抽到2%不合格品品。我们把把工序正常常时抽到22%不合格格品整合到到前三种情情况中，最最后通过MMATLAAB求得最最优解，即即损失费用用 。当换刀刀次数为2287件，检检查

3、间隔为为72件时获获得最好的的效益。对于问题三三：在第二问的的基础上，我们将检查策略改为：若抽到正品则认为机器正常，抽到次品则连续抽查两次，可以减小每个零件损失的期望值。最后，分别别对模型一一，模型二二对样本均值值与样本方方差以及概率方方面进行灵灵敏度分析析，并比较了这这些量的改改变对每个个零件损失失期望值的的影响。 关键词： 正态分布布 概率率模型 数理统统计 灵敏度分分析1问题的的重述1.1自动动化车床管管理的现状状 目目前中国机机床产业仅仅仅在规模模方面具有有相对比较较优势，与与机床制造造强国相比比，在结构构、水平、研发和服服务能力等等方面都还还存在明显显的差距。但有些行行业如铁路路、航

4、空、能源等行行业对机床床依然有较较大需求，尤尤其是汽车车制造行业业开始回升升。随着制制造业市场场需求的变变化、产品品升级需求求的释放、“振兴规划划”和“重大专项项”政策的出出台，产品品结构在不不断优化，机机床行业将将出现结构构性复苏机机会。1.2本文文需要解决决的问题 一道工序序用自动化化车床连续续加工某种种零件，由由于刀具损损坏等原因因该工序会会出现故障障，其中刀刀具损坏故故障占955%, 其其它故障仅仅占5%。工序出现现故障是完完全随机的的, 假定定在生产任任一零件时时出现故障障的机会均均相同。工工作人员通通过检查零零件来确定定工序是否否出现故障障。现积累累有1000次刀具故故障记录，故故

5、障出现时时该刀具完完成的零件件数如附表表。现计划划在刀具加加工一定件件数后定期期更换新刀刀具。 已知生产工工序的费用用参数如下下： 故障时产出出的零件损损失费用 f=2000元/件件； 进行检查的的费用 tt=10元元/次； 发现故障进进行调节使使恢复正常常的平均费费用 d=30000元/次(包括刀具具费)； 未发现故障障时更换一一把新刀具具的费用 k=10000元/次。 1)假定工工序故障时时产出的零零件均为不不合格品，正正常时产出出的零件均均为合格品品, 试对对该工序设设计效益最最好的检查查间隔（生生产多少零零件检查一一次）和刀刀具更换策策略。 2)如果该该工序正常常时产出的的零件不全全是

6、合格品品，有2%为不合格格品；而工工序故障时时产出的零零件有400%为合格格品，600%为不合合格品。工工序正常而而误认有故故障停机产生的的损失费用用为15000元/次次。对该工工序设计效效益最好的的检查间隔隔和刀具更更换策略。3）在2)的情况, 可否改改进检查方方式获得更更高的效益益。 附:1000次刀具故故障记录(完成的零零件数)459362624542509584433748815505612452434982640742565706593680926653164487734608428115359384452755251378147438882453886265977585975564

7、96975156289547716094029608856102928374736773586386996345555708441660610624841204476545643392802466875397905816217245315125774964684995446457645583787656667632177153108512.模型的的假设与符符号说明2.2模型型的假设假设一：工工序出现故故障是完全全随机的，假假定在生产产任何一零零件时出现现故障的机机会均相等等。假设二：由由于刀具损损坏故障比比率较大，则则忽略其它它故障对计计算结果的的影响。假设三：更更换刀具和和发现故障障进行调节

8、节使恢复正正常使用，这这两者都看看做一个周周期，之后后又是另外外一个周期期的开始。假设四：题题中所给的的数据都是是通过实验验论证，正正确合理并并且没有错错误。假设五：对对于某一个个刀具的寿寿命可以近近似用该点点的概率密密度表示。假设六：因因误判而停停机只有误误判停机损损失费，它它的一个周周期没有结结束。 2.2符号号说明符号符号说明故障时产出出的零件损损失费用进行检查的的费用发现故障进进行调节使使恢复正常常的平均费费用未发现故障障时更换一一把新刀的的费用工序正常而而误认有故故障停机产生的的损失费用用刀具损坏故故障的概率率密度函数数第种情况该该事件发生生的概率每个零件损损失费用的的期望值一个周期

9、内内损失费用用的期望总总和第种情况损损失费用的的期望和一个周期内内生产合格格零件的期期望值第种情况生生产合格零零件的期望望值第种情况损损失的费用用第种情况生生产的合格格零件数每生产个零零件换一次次刀具即换换刀周期每生产个零零件检查一一次换刀前出现现故障时生生产的合格格零件数一次换刀周周期的检查查次数工序出现故故障时产出出不合格品品的概率工序正常时时产出合格格品的概率率3.数据的的分析与假假设检验通过对1000次刀具具故障记录录的完成零零件数观察察研究及用用Exceel处理验验证，可以以估计刀具具故障分布布函数，其其服从正态态分布，根根据记录数数据求出了了，则有发现现这1000次刀具故故障时完成

10、成的零件数数近似服从从的正态分分布。 我们就大胆胆的假设这这100次次刀具故障障数据近似似服从正态态分布，再再用卡方拟拟合检验法法来进一步步验证。我我们用来作作为检验统统计量。我们假设刀刀具使用寿寿命近似服服从的正态态分布，：表示总体体的分布函函数是；：表示总体体的分布函函数不是；若，则成立立，即假设设成立；若若，则成立，即即假设不成成立；分析析题中所给给数据可以以知道：的的最小值为为84，最最大值为11153，我我们可以把把这1100个数据从从83.55到11553.5分分成10组组，每组间间隔，用EExcell画出频数数直方图如如上。数出落在每每个小区间间的数据频频数，算出出，得到如下下表

11、所示：卡方分布检检验正态分分布表格组限频数频率83.5-190.530.030.014455.758.52190.55-2977.540.040.04330297.55-4044.570.070.096699.695.06404.55-5111.5160.160.1644116.41115.6511.55-6188.5250.250.2133121.31129.333618.55-7255.5200.200.1999819.98820.022725.55-8322.5130.130.1433314.33311.799832.55-9399.570.070.078837.836.26939.55

12、-10446.530.030.030084.75.321046.5-11153.5520.020.0166210011100101. 9其中计算得：1. 99通常我们取取，则11.071故有，因因此在水平平0.055下我们接接受，即总总体X的正正态分布函函数。由此我们得得出刀具寿寿命X服从从正态分布布。4.问题的的分析通过对车床床故障数据据的数理统统计我们发发现车床出出现故障时时所产生的的零件数符符合正态分分布函数，车车床的故障障来自于995%刀具具故障和来来自于5%其它故障障这两方面面因素所致致，此外对对于另外55%的其它它故障由于于概率较小小，可以当当做小概率率事件，暂暂时忽略。本文求解损

13、损失效益最最小情况下下，安排合合理的检查查间隔与换换刀策略。分析得知知车床出现现故障时所所产生的零零件数符合合正态分布布函数，因因此可以建建立一个随随机模型来来解决损失失最小的优优化问题。最后使在在一个换刀刀周期内，损损失费用的的总期望值值与生产合合格产品的的总期望值值比值最小小。在一个确定定的换刀周周期内，分分析易得这这个周期内内只会出现现两种情况况：要么每每次抽到合合格产品要要么在换刀刀之前抽到到次品。求求出两种情情况下损失失的费用再再分别求出出两事件发发生的概率率，即为损损失费用的的总期望值值。同理可可以求出一一个周期内内生产合格格产品的总总期望值。对于问题一一：分析得得刀具故障障符合正

14、态态分布概率率密度曲线线，因此可可以建立一一个随机模模型。在一一个刀具更更换周期内内，题中假假定工序故故障时产出出的零件均均为不合格格品，正常常时产出的的零件均为为合格品。那么只有有两种情况况换刀前机机器正常或或换刀之前前机器故障障。易计算算这情况下下的每个零零件损失期期望值的表表达式，最最后在MAATLABB中编程求求出符合题题意的最优优解。对于问题二二：分析得得刀具故障障符合正态态分布概率率密度曲线线，因此可可以也建立立一个随机机模型。但但题中假设设该工序正正常时产出出的零件不不全是合格格品，有22%为不合合格品，而工序故故障时产出出的零件有有40%为为合格品，660%为不不合格品。总体求

15、解解思路不变变，在一个个换刀周期期内要么每每次抽到合合格品，要要么换刀之之前抽到次次品。各种种情况方框框图表示为为：由于单独考考虑第4种种情况会比比较复杂，但但分析得前前三种情况况包含第44种情况的的一小部分分，因此可可以把第44种分别放放在前三种种情况中考考虑，最后后在MATTLAB中中编程求出出符合题意意的解。对于问题三三：同理可可以建立一一个随机模模型，在问题二的情情况, 可可否改进检检查方式获获得更高的的效益。在在第二问求求解时，我我们抽查零零件时都是是等间距的的。分析得得刀具故障障数据近似似服从正态态分布，也也就是说在在开始的一一段时间内内零件出现现故障的概概率较小，随随后加大。因此

16、等间间距检测就就出现弊端端，所以我我们考虑不不等间距检检测，依据据刀具故障障数据正态态分布函数数，开始检检测间距大大一些，之之后检测间间距小一些些。或每次次检测连续续检查两次次，可以大大大减小抽抽到次品和和误判而停停机的概率率。5.问题一一的解答5.1随机机模型的建建立 5.11.1确定定目标函数数：通过对问题题一的分析析我们确立立了目标函函数 每每个零件的的损失费用用的期望值值为一个周周期内损失失费用的期期望总和与与生产合格格零件的期期望值之比比，越小则获得得的效益越越高，的最最小值表达达式为： 对对于损失费费用的期望望总和为换换刀前不出出现故障的的损失费用用期望和和和换刀前出出现故障的的损

17、失费用用期望和之之和。而损损失费用的的期望为损损失费用与与此事件发发生概率的的乘积： 同同理得到换换刀前生产产合格零件件的期望值值的表达式式为： 第第一种情况况即换刀之之前没有出出现故障的的损失费用用期望值，为检查费用和换刀费用之和再乘以该事件发生的概率，表达式为： 所以 第第二种情况况即换刀之之前出现故故障的损失失费用期望望值，为检检查费、故故障维修费费和零件损损失费三者者之和再乘乘以该事件件发生的概概率，其表表达式为： 事件概率为为第个零件件恰好为坏坏的概率为为： 所以：同理，生产产合格零件件的期望值值的表达式为为： 5.1.2综上所所述得到问问题一的最最优化模型型：5.2模型型的求解根据

18、MATTLAB程程序求得：（见附录录问题一）每个零件损损失费用最最小值为即当检查间间隔为188件，刀具具的额定寿寿命为3559件时可可使损失费费用最小。5.3结果果的分析 根根据题意，工工序正常时时产出的都都为合格品品，故障时时产出的都都为不合格格品，我们们考虑了换换刀前出现现故障和换换刀前不出出现故障这这两种情况况，并分别别用MATTLAB编编程求解，最最后我们得得到模型最最优解，即即检查间隔隔为18件件，刀具的的额定寿命命为3599件时损失失费用最小小。由于刀刀具的额定定寿命为3359，通通过6SQQ分析得出出它的期望望值为6000,3559/6000=599.8%,有效的避避免后面刀刀具

19、故障发发生的高峰峰期，比较较符合实际际情况。6.问题二二的解答6.1随机机模型的建建立 6.11.1确定定目标函数数通过对问题题二的分析析我们确立立了目标函函数： （1）第一一种情况下下损失费用用的期望值值，为检查查费用、换换刀费、零零件损失费费及误判损损失费之和和再与此事事件发生概概率的乘积积。 所所以： （2）第二二种情况下下损失费的的期望值，为检查费、故障维修费、零件损失费和误判停机费之和再与此事件发生概率的乘积。 所以（3）第三三种情况下下损失费用用的期望值值，为检查费、故障维修修费、误判判停机费及及零件损失失费之和再再与此事件件发生概率率的乘积。损失费用 所所以同理生产合合格产品的的

20、损失费用用期望和为为： 6.1.2综上所所述得到问问题二的最最优化模型型： 6.2模型型的求解根据MATTLAB程程序求得：（见附录录问题二）每个零件损损失费用最最小值为即当检查间间隔为722件，刀具具的额定寿寿命为2887件时可可使损失费费用最小。6.3结果果的分析 根根据题意我我们得知要要么每次都都抽到正品品，要么换换刀前就抽抽到了次品品，同时抽抽查零件是是不等间距距的，通过过对该问的的问题分析析，我们建建立随机模模型并用MMATLAAB求得最最优解，即即检查间隔隔为72件，刀刀具的额定定寿命为2287件时时损失费用用最小。相相比于第一一问换刀周周期缩短，检检测间隔加加大。主要要由于检查查

21、过程中故故障率加大大有关，若若换刀周期期加大则抽抽出次品和和误判停机机的概率将将加大，总总的失费用用期望值增增大，合格格产品期望望值减小，所所以换刀周周期减小。检测间隔隔价格增大大，则检测测费用减小小，误判而而停机的费费用，零件件损失费用用的期望值值都先对减减小，所以以加大检查查间隔。7.问题三三的解答7.1随机机模型的建建立 7.11.1确定定目标函数数通过对问题题三的分析析我们确立立了目标函函数： （1）第一一种情况下下损失费用用的期望值值，为检查查费用、换换刀费、零零件损失费费及误判损损失费之和和再与此事事件发生概概率的乘积积。 所所以： （2）第二二种情况下下损失费的的期望值，为检查费

22、、故障维修费、零件损失费和误判停机费之和再与此事件发生概率的乘积。 所以（3）第三三种情况下下损失费用用的期望值值，为检查费、故障维修修费、误判判停机费及及零件损失失费之和再再与此事件件发生概率率的乘积。损失费用 所所以同理生产合合格产品的的损失费用用期望和为为： 7.1.2综上所所述得到问问题三的最最优化模型型： 灵敏度的分分析8.1样本本均值与样样本方差对对结果的影影响 我我们用正态态分布来描描述刀具出出现故障的的分布，其其均值方差差的不确定定性，对结果会会造成误差差。现在用用模型一对对结果进行行灵敏度分分析，得下下表570590600600600600196.66291196.66291

23、196.662911971992073393413593593593561719181818174.975584.728814.609964.614494.643384.757717.94%2.57%0.00%0.11%0.74%15.222%其中用代表表相对误差差，其中。通过上表可可以看出，即即使样本均均值与样本本方差与实实际的有一一定的差距距，对结果果影响依然然不大。因因此我们采采用文中所所给方法是是合理的。8.2保持持不变，改改变的值从从0.011到0.003变化，考考察其对结结果的影响响 0.010.01220.01440.01660.01880.020.02220.02440.026

24、60.60.60.60.60.60.60.60.60.62992993052942942992992992995050515959606060607.22447.69338.16448.63449.09999.565510.033310.500310.9775 由由上表可以以看出，随随着的改变变，最优检检查间隔变变化不大，但但每个零件件的平均费费用变动较较大，说明明工序正常常时生产不不合格品的的概率越小小，其平均均费用越小小，且其对对检查间隔隔基本没有有影响。8.3保持持不变，改改变的值从从0.1到到0.9变变化，考察察其对结果果的影响0.020.020.020.020.020.020.020

25、.020.020.10.20.30.40.50.60.70.80.93303293243143042992942992996766656361605950508.52449.866611.466413.422115.95539.56559.62119.64339.64112 由由此表可以以看出，随随着减少，每个个零件的损损失期望值值基本维持持在一定范范围内保持持不变，而而最佳检查查间隔的相相对减小，说说明刀具发发生故障时时，无论其其生产不合合格品的概概率有多小小，对每个个零件的平平均费用影影响不大，但但会引起检检查间隔的的减小，由上上述三项分分析可以得得出如下结结论：工序出现故故障的概率率服从

26、正态态分布，如如果要将每每个零件的的平均费用用控制在尽尽量小，应应考虑改进进加工工序序使其提高高在正常情情况下生产产合格品的的概率。9.模型的的评价、改改进及推广广9.1模型型的评价 9.11.1模型型的优点 (1)本文建模模思想易于于理解，模模型操作性性强。 (2)将每个零零件的平均均损失费用用作为目标标函数，建建立了评估估体系，既既有利于求求出模型的的最优解，又又比较符合合实际生产产中企业取取舍方案的的标准。 （3）将将所求的目目标函数分分解为几大大部分，条条理清晰。 （4）对对某一个刀刀具的寿命命的概率近近似用概率率密度函数数表示，减减小了计算算的复杂度度。 9.11.2模型型的缺点 (

27、1)没有对和的范围作作估计，导导致和将因范围围的扩大而而递增。(2)数据据处理得不不够精确，未未用泊松分分布而是利利用的正态态分布拟合合已知数据据，存在一一定的误差差。(3)把其其它原因引引起的5%的故障没没有考虑在在内，计算算结果的概概率有误差差。(4)用概概率密度函函数近似代代替概率也也存在一些些误差。9.2模型型的改进对于问题二二，由于工工序正常时时产出的零零件仍有22%为不合合格品，而而工序故障障时产生的的零件有440%为合合格品，这这样工作人人员在通过过定期检查查单个零件件来确定工工序是否出出现故障的的检查方式式必然会导导致两种误误判：（11）正常工工序时因检检查到不合合格品而误误认

28、为出现现故障；（22）工序发发生故障后后检查到的的仍是合格格品而认为为工序正常常。这两种种情况都将将造成很大大损失，我我们建议采采取不等间间距的检查查方式，分分为以下几几种情况： (11)连续两两次检查都都为正品时时，我们认认为工序正正常，继续续生产。 (22)连续两两次检查都都为次品时时，我们认认为工序发发生故障，进进行维修使使其恢复正正常后再生生产。 (33)连续两两次检查中中，一次为为正品，另另一次为次次品时，继继续第三次次检查，再再进行判断断。 这样样虽然会相相应的增加加检查费用用，但大大大降低了因因误检而造造成的损失失，从而使使系统工序序获得更高高的效益。9.3模型型的推广 本本文建

29、立的的模型针对对的是单道道工序加工工单一零件件的问题，但但可以扩展展到多道工工序和多个个零件的复复杂车床管管理系统。在多道工工序中，我我们可以通通过统计分分析各道工工序发生故故障的概率率，有效的的控制故障障发生的次次数，并把把多个零件件看做一个个整体，综综合利用以以上模型求求出最优的的检查间隔隔和换刀间间隔。10.参考考文献1盛骤骤，概率率论与数理理统计( 第二版)，浙江江大学， 高等教育育出版社。2韩中中庚，数数学建模方方法及其应应用（第二二版），高高等教育出出版社，22009年年。3曹弋弋，MAATLABB教程及实实训，机机械工业出出版社，22008年年。11.附录录11.1对对于问题一一

30、用MATTLAB编编程：clearr,clccmin=1100000for bb=2000:4000 for a=100:30; pp2=0; ii=1:bb; pp1=noormcddf(b,600,196.62911); pp3=suum(noormpddf(i,600,196.62911).*(i-1),2); mm=1:b; pp2=suum( (200.*(a.*(flloor(m./aa)+1)-m)+30000+10*(flooor(mm./a)+1).*noormpddf(m,600,196.62911) ); mminp=(10000+ffloorr(b/aa)*100)*(11-p1)+p2