金属结构性质体心立方堆积中八面体空隙四面体空隙半径计算

1、适用标准文案金属的结构和性质8.1】半径为R的圆球积聚成正四周体空隙，试作图计算该四周体的边长和高、中心到极点距离、中心距离地面的高度、中心到两极点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。解：4个等径圆球作密切积聚的情况示于图9.1（a）和(b)，图9.1(c)示出积聚所形成的正四周体空隙。该正四周体的极点即球心地址，边长为圆球半径的2倍。9.1由图和正四周体的立体几何知识可知：边长AB=2R221221AMAEEM2ABBEDE高312212122222AB21AB1AER23R2R23326R1.633R3OA3AM6R1.225R中心到极点的距离：42OM1AM6R0.408R中心究竟边的高

2、度：46中心到两极点连线的夹角为：AOB26R/2222222Rcos1OAOBABcos126R/222OAOBcos11/3109.47中心到球面的最短距离OAR0.225R此题的计算结果很重要。由此结果可知，半径为R的等径圆球最密积聚结构中四周体空隙所能容纳的小球的最大多数径为0.225R。而0.225正是典型的二元离子晶体中正离子的配位出色文档适用标准文案多面体为正四周体时正、负离子半径比的下限。此题的结果也是认识hcp结构中晶胞参数的基础(见习题9.04)。【8.2】半径为R的圆球积聚成正八面体空隙，计算中心到极点的距离。解：正八面体空隙由6个等径圆球密积聚而成，其极点即圆球的球心，

3、其棱长即圆球的直径。空隙的实质体积小于八面体体积。图9.2中三图分别示出球的积聚状况及所形成的正八面体空隙。图9.2由图（c）知，八面体空隙中心到极点的距离为：111OCAC2AB22R2R222而八面体空隙中心到球面的最短距离为：OCR2RR0.414R此即半径为R的等径圆球最密积聚形成的正八面体空隙所能容纳的小球的最大多数径。0.414是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时r/r的下限值。8.3】半径为R的圆球围成正三角形空隙，计算中心到极点的距离。解：由图9.3可见，三角形空隙中心到极点（球心）的距离为：OA2AD23R1.155R33图9.3三角形空隙中心到球面的距离为：

4、OAR1.155RR0.155R此即半径为R的圆球作密切积聚形成的三角形空隙所能容纳的小球的最大多数径，0.155是“三角形离子配位多面体”中r/r的下限值。【8.4】半径为R的圆球积聚成A3结构，计算简单立方晶胞参数a和c的数值。出色文档适用标准文案解：图9.4示出A3型结构的个简单六方晶胞。该晶胞中有两个圆球、4个正四周体空隙和两个正八面体空隙。由图可见，两个正四周体空隙共用一个极点，正四周体高的两倍即晶胞参数c，而正四周体的棱长即为晶胞参数a或b。依据9.01题的结果，可得：图9.4ab2Rc26R246R3263c/a1.6333【8.5】证明半径为R的圆球所作的体心立方积聚中，八面体

5、空隙只好容纳半径为0.154R的小球，四周体空隙可容纳半径为0.291R的小球。证明：等径圆球体心立方积聚结构的晶胞示于图9.5（a）和（b）。由图9.5（a）可见，八面体空隙中心分别分布在晶胞的面心和棱心上。所以，每个晶胞中6个八面体空隙6112124。而每个晶胞中含2个圆球，所以每个球均匀摊到3个八面体空隙。这些八面体空隙是沿着一个轴被压扁了的变形八面体，长轴为2a，短轴为a（a是晶胞参数）。（圆球，八面体空隙中心，四周体空隙中心）9.5八面体空隙所能容纳的小球的最大多数径r0即从空隙中心（沿短轴）到球面的距离，该aRC3距离为2。体心立方积聚是一种非最密积聚，圆球只在轴方向上相互接触，因

6、此a4aRr02R0.154RR。代入213，得3。由图9.5（b）可见，四周体空隙中心分布在立方晶胞的面上，每个面有4个四周体中641心，所以每个晶胞有12个四周体空隙2。而每个晶胞有2个球，所以每个球均匀摊到6个四周体空隙。这些四周体空隙也是变形的，两条长棱皆为3aa，4条短棱皆为2。出色文档适用标准文案四周体空隙所能容纳的小球的最大多数径rT等于从四周体空隙中心到极点的距离减去球2212aa的半径R。而从空隙中心到极点的距离为245a4，所以小球的最大多数径为5aR54RR0.291R4438.6】计算等径圆球密置单层中均匀每个球所摊到的三角形空隙数量及二维积聚密度。解：图9.6示出等径

7、圆球密置单层的部分。图9.6由图可见，每个球(如A)四周有6个三角形空隙，而每个三角形空隙由3个球围成，所612以每个球均匀摊到3个三角形空隙。也可按图中画出的平行四边形单位计算。该单位只包含一个球（截面）和2个三角形空隙，即每个球摊到2个三角形空隙。设等径圆球的半径为R，则图中平行四边形单位的边长为2R。所以二维积聚系数为：R2R224R20.9062Rsin603/2【8.7】指出A1型和A3型等径圆球密置单层的方向是什么？解：A1型等径团球密积聚中，密置层的方向与C3轴垂直，即与(111)面平行。A3型等径圆球密积聚中，密置层的方向与六重轴垂直，即与(001)面平行。下边将经过两种密积聚

8、型式划分出来的晶胞进一步说明密置层的方向。A1型密积聚可划分出如图9.7(a)所示的立方面心晶胞。在该晶胞中，由虚线连接的圆球所处的平面即密置层面，该层面垂直于立方晶胞的体对角线即C3轴。每一晶胞有4条体对角线，即在4个方向上都有C3轴的对称性。所以，与这4个方向垂直的层面都是密置层。图9.7出色文档用准文案A3型密堆可划分出如9.7(b)所示的六方晶胞。球A和球B所在的堆都是密置些面平行于(001)晶面，即垂直于c，而c平行于六重C6。【8.8】按下边（a）（c）A1、A2及A3型金属晶体的构特色。（a）原子密置的堆方式、重复周期（A2型除外）、原子的配位数及配位状况。b）空隙的种和大小、空

9、隙中心的地址及均匀每个原子到的空隙数量。c）原子的堆系数、所属晶系、晶胞中原子的坐参数、晶胞参数与原子半径的关系以及空点型式等。解：(a)A1，A2和A3型金属晶体中原子的堆方式分立方最密堆(ccp)、体心立方密堆(bcp)相六方最密堆(hcp)。A1型堆中密堆的重复方式ABCABCABC，三一重复周期，A3型堆中密堆的重复方式ABABAB，两一重复周期。Al和A3型堆中原子的配位数皆12，而A2型堆中原子的配位数814，在A1型和A3型堆中，中心原子与全部配位原子都接触同6个，上下两各3个。所不一样的是，A1型堆中，上下两配位原子沿C3的投影相差60呈C6的称性，而A3型堆中，上下两配位原子

10、沿c的投影相互重合。在A2型堆中，8个近距离(与中心原子相距3a)配位原子在立方晶胞的点上，6个距离(与中心原子相距a)配位原子在相品胞的体心上。(b)A1型堆和A3型堆都有两种空隙，即四周体空隙和八面体空隙。四周体空隙可容半径0.225R的小原子八面体空隙可容半径0.414R的小原子(R堆原子的半径)。在两种堆中，每个原子均匀到两个四周体空隙和1个八面体空隙。差在于，两种堆中空隙的分布不一样。在A1型堆中，四周体空隙的中心在立方面心晶胞的体角6R上，到晶胞点的距离2。八面体空隙的中心分在晶胞的体心和棱心上。在0,0,3;0,0,5;2,1,1;2,1,7A3型堆中，四周体空隙中心的坐参数分8

11、8338338。而八面体2,1,1;2,1,3空隙中心的坐参数分334334。A2型堆中有形八面体空隙、形四周体空隙和三角形空隙(亦可形三方双空隙)。八面体空隙和四周体空隙在空上是重复利用的。八面体空隙中心在体心立方晶胞的面心和棱心上。每个原子均匀到3个八面体空隙，空隙可容的小原子的最大多数径0.154R。四周体空隙中心在晶胞的面上。每个原子均匀到6个四周体空隙，空隙可容的小原子的最大多数径0.291R。三角形空隙上是上述两种多面体空隙的接面，算起来，每个原子到12个三角形空隙。（c）金属的构形式A1A2A3原子的堆系数74.05%68.02%74.05%所属晶系立方立方六方晶胞形式面心立方体

12、心立方六方出色文档适用标准文案晶胞中原子110,0,0;0,0,0;的坐标参数0,0,0;,0;111211221111,23,2232,0,;0,2222晶胞参数与a22R4ab2R原子半径的关系aR43c6R3点阵形式面心立方体心立方简单六方综上所述，A1，A2和A3型结构是金属单质的三种典型结构形式。它们拥有共性，也有差异。尽管A2型结构与A1型结构同属立方晶体，但A2型结构是非最密积聚，积聚系数小，且空隙数量多，形状不规则，分布复杂。搞清这些空隙的状况对于实质工作很重要。A1型和A3型结构都是最密积聚结构，它们的配位数、球与空隙的比率以及积聚系数都相同。差异是它们的对称性和周期性不一样

13、。A3型结构属六方晶系，可划分出包含两个原子的六方晶胞。其密置层方向与c轴垂直。而A1型结构的对称性比A3型结构的对称性高，它属立方晶系，可划分出包含4个原子的面心立方晶胞，密置层与晶胞体对角线垂直。A1型结构将原子密置层中C6轴所包含的C3轴对称性保留了下来。其余，A3型结构可抽象出简单六方点阵，而A1型结构可抽象出头心立方点阵。8.9】画出等径圆球密置双层图及相应的点阵素单位，指明结构基元。解：等径圆球的密置双层示于图9.9。仔细观察和分子便发现，作周期性重复的最基本的结构单位包含2个圆球，即2个圆球构成一个结构基元。这两个球分布在两个密置层中，如球A和球B。图9.9密置双层自己是个三锥结

14、构，但由它抽拿出来的点阵却为平面点阵。即密置双层仍为二维点阵结构。图中画出平面点阵的素单位，该单位是平面六方单位，其形状与密置单层的点阵素单位相同，每个单位也只包含1个点阵点，但它代表2个球。等径圆球密置双层是两个密置层作最密积聚所获取的独一的一种积聚方式。在密置双层结构中，圆球之间形成两种空隙，即四周体空隙和八面体空隙。前者由3个相邻的A球和1个B球或3个相邻的B球和1个A球构成。后者则由3个相邻的A球和3个相邻的B球构成。球数:四周体空隙数:八面体空隙数=2:2:1【8.10】金属铜属于A1型结构，试计算（111）、（110）和（100）等面上铜原子的积聚系数。解：参照金属铜的面心立方晶胞

15、，画出3个晶面上原子的分布状况以下（图中未示出原子的接触状况）：出色文档适用标准文案（111）面是密置面，面上的全部原子作密切摆列。该面还是的铜原子的积聚系数等于三角形单位中球的总最大截面积除以三角形的面积。三角形单位中包含两个半径为R的球11336，所以该面上原子的积聚系数为：2R20.9062R23R23【8.11】金属铂为A1型结构，立方晶胞参数a392.3pm，Pt的相对原子质量为195.0，试求金属铂的密度及原子半径。解：因为金属铂属于A1型结构，所以每个立方晶胞中有4个原子。因此其密度为：D4M4195.0gmol1a3NA392.31010cm36.0221023mol121.4

16、5gcm3a和原子半径R的A1型结构中原子在立方晶胞的面对角线方向上相互接触，所以晶胞参数关系为a22R，所以：Ra392.3pm2222138.7pm【8.12】硅的结构和金刚石相同，Si的共价半径为117pm，求硅的晶胞参数，晶胞体积和晶胞密度。解：硅的立方晶胞中有8个硅原子，它们的坐标参数与金刚石立方晶胞中碳原子的坐标参数相同。硅的共价半径和晶胞参数的关系可经过晶胞对角线的长度推导出来。设硅的共价半径为rSi，晶胞参数为a，则依据硅原子的坐标参数可知，体对角线的长度为8rSi。而体对角线的长度又等于3a，因此有8rSi3a，所以：a8rSi8117pm540pm33晶胞体积为：83Va3

17、117pm1.58108pm33晶体密度为：D88.29gmol1831171010cm6.0221023mol132.37gcm3金刚石、硅和灰锡等单质的结构属立方金刚石型（A4型），这是一种空旷的结构型式，原子的空间据有率只有34.01%。出色文档适用标准文案【8.13】已知金属钛为六方最密积聚结构，钛原子半径为146pm，试计算理想的六方晶胞参数及晶体密度。解：晶胞参数为：ab2R2146pm292pmc46R46146pm477pm晶体密度为：33D2Mabcsin120NA247.87gmol124771010cm36.0221023mol12921010cm24.51gcm3【8.

18、14】铝为面心立方结构，密度为2.70gcm1，试计算它的晶胞参数和原子半径。用CuKa射线摄入衍射图，33衍射线的衍射角是多少？解：铝为面心立方结构，因此一个晶胞中有4个原子。由此可得铝的摩尔质量M、晶胞参数a，晶体密度D及Avogadro常数NA之间的关系为：D4M/a3NA，所以，晶胞参数：111a4M3426.98gmol3DNA2.70gcm36.0221023mol1404.9pm面心立方结构中晶胞参数a与原子半径R的关系为a22R，所以，铝的原子半径为：a404.9pmR22143.2pm22依据Bragg方程得：sin2dhkl将立方晶系面间距dhkl，晶胞参数a和衍射指标hk

19、l间的关系代入，得：1sinh2k2l2154.2pm32323222a2404.9pm0.989481.7【8.15】金属纳为体心立方结构，a429pm，计算：a）Na的原子半径；b）金属钠的理论密度；d）（110）的间距。解：a）金属钠为体心立方结构，原子在晶胞体对角线方向上相互接触，由此推得原子半径r和晶胞参数a的关系为：出色文档适用标准文案13a4代入数据得：r3185.8pm429pm（b）4每个晶胞中含两个钠原子，所以，金属钠的理论密度为：D2M222.99gmol1a3NA4291010cm36.0221023mol10.967gcm3d110a429pm12021/2303.4

20、pm122（c）【8.16】金属钽为体心立方结构，a330pm，试求：a）Ta的原子半径；b）金属钽的理论密度（Ta的相对原子质量为181）；c）（110）面的间距（d）若用154pm的X射线，衍射指标为220的衍射角的数值是多少？解：（a）钽原子的半径为：r13a3330pm143pm（b）44金属钽的理论密度为：D2M2181gmol1a3NA3301010cm36.0221023mol116.7gcm3（c）（110）点阵面的间距为：d110a330pm233pm1212（d）依据Bragg方程得：sin2202d220022154pm10.65982dd110330pm/22110【8

21、.17】金属镁属A3型结构，镁的原子半径为160pm。a）指出镁晶体所属的空间点阵型式及微观特色对称元素；b）写出晶胞中原子的分数坐标；c）若原子切合硬球积聚规律，计算金属美的摩尔体积；（d）求d002值。解：（a）镁晶体的空间点阵型式为简单六方。两个镁原子为一结构基元，也许说一个六方晶胞即为一结构基元。这与铜、钠、钽等金属晶体中一个原子即为一结构基元的状况不一样。这要从结构基元和点阵的定义来理解。结构基元是晶体结构中作周期性重复的最基本的单位，它一定满足三个条件，即每个结构基元的化学构成相同、空间结构相同，若忽视晶体的表面效出色文档适用标准文案应，它们的四周环境也相同。若以每个镁原子作为结构

22、基元抽出一个点，这些点不满足点阵的定义，即不可以按连接任意2个镁原子的矢量进行平移而使整个结构复原。镁晶体的微观特色对称元素为63和6。（b）晶胞中原子的分数坐标为：0,0,0;2,1,1332。（c）一个晶胞的体积为abcsin120，而1mol晶体相当于NA/2个晶胞，故镁晶体的摩尔体积为：NAabcsin120NA2R2R46R3223242NAR3426.0221023mol131601010cm13.95cm3mol141mol镁原子的真实体积为R3NA也可按下述思路计算：3，而在镁晶体中原子的积聚系数为0.7405，故镁晶体的摩尔体积为：4R3NA/0.7405436.022102

23、3mol1/0.7405160pm33113.95cm3mol1（d）d0022d001，对于A3型结构，d001c，故镁晶体002衍射面的面间距为：d0021d0011c146R26160pm261.3pm22233用六方晶系的面间距公式计算，所得结果相同。【8.18】Ni是面心立方金属，晶胞参数a352.4pm，用CrKa辐射（229.1pm）拍粉末图，列出可能出现的铺线的衍射指标及其衍射角的数值。解：对于点阵型式属于面心立方的晶体，可能出现的衍射指标的平方和h2k2l2为3，4，8，11，12，16，19，20，24等。但在此题给定的实验条件下：sinh2k2l2229.1pmh2k2l

24、22a2352.4pm当h2k2l20.3251h2k2l2h2k2l211时，sin1，这是不一样意的。所以，只好为3，4和8，即只好出现111，200和220衍射。相应的衍射角为：arcsin111arcsin200220arcsin220arcsin0.3251334.26arcsin0.3251440.55arcsin0.3251866.82【8.19】已知金属Ni为A1型结构，原子间接触距离为249.2pm，试计算：（a）Ni的密度及Ni的立方晶胞参数；出色文档适用标准文案b）画出（100）、（110）、（111）面上原子的排布方式。解：a）因为金属Ni为A1型结构，因此原子在立方晶

25、胞的面对角线方向上相互接触。由此可求得晶胞参数：a2249.2pm352.4pm晶胞中有4个Ni原子，因此晶体密度为：4M458.69gmol1D352.41010cm1023mol1a3NA36.0228.91gcm3b）【8.20】金属锂晶体属立方晶系，（100）点阵面的面间距为350pm，晶体密度为0.53gcm3，从晶胞中包含的原子数量判断该晶体属何种点阵型式？（Li的相对原子质量为6.941）。解：金属锂的立方晶胞参数为：ad100350pm设每个晶胞中锂原子数为Z，则：0.53gcm33503Z1010cm1.9726.0221023mol116.941gmol1立方晶系晶体的点阵

26、形式有简单立方、体心立方和面心立方三种，而对峙方晶系的金属晶体，可能的点阵形式只有面心立方和体心立方两种。若为前者，则一个晶胞中应最罕有4个原子。由此可知，金属锂晶体属于体心立方点阵。【8.21】灰锡为金刚石型结构，晶胞中包含8个Sn原子，晶胞参数a648.9nma）写出晶胞中8个Sn原子的分数坐标；b）算出Sn的原子半径；c）灰锡的密度为5.75gcm3，求Sn饿相对原子质量；（d）白锡属四方晶系，a583.2pm，c318.1pm，晶胞中含有4个Sn原子，经过计算说明由白锡转变成灰锡，体积是膨胀了，还是缩短了？（e）白锡中SnSn间最短距离为302.2pm，试比较灰锡数据，预计哪一种锡的配

27、位数高？解：（a）晶胞中8个锡原子的分数坐标分别为：出色文档适用标准文案0,0,0;1,1,0;1,0,1;0,1,1;3,1,1;1,3,1;1,1,3;3,3,3（b）222222444444444444灰锡的原子半径为：rSn灰3a3648.9pm140.5pm88DSn灰（c）设锡的摩尔质量为M，灰锡的密度为，晶胞中原子数为Z，则：DSn灰a3NAMZ35.75gcm3648.91010cm6.0221023mol18118.3gmol1即锡的相对原子质量为118.3。（d）由题意，白锡的密度为：DSn白4M2cNAa24118.3gmol1583.21010cm318.11010cm

28、6.0221023mol17.26gcm3可见，由白锡转变成灰锡，密度减小，即体积膨胀了。（e）灰锡中SnSn间最短距离为：2rSn灰2140.5pm281.0pm小于白锡中SnSn间最短距离，由此可推测，白锡中原子的配位数高。【8.22】有一黄铜合金含Cu75%，Zn25%（质量），晶体的密度为8.5gcm3。晶体属立方面心点阵结构，晶胞中含4个原子。Cu的相对原子质量63.5，Zn65.4。（a）求算Cu和Zn所占的原子百分数；b）每个晶胞中含合金的质量是多少克？c）晶胞体积多大？d）统计原子的原子半径多大？解：a）设合金中铜的原子分数（即摩尔分数）为x，则锌的原子分数（即摩尔分数）为1x

29、，由题意知，63.5x:65.41x0.75:0.25解之得：x0.755,1x0.245所以，该黄铜合金中，Cu和Zn的摩尔分数分别为75.5%和24.5%。（b）每个晶胞中含合金的质量为：0.7563.5gmol10.2565.4gmol1422g6.0221023mol14.2510（c）晶胞的体积等于晶胞中所含合金的质量除以合金的密度，即：V=4.2510-22g5.01023cm38.5gcm3出色文档适用标准文案（d）由晶胞的体积可求出晶胞参数：11aV35.01023cm33368pm因为该合金属立方面心点阵结构，因此统计原子在晶胞面对角线方向上相互接触，由此可推得统计原子半径为

30、：a368pmr22130pm22【8.23】AuCu无序结构属立方晶系，晶胞参数a358pm如图9.3.1c。若合金结构有（a）变成（c）时，晶胞大小看作不变，请回答；a）无序结构的点阵型式和结构单元；b）有序结构的点阵型式、结构单元、和原子分数坐标；c）用波长154pm的X射线拍粉末图，计算上述两种结构可能在粉末图中出现的衍射线的最小衍射角的数值。解：（a）无序结构的点阵型式为面心立方，结构基元为Cu1Aux，即一个统计原子。（b）有序结构的点阵型式为简单四方，结构基元为CuAu，上述所示的立方晶胞图9.23（b）可进一步划分成两个简单四方晶胞，相当于两个结构基元。取图9.23（b）中面对

31、角线的1/2为新的简单四方晶胞的a轴和b轴，而c轴按图9.23（b）不变，在新的简单四方晶胞中原子分数坐标为：Au:0,0,0;Cu:1,1,1.（c）222111，所以最小衍射角无序结构的点阵型式为面心立方，它的最小衍射角指标应为为：出色文档适用标准文案1111arcsin111arcsin12121222a154pm3arcsin0.3464arcsin385pm220.3有序结构属四方晶系，其面间距公式为：2221kl2hdhkla2c2依据Bragg方程，最小衍射角对应于最大衍射面间距，即对应于最小衍射指标平方和。最小衍射指标平方和为1。所以。切合条件的衍射可能为100，010和001。但有序结构的点阵型式为简单四方，ca，所以切合条件的衍射只有001。最小衍射角001可按下式计算：sin001/2d001/2c154pm/2385pm0.20000111.5【8.24】Fe和Fe分别属于体心立方积聚（bcp）和面心立方积聚（ccp）两种晶型。前者的原子半径为124.0pm，后者的原子半径为127.94pm/a）对Fe：以下“衍射指标”中哪些不出现？110，200，210，211，220，221，310，2