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文档简介

1、4.3 协方差.相关系数与矩D(XY)=D(X)D(Y)+2EXE(X)YE(Y)D(XY)=D(X)D(Y)2EXE(X)YE(Y) 当研究的问题涉及多个随机变量的时候, 变量与变量之间的关系, 是必须关注的一个方面. 本节介绍的协方差、相关系数就是描述随机变量之间相互关系的数字特征. 定义4.3.1 若EXE(X)YE(Y)存在，称 Cov( X,Y )=EXE(X)YE(Y)为随机变量(X,Y)的协方差.有 D(X)= Cov(X, X )；一.协方差 D(X士Y)=D(X)+D(Y)士2Cov(X,Y )协方差的性质1.Cov( X, Y ) Cov( Y, X ) ；3.Cov( X

2、1+X2 , Y ) Cov( X1,Y )+Cov( X2 ,Y ).常用计算公式cov( X,Y )E(XY) E(X)E(Y)例4.3.1 例4.3.2 2.Cov( aX, bY ) ab Cov( X,Y ), a, b是常数；二、相关系数 定义4.3.2 设二维随机变量X,Y 的D(X)0, D(Y)0 , 称为随机变量X与Y 的相关系数.注 1）XY是一无量纲的量. 2）标准化随机变量的协方差性质 设随机变量X,Y 的相关系数存在，则 1） |1; 2） |1 X与Y 依概率为1线性相关. 即证 明 相关系数是衡量两个随机变量之间线性相关程度的数字特征.练习 将一枚硬币重复抛掷n

3、次, X, Y 分别表示正面朝上和反面朝上的次数，则XY1注1 若随机变量X, Y 的相关系数XY存在, 2）XY-1，则0, 称 X, Y 正相关； 定理4.3.1 若随机变量X 与Y 相互独立，则X 与Y 不相关，即有 XY0 .注2 若(X,Y)N(1,21; 2 , 22; ) ,则 X, Y 相互独立 XY0 . 注1 此定理的逆定理不成立, 即由XY0 不能得到X 与Y 相互独立.例4.3.3 参见P116 例4.4.6例4.3.5 例4.3.4 定义4.3.3 设n 维随机变量(X1,X2,Xn) 的协方差 均存在, 称矩阵 为(X1, X2 , Xn)的协方差矩阵.Cij = Cov( Xi , Xj )其中有 Cov( X,Y )=EXE(X)YE(Y)D(X)= cov(X,X )三、协方差矩阵的性质例4.3.6 3）C是非负定矩阵；对称阵 四.矩 定义4.3.4 设X为随机变量, 若E(|X|k) +, 称k= E(Xk) k=1,2,3.为X的 k 阶原点矩. 称k =E(|X|k), k=1,2,3.为X的 k 阶绝对原点矩. 定义4.3.5 设 X 为随机变量,若E|XE(X)|k 0, D(Z)0, 故 XZ = 0. (3) (X, Z )是正态分布随机变量 ( X, Y

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